一阶电路习题及总结

1、WORD格式.分享方法一阶电路的三要素法一阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为tf (t) = f S + f(0+)- f(oo) e式中：f (0+)瞬态变量的初始值；f (°°)瞬态变量的稳态值；七一一电路的时间常数。可见，只要求出f (0+)、f(8)和T就可写出瞬态过程的表达式。把f (0+)、f(8)和工称为三要素，这种方法称三要素法。如RC串联电路的电容充电过程，uc(0 +) = 0 , Uc(oo) = E, T = RC则tUc(t)= Uc(

2、oo)+ uc(0+) - Uc (oo) eW结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。f (0+)由换路定律求得，f (8)是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。T = Rc或T =- , R为换路后从储能元件两端看进去的电阻。 R三个要素的意义：(1)稳态值f(8)：换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。当直流电路处于稳态时，电路的处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。(2)初始值f (0 +) : f (0 +)是指任意元件上的电压或电流的初始值。(3)时间常数用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒。它的意义在于，a.。越大，暂态过

3、程的速度越慢，。越小，暂态过程的速度则越快，b.理论上，当t为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当 t =(35)。时，即可认为暂态过程 结束。时间常数的求法是：对于 RC电路。=RC对于RL电路。=L/R。这里 R L、C都是等效值， 其中R是把换路后的电路变成无源电路，从电容(或电感)两端看进去的等效电阻(同戴维宁定 理求R的方法)。c.同一电路中，各个电压、电流量的°相同，充、放电的速度是相同的。电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。(1)零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能

4、引起的响应，其实质是电容元件 t放电的过程。即：f (t) = f(0把一(2)零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容元件t充电的过程。即：f (t) = f(°°) 1 一e 丁I )(3)全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加。精品.资料WORD格式.分享f(t) =f (0 加一. f (：)(1 -e-)零输入响应零状态响应应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从RC电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图2-1 ,这四种情况都可以用三要素法

5、直接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方法。精品.资料图8-4例8-3图图 2-1(a),(b),(c),(d)RL电路完全可以在理解RCt路以后，对照 RC电路来学习，不同的是时间常数丁=上，另外R还应该注意教材【例8-3】如图13-14所示的电路中，已知 E = 6 V , R = 10 k Q, F2 = 20 k Q, C = 30 PF, 开关S闭合前，电容两端电压为零。求：S闭合后电容元件上的电压比？解：Uc(0 +) = Uc (0 _) = 0/ 、RE 10 6u4°°)=n(笺)=1-=2 VR1 R210 20等效电阻R=里-二3二”-IR1 R

6、210 203K =RC=20 103 30 106 =0.2 s3t则通解为 uc =2 (0 -2)e后=2 -2et V【例8-4】图13-15所示电路中，已知 E = 20 V,R = 2 k ,R = 3 k 合前，电路处于稳态，求开关闭合后，电路中的电流。解:(2)(1)确定初始值：E 20.i l (0 ) = = = 4 IRi R22 3i c(0 +) = i l(0 ) = 4 mA确定稳态值E 20i l(二)=3 A =10 mARi 2 103确定时间常数R = R = 2 kJ34 10二3"2 10二2 10fs =2-S1、如图则通解为t-7-66

7、+iL =10 (4 -10)e 210 =(10-6e-510 t) mA典例题分析7.1 所示电路中，已知 uC(0J =6V , t =0将开关 S 闭t >0 时的 i(t) o知识点：零输入响应解:已知uC (01=6V ,则uC (0十)=6V ,换路后电路的响应为零输入响应。从电容两端看进去的等效电阻用外施电源法求解，如图7.1.1所示。其中Reqiiu二32 10i2=一(i ii)2 103)33二6 10 i2 2000i - -6 10u(i3) - 2000i2 103得 u=-1000j i所以 R = -u -10001J eq ik = ReqC=1000

8、0.25 106=0.25 10J3st所以 uC = 6e=6e"10tVduCi =C -C dtC6d4103t4103t= 0.25 10(6e) = -6emAdt2、如图7.2所t=0时开关S闭合，4257 'OQ示电路中，iL(0_)=0,求t之0时的iL(t)。27-图知识点：零状态响应解：已知iL(0 J = 0,则开关S闭合后电路的响应为零状态响应。首先求电感元件以外部分的戴维南等效 端口开路时电路如图7.2.1所示。uOC =10i1 10i1 =20i1电路。一25而 i1 =1A15 10所以 u0c =20i1 =20V端口短路时电路如图7.2.2

