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文档简介

1、3a.,“”.3.1a., ( x1 , y1 ) (x1 , y1 )x.,.n, (xk , yk ) , k 1,2, , nn.n ,n 1 . ,.,( x1x2 ),a,xks, ax,P(xk )yk , k1,2, n ,,.P( x)xx jj k xkykkx jnn 1,an 1 . P( x)x xk ,k . ,k,yk., :0:3;-5 -6 -1 16;()0123-5-6 -1 16(x 1)( x 2)( x 3)5)x( x2)( x 3)6)P(x)(6)(2)x( x1)( x3)( 1)x( x1)( x2) (16)(2)(6),.,.,x 0,1

2、,23,.,x 32x5xa.,P(x)c1 xn 1c2 x n 2cn 1 xcn,ax1n 1x1n 2x11c1y1x2n 1x2n2x21c2y21xnn 1xnn2xn1cnynVa.vk, jxkn ja,.,V= (x)V=00011111842127 931yc =1.00000.0000-2.0000-5.0000,x32x 5 .xk.a. ,aa,.a,.v = (),xy ,.,u ,a.,v,uv(k)interp (x, y, u( k), ,.u .v = ()n = (x);v = (u);k = 1w= (u);j = 111w = (j)(x(k)(j).

3、*w;v = v + w*y(k);,a.u = -.25:.01:3.25;v = ();(, o-),3.1.3.1.,= ( x)P = ()(P)-5(-1/3 x + 1)(-1/2 x + 1)( + 1)- 6 (-1/2 x + 3/2)( + 2)x-1/2( + 3)(x - 1)x + 16/3 (x- 2)(1/2 x - 1/2)xa.P=(P)PP=x3-2*5,a.x = 1:6;y = 1618 21 17 15 12;(x; y)u = .75:.05:6.25;v = ();(, o- ,);1234561618211715123.2.3.2.,.,.a ,

4、.第三章插值多项式插值就是定义一个在特定点取给定值得函数的过程。本章的重点是介绍两个紧密相关的插值函数: 分段三次样条函数和保形分段三次插值函数(称为“”)3.1 插值多项式人们知道两点确定一条直线,或者更确切地说,平面上任意两点(x1, y1 ) 和 (x1, y1 ) ,只要 ( x1x2 ) ,就唯一确定一个关于x 的一次多项式,其图形经过这两个点。 对于这个多项式, 有多种不同的公式表示, 但是它们都对应同一个图形。把上述讨论推广到多于两个点的情况。则对于平面上有着不同xk 值的n 个点, ( xk , yk ) ,k1,2, n ,存在唯一一个关于x 的次数小于 n 的多项式,使其图

5、形经过这些点。很容易可看出,数据点的数目n 也是多项式系数的个数。尽管,一些首项的系数可能是零,但多项式的次数实际上也小于n 1 。同样,这个多项式可能有不同的公式表达式,但它们都定义着同一个函数。这样的多项式称为插值()多项式,它可以准确地重新计算出初始给定的数据:P(xk )yk , k1,2, n后面,我们会考察另外一些较低次的多项式,这些多项式只能接近给定的数据,因此它们不是插值多项式。表示插值多项式的最紧凑的方式是拉格朗日()形式P( x)xx jykk xkxjkj在这个公式中,对 n 项进行亲和,而每一个连乘符号中含有n 1 项,因此它定义的多项式最高次数为 n1 。当 xxk

6、时计算 P( x) ,除了第 k 项外,其他的乘积都为零,同时,这第k 项乘积正好为1,所以求和结果为 yk ,满足插值条件。例如,考虑下面一组数据。0:3;-5 -6 -1 16;输入命令()其输出为0123-5-6-116这些数据的拉格朗日形式的多项式为(x 1)( x 2)( x 3)x(x2)( x 3)P(x)(6)( 5)( 6)(2)x( x 1)( x3)x( x1)( x2)(2)(1)(6)(16)可以看出上式为四个三次多项式求和,因此最后结果最高为三。 由于求和后最高次项系数不为零,所以此式就是一个三次多项式。而且,如果将x 0、1、2 或者 3 代入上式,其中有三项都为

7、零,而第四项结果正好符合给定数据。一个多项式通常不用拉格朗日形式表示,它更常见地写成类似x32x5的形式。其中简单的x 的次方项称为单项式() ,而多项式的这种形式称为使用幂形式()的多项式。插值多项式使用幂形式表示为P( x)c1 x n 1c2 xn 2cn 1 xcn其中的系数,原则上可以通过求解下面的线性代数方程组得到。x1n 1x1n 2x11c1y1x2n 1x2n2x21c2y21xnn 1xnn2xn1cnyn这个线性方程组的系数矩阵记为 V ,也被称为范德尔蒙()矩阵,该矩阵的各个元素为vk, jxkn j上述范德尔蒙矩阵的各列, 有时也按相反的顺序排列, 但在中,多项式系数

8、向量,通常按从高次幂到低次幂排列。中的函数可以生成范德尔蒙矩阵,例如对于前面的那组数据,(x)生成V =00011111842127931然后,输入命令y'计算出插值系数。c =1.00000.0000-2.0000-5.0000事实上,这个例子的数据就是根据多项式x32x5 生成的。在本章的习题3.6 中,要证明当插值点的位置xk 互不相同时,范德尔蒙矩阵是非奇异的。而在练习3.19 中,则请读者证明范德尔蒙矩阵的条件可能非常差。 通过两个练习我们可以发现,对于一组间隔比较均匀、 函数值变化不大的数据,适合采用幂形式的插值多项式和范德尔蒙矩阵进行求解。但对于一般的问题,这个方法有时是

9、危险的。在本章中,将介绍几个能实现各种插值算法的函数,它们都采用下面的调用格式vinterp( x, y, u)前两个输入参数,x 和 y ,是长度相同的向量,它们定义了插值点。第三个参数u ,为要计算函数值的范围上的点组成的向量。输出向量v 和 u长度相等,其分量v( k)interp( x, y, u(k ) 。要介绍的第一个这样的插值函数是,它基于拉格朗日形式。程序使用了的数组操作,来同时计算出多项式在u 向量各分量上的值。()(x);(u);1(u);11 1(j)(x(k)(j).*w;*y(k);为了解释函数的功能,先构造一个间隔很密的求值点向量。0.25:0.01:3.25;然后

10、输入命令();(,'o','-');可生成图 3_1。函数也可以处理符号变量,例如,创建符号变量('x')然后用下面的命令,计算并显示插值多项式的符号形式()(P)其输出结果为-5(-1/31)(-1/21)(1)-6(-1/23/2)(2)x-1/2(3)(1)16/3(2(1/21/2)x将其进行简化,从而得到P 的幂形式x3-2*5下面是另一个例子,使用的是本章另一种方法所用数据。1:6;16 18 21 17 15 12;();.75:.05:6.25;();(, o- ,);运行后结果为123456161821171512同时输出图 3_2。图 3_1图 3_2 完整次数 (

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