一元二次方程(知识点考点题型总结)

1、完美WORD格式一元二次方程专题复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程 就是一元二次方程。2 一一一 一(2)一般表达式：ax + bx + c = 0(a #0)难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“ 0” ；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：区J 1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是()211A 3x1 =2x1B2-2=0x x222.C ax bx c = 0D x 2x = x 12_2 一变式：当k 时，关于x的方程kx +2x=x +3是

2、一元二次方程。快J 2、方程(m+2 x|m| +3mx+1 =0是关于x的一元二次方程，则 m的值为。针对练习： 1、方程8x2 =7的一次项系数是 ,常数项是 o 2、若方程(m -2 x|m|A =0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程(m -1 x2 7m,x =1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 。 4、若方程nxm+xn-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：

3、 22区J 1、已知2y +y 3的值为2,则4y +2y +1的值为。快J 2、关于x的一元二次方程(a 2 x2 + x +a2 4 = 0的一个根为0,则a的值为。快J 3、已知关于x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a丰0)的系数满足a + c = b ,则此方程必有一根为 伤J 4、已知a,b是方程x24x+m =0的两个根，b,c是方程y28y + 5m = 0的两个根， 则m的值为。针对练习： 2 1、已知万程 x2 +kx10=0的一根是2,则k为,另一根是 o. 一 2x 1. . 一 2、已知关于x的方程x + kx 2 = 0的一个解与方程 =3的解相同。

4、x -1求k的值；方程的另一个解。22 3、已知 m是万程x x1=0的一个根，则代数式 m m=22 4、已知 a是 x -3x +1=0 的根，则 2a -6a =。2 5、万程(a-bx +(bcK+c a =0的一个根为()a -1B 1 cb - c d -a 6、若 2x +5y 3 = 0，贝U 4x ,32y =。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x2 = m m - 0 ,=, x - - m22.2冰对于(x + a f = m, (ax + m ) = (bx + n )等形式均适用直接开万法典型例题：2 一 .伤J

5、1、解方程：(1 2x 8=0;2 25-16x =0；3 1-x -9=0；22区J 2、若 9(X -1 ) =16(x +2 ),则 x 的值为 o针对练习：下列方程无解的是()A. x2+3=2x21 b. (x2 2=0 C. 2x+3=1x d. x2 +9=0类型二、因式分解法：(x x1 (x x2 )= 0 = x = x1，或x = x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，2_2.22 一万程形式：如 (ax + m ) = (bx + n), (x + a(x + b)=(x + a(x + c), x + 2ax + a = 0典型例题：快M、2x(

6、x3)=5(x3)的根为()5c5c2Ax = - B x 3 CXi = , x? =3 D x =225快J 2、若(4x +y 2 +3(4x + y )4 = 0,则 4x+y 的值为。变式 1 ： (a2 +b2 2 -(a2 +b2 )-6=0，则a2 +b2 =。变式 2：若(x+y(2x y )+3=0,则 x+y 的值为。22变式3：右x+xy+y=14, y+xy+x =28,则x+y的值为。伤J 3、方程x2 + x -6=0的解为()A. x1-3,x2 = 2 B.x1= 3,x2 -2C.x1=3,x2 -3D.x1= 2,x2- -2快J 4、解方程：x2 +2Q

7、3 +1 x +2V3 +4=022x Vx -y区J 5、已知2x2 -3xy-2y2 = 0,则-的值为。、，_2_2_x V 变式：已知2x2 -3xy-2y2 =0,且x 0, y 0,则的值为针对练习： 1、下列说法中：方程 x2 + px +q =0 的二根为 x1, x2,则 x2 + px + q = (x-x1)(x -x2)x2+6x-8 =(x2)(x-4). a25ab + 6b2 = (a 2)(a-3) x2 - y2 = (x y)(. x , y)( x - y)方程(3x +1)2 -7 =0可变形为(3x+1 +J7)(3x+1 行)=0正确的有()A.1个

8、 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以1 + J7与1 J7为根的一元二次方程是()22_22A. x -2x-6=0 b , x -2x+6=0 C , y +2y-6 = 0 D , y +2y + 6 = 0 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足(x十y -3仅+y )+ 2 = 0 ,则x+y的值为()A、-1 或-2B 、-1 或 2 C 、1 或-2D 、1 或 2、-215、方程：x + 丁 =2的解是。222x - 6y , 6、已知 6x xy 中6y =0

9、,且 x0, y0,求p的值.3x - y 7、方程(1999x 2 -1998 父 2000x 1=0 的较大根为 r,方程 2007 x2 2008x +1 =0 的较小根为 s，贝U s-r 的值为。专业知识分享类型三、配方法2ax bx c = 0 a ； 0 =b2 -4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:区M、试用配方法说明 x22x+3的值恒大于0伊2、已知x、y为实数，求代数式 x2 + y2+2x 4y+7的最小值快3、已知x2 +y2 +4x 6y+13 = 0, x、y为实数，求xy的值区H、分解因式：4x2+12

10、x+3针对练习：21、试用配方法说明 10x +7x4的值恒小于0。一 一211.八1 2、已知 x + - -x - -4=0,则 x + =.xxx 3、若t =2 - J-3x2 +12x-9，则t的最大值为 ,最小值为 o 4、如果 a +b + JC1 -1 =4ja -2 + 2 而H 4,那么 a + 2b 3c 的值为类型四、公式法条件：(a 0 0,Hb2 -4ac 之 0)公式：x =-bb2 -4ac,(a0,Kb2 _4ac0)2a典型例题：仞J 1、选择适当方法解下列方程： 3(1+x 2 =6.(x+ 3 jfx + 6 )= -8. x2 -4x+1 = 0区J

11、2、在实数范围内分解因式：(1) x2 -20JLm =1 B. m 0 C. m 11 D. m 1快J 3、已知关于x的方程x2 (k+2x+2k=0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等4 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。2_伤J 4、已知二次三项式 9x2 (m+6)x+m2是一个完全平方式，试求m的值.快J 5、m为何值时，方程组x2 +2y2 =6,.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?mx + y = 3.针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式 x2+kx+9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式 3x2 -4x +2

12、k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?2 3、已知万程 mx mx+2 = 0有两个不相等的实数根，则 m的值是 y = kx + 2, 4、k为何值时，方程组 2y -4x -2y +1 =0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解；(3)没有实数解.22 5、当k取何值时，万程x 4mx+4x+3m -2m+4k=0的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：快J 1、关于x的方程(m+1 x2+2mx3=0有两个实数根，则 m为 ,只有一个根，则 m为。区J 2、不解方程，判断关于 x的方程x2 - 2(x - k )+k2 = 3根的情况

13、。快J 3、如果关于x的方程x2 +kx +2 =0及方程x2 -x -2k = 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题； “利率”问题； “几何”问题； “最值”型问题； “图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少 1,第三年比第二年

14、减少 -,该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内32，一 一，人人-，,1-、 一， 、，-，不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利一，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到30.1, J13 定3.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成

15、两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm：那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时30分到达B地, 乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于ax2+bx+c = 0而言，当满足 a#0、之0时，才能用韦达定理。、一.、b c王要内谷：x1 +x2 =,x1x2 =一a a应用：整体代入求值。典型例题：快J 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 -8x + 7 =0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. 3B.3C.6 D. 6伤J 2、已知关于x的方程k2x2十(2k 1 x +1 = 0有两个不相等的实数根 x1，x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1 o你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？22区”4、已知 a#b,