《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

1、-、单项选择题(每题3分共18分)若事件A、B适合P(AB) = 0,则以下说法正确的是().(A) A与B互斥(互不相容)；(B) P(A) =0 或 P(B)=0;(C) A与B同时出现是不可能事件；(1)(D) P(A) >0,贝P(B|A) = 0.(2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则 PX M1.5=()。八1(A)0.6(B) 1(C) 0(D) 一2设事件 A与A2同时发生必导致事件 A发生，则下列结论正确的是()(A) P(A)=P(A1A2)(B) P(A)之 P(A1)+P(A2)1(C) P(A) =P(A1 U A

2、2)(D) P(A) < P(A1) +P(A2) -1设随机变量 X N(-3, 1), Y N(2, 1),且X与Y相互独 立，令 Z=X2Y + 7,则 Z().xe* x 00 x< 0(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C)N(0, 46);(D) N(0, 54).1. D 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B 填空题 1. P(B) 2. f (x) = «，.(1)如果 P(A) >0, P(B) a0, P(A|B) = P(A),贝U P(B|A) =(2)设随机变量X的分布函数为f0,x< 0,F (x) =，_

3、xJ(1+x)e：x>0.则X的密度函数f(x)=, P(X>2)=.、(6 分)设 A, B 相互独立，P(A)=0.7, P(AUB)=0.88,求 P(AB).四、（6分）某宾馆大楼有 4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在 运行的概率均为 0.7,求在此时刻至少有 1台电梯在运行的概率。x _ 0其它r _x e五、（6分）设随机变量 X的概率密度为f （x）=Q求随机变量 Y=2X+1的概率密度。六、（8分）已知随机变量 X和Y的概率分布为X-101Y01P111P1142422（1）而且PXY=0=1.求随机变量X和Y的联合分布；（2）判断X与Y是否相互独立？七

4、、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为12e"3x 4y）, x 0,y 0, f （x, y） = «、0,其他.求：（1） P（0 MX M1,0 MY M2） ; （2）求 X 的边缘密度。八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望。十、（7分）设供电站供应某地区 1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。 已知每户每日 用电量（单位：度）服从0, 20上的均匀分布，利用中心极限定理求

5、这 1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数（x）的值表示）.、解：0.88= P(A B) = P(A) P(B) _ P(AB)= P(A) +P(B) P(A)P(B) (因为A, B相互独立).2分= 0.7 P(B) -0.7P(B).4分则 P(B) =0.6P(A -B) =P(A) - P(AB) (A) - P(A)P(B)= 0.7-0.7 0.6=0.28，.解:用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb(4, 0.7).2 分所求概率P：X _1； = 1 - P：X =0).6分解:因为y =2x+1是单调可导的，故可用公式法计算.1分

6、当X20时，Y >1由 y = 2x +1 ,得 x =y12.2分从而Y的密度函数为fY (y) =«x'J2f (匕12.5分=1 -C0(0.7)°(1 -0.7)4=0.9919-11.yJe 22.6分解:因为PXY = 0=1 ,所以PXY ¥0 = 0(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出.4分, ,111(2)因为P(X =0,Y=0=0¥Px =0扣丫=0=_乂_=_2 24所以X与Y不相互独立解：用Xi表示第i户居民的用电量,则 XiU0,20EXi =。20:102DXi(20-0)2121003则1000户居民的

7、用电量为X1000八Xii 1,由独立同分布中心极限定理P'：X 10100 ； = 1 -P：X <10100/=1 -PX -1000x10 10100-1000x10, <1001000 一31001000 310100 -1000 10:- 1 _：.：，()100 10003.6分12解：(1) P(0<X <1,0 <Y <2) = fdxf12e00.2分3e4xdx 0 4eydy= e3x 0 -ey38=1 -e 1 -e .4分(2)fX(x)=G2e43x 4y)dy.6分3e”xx 0x <0.8分因为X1e()41.

