一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一兀二次万程 ax+bx + c = 0根的分布情况设方程ax2 +bx+c =0（a =0）的不等两根为 x1, x2且x1 <x2,相应的二次函数为 f （x户ax2 +bx + c = 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0,个人丁 0（x1<0<x2）（今a A0图）象得出的结 论大 致 图 象(a <0)得出的结论综合结论1不讨论

2、a )表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k , 一个大于k即大 致 图 象(a >0)得出的结论大 致 图 象(a <0)得出的结论综合结论1不 讨 论a）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m, n ）内两根有且仅有一根在 （m,n ）内（图象后两种情况，只画了一种）一根在（m,n ）内，另一根在（p,q ） 内，m<n<p<q大 致 图 象(a >0 )得出的结论f (m )> 0f (n 产0 叶 (m)f (n)<0f (p )<0 f p)f (q 户0 J(q)0大 致 图 象(a

3、 <0)得出的结论f (m )<0f (n)>0 -f(m)f (n)<0 或<f (p)A0f( p)f (q )<0J(q)<0综合结论1不讨论a )根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间（m,n广卜，即在区间两侧 x1 <m,x2 A n,（图形分别如下）需满足的条件是f m ：二 0f m0（1） a >0时，«（2）a <0时，f n0f n0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 （m, n讷有以下特殊情况:若f (m )=0或f (n)=0 ,则此时f (m jf (n)<

4、0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为另外一根，然后可以根据另一根在区间(m,n )内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 (m + 2)x + 2 = 0在区间(1,3)上有一根,因为 f(1)=0,所以 mx2 (m+2)x+2=(x1 %mx 2),另2.22根为 _ ,由1<_ <3得一<m <2即为所求;mm3方程有且只有一根，且这个根在区间(m,n为，即4=0,此时由0 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2x 4mx +2m+6 = 0有且一根在15-区间(-3,0

5、 )内，求m的取值范围。分析：由ff (0)<0即(14m+15)( m +30得出3 c m父一；由 = 014 233即 16m -4(2m +6 )=0得出 m = 一1 或 m =-,当 m = -1 时，根 x = -2= (-3,0 ),即 m = -1 满足题意；当 m =3 时,3-15根x =3正3,0 ,故m=不满足题意；综上分析，得出3<m< 或m = 1214根的分布练习题区J 1、已知二次方程(2m +1 )x2 -2mx + (m 1 )=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。1解：由(2m +1 |_|f (0 )<0即(2m + 1)(

6、 m- 1)< 0从而得3< m <1即为所求的范围。区J 2、已知方程2x2(m+1 )x+m = 0有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。解：由0 :二m ：二3 -2、.2或m 3 2、2即为所求的范围。2例3、已知一次函数 y = (m + 2)x (2m+4 )x + (3m+3)与x轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1,求实数m的取值范围。解：由(m+2|tf(1)<0 即(m+2 H2m+1)<0 = 2 < m <1 即为所求的范围。 2例4、已知二次方程 mx2 +(2m 3 )x + 4 = 0只有一个正根且这个根小于1,求实数

7、m的取值范围。解：由题意有方程在区间 (0,1 )上只有一个正根，则 f(0hf(1)<0= 4_(3m+1)<0= m<,即为所求范围。3(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1)内，由 =0计算检验，均不复合题意，计算量稍大)快J 1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：(1)方程x2 ax +a2 7 =0的两个根一个大于 2,另一个小于2； 方程7x2 (a+13)x+a2 a 2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；(3)方程x2 +ax +2 =0的两根都小于0； 2变题：方程x + ax + 2 =

8、 0的两根都小于？1.(4)方程x2-(a+4)x-2a2+5a+3 = 0的两根都在区间 -1,3上;(5)方程x2 -ax +4 =0在区间(？，1)上有且只有一解；2例2、已知方程x mx+4=0在区间力，1上有解，求实数 m的取值氾围.例3、已知函数f (x) = mx2 +(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m的取值范围.检测反馈;一 2. 1 ,、1,若二次函数f(x)=x (a1)x+5在区间(万，1)上是增函数，则f (2)的取值范围是 .2.若豆、P是关于x的方程x2 -2kx +k +6 = 0的两个实根，则(a -1)2 +(P1)2的最小值为

9、 . 23 .若关于x的方程x十(m2)x+2m 1 = 0只有一根在(0,1)内，则m.4 .对于关于x的方程x2+(2m ?)x+4 2m=0求满足下列条件的 m的取值范围：(1)有两个负根(2)两个根都小于 ?(3) 一个根大于 2, 一个根小于2(4)两个根都在(0 , 2)内(5) 一个根在(空，0)内，另一个根在(1, 3)内(6) 一个根小于 2, 一个根大于4(7) 在(0, 2)内有根(8) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 25.已知函数f(x)=mx +x-1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。2、二次函数在闭区间m,M上的最大、最小值问题探讨

10、设f (x )=ax2 +bx +c =0 (a >0卜 则二次函数在闭区间Im, n】上的最大、最小值有如下的分布情况:m < 一- < n 即-w !m,n 】 2a2a图 象最 小大 值、最对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:(1)若一2 w m,n 】，则 f (x max = max/f (m ) f 2,f(nf (xL = minf (m) f L f(n) ；2a、 k 2aJ ,k < 2a J ,若b星 m,n，则 f(xmax =maxf (m ) f (n，f(xmin =minf(m) f(n> 2

11、a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。区M、函数f (x) = ax2 2ax + 2 + b(a=0心12,3】上有最大值5和最小值2,求a, b的值。解：对称轴 =1*匕,3，故函数f (x )在区间12,3】上单调0时，函数f(x产区间12,3上是增函数，故 当a 0时，函数f (x声区间12,3上是减函数，故f x max = f

12、 33a b 2 = 5a = 14口f xmin =f 22 b = 2b =0f x max = f 2b 2 =5a - -1 i二« 二.f x田所=f 33a b 2 = 2b = 3快J 2、求函数f (x) = x2 -2ax+1,xe 11,3】的最小值。解：对称轴x0二a2(1)当 a <1 叱 ymin = f (1 ) = 22a(2)当 1 Ma m3时，ymin = f (a )=1 a ；(3)当 a >3时，ymin = f (3)=10 6a改：1.本题若修改为求函数的最大值，过程又如何解：(1)当 a <2时，f (x»a

13、x= f(3)=106a；(2)当 a 之2时，f (x»ax = f (1 ) = 22a。2.本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行解：(1)当 a<1 时，f(xmax = f(3) = 10-6a, f(x1 = f(1)=2-2a；(2)当 1Ma<2 时，f(xax = f (3)=106a, f (x min = f (a ) = 1 a2 ；(3)当2wa<3叱 3)_ = "1)=2-2a, “乂常=£9产1-a2；(4)当 a"叱 f(x)max = f(1) = 2-2a, f(xMn = f(3)=10-6a。区J 3、求函数y =x2 4x +3在区间It,t +1】上的最小值。解：对称轴x0 =22_.(1)当 2 ct 即 t >2 时，ymin=f(t) = t4t+3；(2)当 tE2Et+1 即 1EtE2 时，ymin= f (2)=1；当 2 At +1 即 t 父1 时，ymin = f (t+1 尸t2 -2t一 、一一 ，2 ,，区J 4、讨论函数f (x ) = x+x a +1的最小值 2°x +x -a +1 一x 2a 解：f (x