9、所示。i1 =0所以25iSC， 一5A153故R= UocReq -.i SC=20 -12'J53L 6 10.3.二二=0.5 10 sReq 12由图7.2.3可求得20IL"行55 0- 000t所以 iL =一(1 -e ) =一(1 -e )A333、电路如图7.3所示，已知u(0)=10 V,求u(t),知识点：一阶电路全响应 解：u(0+) = u(0) =10 V求电容两端左侧含源单口网络的戴维南等效电路， 7.3.1 。07.2.3t >0o如图图7.3求开路电压u0c:WORD格式.分享i1 =2AUoc = 4 i i+2 i i = 6X2

10、=12V外施激励电压源 u求等效电阻 ,如图7.3.2 。图7327?10Q图 7.3Ju = (4+4) i 1+2 i 1 = 10 i 1R)= u / i 1=10'.1原电路等效为图7.3.3所示。R R Ro C = 10 X0.01= 0.1 su(二)=12 V ttu(t) = u(0 )e u(二)(1 -e )=12 -2eJ0tV, t 一 04、电路如图7.4所示，电压源于t = 0时开始作用于电路，试用“三要素法”求i1(t), t> 0O知识点:解：“三要素法"求一阶电路全响应图7.4始值 i 1(0 +)。(1)求初图 7.4.1WORD

11、格式.分享如图图74 3作电源等效变换，如图 7.4.2所示。ii (0+) +0.5 ii (0+) +2 i 1 (0+) =2解得：i 1 (0 +) = 4/5 A(2)求时间常数求电容两端左侧含源单口网络的戴维南等效电路 电阻。示。外施激励电压源u ,如图7.4.3。(KVl)m： ii+( i i + i ) +2 i i = 0(KVDn2： u = i + ( i 1 + i ) +2 i 1= 2i + 3 i 1解得 FO = u/i = 5/41- Ro C = 1 s求稳态值i1 (8)。画出oo等效电路图，如图7.4.4所示。2 i 1 (8)+ 2 i 1 (oo)

12、 =2i 1 ( oo )=1/2 A之等效7.4.3 所依据“三要素法”公式得：精品.资料tii(t) =ii(二)ii(0 ) -ii(二)一/4 1、( )e5 2,t5、电路如图7.5所示，求iL( t ) (t>0),假定开关闭合前电路已处于稳定状态。 知识点：“三要素法"求一阶电路全响应 解：(1)求初始值i L(0 +)。i L(0 +) = iL(0-) = 10 / 2 = 5 mA(2)求时间常数&Feq = (0.5 + 0.5) / 1 = 0.5.二 L / Req = 2 ms1ML K 0.5kQiL(t)寸10mAk 'J求稳态值

13、i L ( 00)。i L ( 8) = 10 / 2 + 10 / 1 = 15 mA依据“三要素法”公式得：tiL(t)文(二)iL(0 )-八(二)成 =15 (5 -15)e 300t= 15-10e*00tmAt -0图7.56、当0 > t >三S时，通过3mHfe感的电流为i =10.0sin50t(A),求电感的电压、功率和能量。 50(u与i为关联参考方向)知识点：电感元件伏安关系及贮能公式。di解.u =L15.0cos50t(V)dtp =ui =75.0sin100t(W)tWL=jpdt =0.75(1 cos100t)(J)07、当0 > t &g

14、t; 5nmS时，1个20所的电容两端的电压为 u =50.0sin200t(V),计算电荷量、功率和能量。(u与i为关联参考方向) 知识点：电容元件伏安关系及贮能公式。解：q =Cu =1000sin200t(C)c dui =C0.20cos200t(A)dtp =ui =5.0sin 400t(W)t2WC = pdt =12.5(1 cos 400 t)(mJ )8,图3-2所示电路，t<0时电路已达稳态, uR(0+)。解：t<0时电路处于稳态(S在1处) t=0+时刻(S在2处)的等效电路为t1l(0 )=1At=0时开关由1扳向2,求iL(0+) , uL(0+),u