8、2分得 f (x) = 4e用Y表示出售一台设备的净盈利.1 100X _1100 -3000 :二 X ：1则 P(Y =100)=依1e 4dx = e 44所以P(Y = -200 )=7 dx=1 -eEY =100 e4 (N00) (1_e 4 )=300e.4分-200 33.64 (元)一、填空题(每小题3分，共30分)1、“事件A, B, C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 2、设 P(A)=0.7, P(AB) = 0.3，则 P(AUB)=.3、袋中有6个白球，5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的概率a4、设随机变量X的分布律为P(X =k)=a, (k=1,

9、2, | ,8),则2 =85、设随机变量 X在(2,8)内服从均匀分布，则P(-2 <X <4) =6、设随机变量 X的分布律为，则 Y=X2的分布律是 -2-101Pk1 _8_ 1 15 15 5 157、设随机变量X服从参数为 九的泊松分布，且已知E(X 1)(X 2) =1,则九=8、设Xi,X2,HI,X9是来自正态总体 N(-2,9)的样本，X是样本均植，则X服从的分布是二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放，现从中 任取1件进行检验.求：(1)求取出

10、的产品为次品的概率(2)若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率、(本题12分)设随机变量X的概率密度为'kx, 0 <x <3xf(x)=2，3<x<4(1)确定常数 k; (2)求X的分布函数 F(x);(3)求2其它0,_7P 1 二 X 三2四、（本题12分）设二维随机向量（X,Y）的联合分布律为0120. 1 0. 2 0. 1a 0. 1 0. 2试求：（1） a的值；（2） X与Y的边缘分布律；（3） X与Y是否独立？为什么？五、（本题12分）设随机变量X的概率密度为X, 0Mx ：二 1,f x)二三2-x,1 £ x 三2

11、, 、0,其他.求E X ,D X填空题（每小题3分，共30分）ABC 或 AUbUC2、0.63、C5C6 或巴或 0.3636C：114、1 5、1、0 1 4X213 1 7、1 8、N （-2,1）5 5 5二、解 设A1, A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产 由已知有,8表示取出的零件为次品，则606P（A）产（A1 1 01 1（1）由全概率公式得01 01 2601 01 八P也藐5.2分P( B)= P( A) P( B1 A)6151P(A)P(B1=A1) ViT_15飞（2）由贝叶斯公式得P(A2 B)=P(A2)P(B|A)11 5P(B)111512分三、（本

12、题12分）解（1）由概率密度的性质知.f (x)dx = kxdx - 1 2 - x dx03 .291k _ =124x(2)当 xW0 时，F(x) = Lf(t)dt=0;x当 0cx<3 时，F(x) =f(t)dt =x当 3 Wx <4时，F(x) = f f(t)dt =x 1 tdt0 631 tdt0 612=x ;12x 23212_ cx 2x-3;4x3 1当 x*4时,F(x) = j f (t)dt =0 ;-tdt - I 2 -一 2二1 ；故X的分布函数为0,x < 0F(x)=1 2x12,0 ：二 x :二 31 2-x 2x - 3

13、,3 , x ： 4>(1)=151411612 4812分四、解(1)由分布律的性质知0. 1 0.01.0. 2 0.a1故 a = 0.3(2) (X ,Y)分别关于X和Y的边缘分布律为p 0. 4 0. 3 0. 3p 0.4 0.6 (3)由于 PX =0,Y =1 = 0.1,PX =0PY = 1 = 0.4M0.4 = 0.16，故P：X =0, Y= 1 = P X=0 P Y112分所以X与Y不相互独立 五、(本题12分)设随机变量 X的概率密度为x,0 - x :： 1,f x = 2 -x,1 < x < 2, 0,其他.求 E X ,D X .二1

14、221解 E (X) = xf (x)dx = x dx，i x(2 - x)dx = 一,-二01IL3=1.6分E(X2)=.1 32 27f (x)dx = ° x dx I x (2 - x)dx =221D(X) =E(X )-E(X)=-6、填空题(每空 3分，共45分)1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|12分A) = 0.85, 贝U P(A| B ) = P£AU B)=12、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为 9 , A发生且B不发生的I率与 B发 生且A不发生的概率相等，则 A发生的概率为： ;3、一间宿舍内住有

15、 6个同学，求他们之中恰好有 4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X的密度函数为:xAe ,中(x) = <1/ 4,0,x : 00 - x < 2x -2,则常数A=分布函数F(x)=概率 P -0.5 ： X ：二 1=5、设随机变量 X B(2 , p)、Y B(1 , p),若 PX 21 = 5/ 9 ,则 p = 若X与Y独立，则 Z=max(X，Y)的分布律： 6、1、设 X B(200,0.01), 丫 P(4)，且 x与 丫相互独立,则 D(2X-3Y)=(12分)设连续型随机变量 X的密度函数为：1 x, 甲(x)

16、=<20,0MxM2其它 求：1) P| 2X -1|<2 ； 2)Y = X2的密度函数平丫(y).2、3) E(2X1)；(12分)设随机变量1/4, (x,y)= n1)0,(X,Y)的密度函数为| y | ： x,0 ： x : 2, 其他求边缘密度函数*x(x)，*Y(y)；2)问X与Y是否独立？是否相关？计算 Z = X + Y 的密度函数中z(z)1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别 是3/10 , 1/5 , 1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4 , 1/3 , 1/

17、2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?1、0.82860.988; 2、2/3; 3、C12C4 112126C162 6!612； 4、1/2,F(x尸121,布律：6、P -0.5 :二 X ： 1= 2 P 8/27 16/27 3/27D(2X-3丫尸 43.92 ,二、计算题(35分)1、2)3)2、31 e，Q.54 2； 5、p = 1/3, Z=max(X,Y)的分一一 一9P| 2X -1| 二 2二 P -0.5 二 X 1.5二6=( ' X(、. y) x (l -. y)，、(y)= 2；y0,1,二40,其它E(2X -1)=2EX4-1 =

18、213解：1)注I f1dyx(x) = , (x, y)dy _x4一二0,0 :二 x :二 2其它-2,I0,其它Y(y) =(x, y)dx = |y|4.joO0,，C 1|y|<2-(2-|y|),=4其它0,|y|；2其它2)显然，*(x，y) *X(xHY(y),所以 COV(X,Y)=0,因此X与Y不相关。X与Y不独立。又因为EY=Q EXY=0所以,Z (z)=(x, z - x) dx*-od2 1I Iz dx,2 40,0 :二 z : 4其它1 := 28,0,0 :二 z ：二 4其它1、解：设事件A1, A2, 率分别等于3/10 , 1/5 , 1/10

19、A3, A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概和2/5 ,事件B表示“迟到”，已知概率 pB| A, i =1,2,3, 4分别等于 1/4 , 1/3 , 1/2 , 0r 423PB)八 P(A)P(B|A)p(ajb)=P(A3|B)=P(A)P(B|A)P(B)P(A3)P(B|A3)PB)1209-P(A2|B) =236P(A4|B) =23P(A2)P(B|A2)P(B)P(A)P(B|A4)PB823由概率判断他乘火车的可能性最大O、填空题(每小题 4分，共20分)1、设事件A,B独立，且 P(A)=0.5, P(B)=0.6，则 P(AB) =2、设随机变量X的

20、分布密度为二 2kx ,0 x : 2f (x)二10 , 八匕，则k =X - 1Y 二3、4、XN(N,4),则设随机变量设X,Y相互独立，其分布列分别为P(X =Y) =o 5、设 X N(2,2),则 EX、单项选择题(每小题 4分，共20分)O012O1、对于任意二事件 A, B ,则()(A)若AB#6,则A B 一定独立(B)若ab#G,则A B一定不独立(C)若AB=G ,则A B 一定互斥(D)若AB=G ,则A B 一定互余2、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 P,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()22_2,. 2-2,. 2(A)3p(1-p) (B)6p(1- p) (C)3p (1- p) (D)6p (1 - p)3、已知随机变量X的分布密度为3f（x）=4x,0<x<1I0, 其它若plX £" =收'aL那么常数a = （）1 (A) 4