15、R(0 +)=- i l (0 +)R=(-1)x6 = -6V由 KVL: 6 i l (0 +)+Ul(0+)-u r(0+)=0得：u l(0+)=Ur (0 +)-6 i l (0 +)=-12V9. 图3-3所示电路，t=0时开关闭合，已知uc(0 )=4V,求ic(0+), Ur(0+)iC(0+) UC(0+)_一 性一%去、 _± _ +解：uc(0+)=uc(0 )=4Vt=0+时刻(S闭合)的等效电路：对节点 1 由 KCL: I i=l2+ic(0+)(1)对回路 1 由 KVL: 2I 1+412-8=0(2)对回路 2 由 KVL : 4i c(0+)+Uc

16、(0+)-4I 2=0(3)将三式联立代入数据得 i c(o+) =0.25A, I 2=1.25A, u r(o+)=4I2=5V10.图3-5所示电路t=0时开关S由1扳向2,在t<0时电路已达稳态。求初始值i(0+)、ic(0+)和 Ul(0+)。解：t=0-(S在1) L视为短路，C视为开路i l (0+)=i l(0-)=U s/(2+4)=24/6=4AUc(0+)=Uc(0-)=4il(0-)=16VT二。时刻等效电路i c(0 +)0 TQ2v ux0+)(2)对接点由 kcl: i l(0+)= i(0+)+ i c(0+) 对回路 1 由 kvl: U l(0+)+4

17、 i(0+)+2 i l(0+)=0 对回路 2 由 kvl: U c(0+)-4 i(0+)=0(3)由(3)得 i(0+)= U c(0+)/4=16/4=4A代入（2） 由（2）式i c(0+) =4-4=0AU l(0+) =-4 X 4-2 X 4=-24V 11.图3-7所示电路，开关动作前电路已达稳态，t=0时开关S由1扳向2,求 t> = 0+ 时的 i L(t)和 UL(t) 0解：t=0 -时电路处于稳态，电感视为短路i L（0-） =（8/（8+4）义 6=4Ai i（0+） = i l（0-）=4A换路后从电感两端看进去等效电阻：R=4+8=1窸, r =L/R=

18、0.2/12=1/60s i L( oo)=0电路响应为i L(t) =4e-60t AdiL(t), Ui(t)=L-d =0.2 义(-60)义 4e60t = - 48e -60t V12 .图示电路，t=0-时电路已达稳态，t=0时开关S打开，求t>=0时的电压uc和电 流i。解：t=0-电路处于稳态 电容视为开路 L。_+1I 1=(3/(3+4+2)X6=2A用 钊小Uc(0-) =2 I 1=2X 2=4V'A© R©3n用m, Uc(0+) = Uc(0-) 4V6Ao r,3n 尤换路后从电容两端看进去等效电阻R=R+R =2+1=3Q入=R

19、C=3< (1/3)=1s零输入响应U c (t) =4e-tdu(t) t t，i = i c =C dt =(1/3) x(-1) X4e =-(4/3)4e13 如图所示电路，t=0时开关闭和，求t>=0时的iL(t)和uL(t) 解：i l(0+) = i l(0-) =03Aj换路并稳定后，电感视为短路i L(8) =3,+0. 3H从电感两端看进去等效电阻 R=6/5 Q/. r =L/R=0.3 义 5/6=0.25s零状态响应为：i L(t) = i L(oo) (1- e -4t )=3(1-e6diL(t)ou u L(t) =L =0.3 x (-3) x (

20、-4)e -4t =3.6e-4t V14求图示电路的阶越响应uc解：Uc(0+) =Uc(0-) =0加入阶跃函数e (t)并稳定后，电容视为开路Uc(oo)=(1/2) £ Vt(r)从电容两端齐进去等效电阻：R=1+2/2=2 Q入=RC=2< 1=2s士，阶跃响应 u c (t)= u c(°°) (1- e 7 )=0.5(1- e -0.5t ) £ (t) V15图3-17所示电路，开关闭和前电路已达稳态，求开关闭和后的Ul0100V解：用三要素法开关闭合前稳态，电感视为短路i l(0-) =100/50=2AWORD格式.分享t=0 +时刻等效电路图il(0+) = i l(0-) =2AXJ对接点由 kcl：I i + I 2 = i l(0+)(1)对回路 1 由 kvl： 50I i + Ui(0+) 100=0(2)对回路 2 由 kvl: -50I 2 + Ui(0+) - 50=0(3)上三式联立解得 Ii =1.5A I 2 =0.5A U i(0+) =25V 换路稳定后，电感视为短路二 Ul(8)=0从电感两端看进去的等效电阻R=50/50=25 Q a t =L/R=5/25=0.2s工二 Ui = Ui(8)+ u i(0+) - Ui(8) e - t =25 e-5t