三年高考(2017-2019)文数真题分项版解析——专题11平面向量(解析版)

1、专题11平面向量1.【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a, b满足| a |=2| b |,且(ab)_L b,则a与b的夹角为花 A.62冗 C.3花 B . 一35冗 D .62| b|2【解析】因为(a -b) _Lb,所以(a -b) b = a b b2=0,所以a b=b2，所以cos6 =一一. 兀.所以a与b的夹角为& ,故选B.【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,兀.2 .【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2, 3), b=(3, 2),则|a-b尸

2、C . 5 2D . 50【答案】A【解析】由已知，a-b =(2,3) -(3,2) =(1,1),所以 |a -b|二 J(-1)2 +12 =72 ,故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的 考查.由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过 程中出错. . _3 .【2018年高考全国I卷文数】在ZXABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB =3力 1 YL 3PA. -AB ACB AB -AC4 4445 T1 T1T3TC. -AB -ACD. -AB -AC4444【解析】根据向量的

3、运算法则，可得 BE=1BA + 1BD =-BA 1BC -1 BA 1 BA -AC 2224241 lTip3 1p T 3. 1K = - BA+BA+AC = BA+AC,所以 EB = AB AC ,故选 A.2444444【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的4.5.三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算 【2018年高考全国II卷文数】已知向量 a, b满足|a | =1 , a b = 1 ,则a (2 a-b )=A. 4B, 3C. 2D, 022【解析】因为 a2ab)=2

4、a -a b = 2| a | (1 ) = 2 + 1 = 3.1 所以选 B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算. . 一 一 .一 兀向量【2018年局考浙江卷】已知 a, b, e是平面向重，e是单位向重.右非手向重 a与e的夹角为一，3b满足b2- 4e b+3=0 ,则|a- b|的最小值是A. V3- 1B . 73+1C. 2D . 2- <3【答案】A口【解析】设g=口y)* =力二(狙曲 则由(耳。二得a'e = |(i|' 畸 x = 射+此尸 土儡，由b2-4e b+3=0得病+llZ-4

5、m+3 = Oj(m-2y + / = L因此|a- b|的最小值为圆心(2曲到直线y二上在*的距离23=J3减去半径1,为的一L选a.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算6.【2018 年高考天津卷文数】 在如图的平面图形中，已知B.D.0OM =1,ON =2,/MON =120C,BM = 2MA,CN = 2NA,则BCOM 的值为A. -15C. -6【答案】C【解析】如图所示，连ZMN,由南 =2MAXN=2NA可知点分别为线段 如/C上靠近点力的三

6、等 分点，则就=切丽=?一而)，由题意可知： 粉=1” = 1，OW = lx2xcosl2(r=-L结合数量积的运算法则可得：本题选择c选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.7 .【2017年高考全国II卷文数】设非零向量 a, b满足a+b = ab,则A. a ± bB. a = bD.C. a / b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量 a, b的模长为边长的平行四边形是矩形，从 而可得a ± b .故选A.【名师

7、点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直8 .【2017年高考北京卷文数】设 m,n为非零向量，则 存在负数% ,使得m = ?._n"是 m n < 0”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 孔<0,使m = Kn,则两向量 m, n反向，夹角是180口，那么mm=m n cos180° =-m|n <0 ；若m n <0,那么两向量的夹角为(90s,180°,并不一定反向，即不一定存在负数九，使得m=Kn ,所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向

8、量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题9 .【2019年高考北京卷文数】已知向量a =(4 3) , b = (6, m),且a_Lb,则m=.【答案】8【解析】向量 a =(Y,3),b = (6,m), a_Lb,则a b = 0,-4乂6 + 3m=0, m = 8.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与 化归思想的应用.属于容易题.10 .【2019年高考全国III卷文数】已知向量 a =(2,2), b = (8,6),则cos(a,b) =.【答案】-迎10【解析】cos ；a, b二2-82 6|a|b|22 22(-8)2 6

9、21011.【2019年高考天津卷文数】在四边形 ABCD中，AD / BC, AB = 2J3, AD = 5, /A = 301点【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.E在线段CB的延长线上，且 AE=BE ,则BD AE =.【答案】-1【解析】建立如图所示的直角坐标系，/DAB=30°, AB=2，3, AD = 5,则 B(2 的0), D因为 AD / BC, /BAD=301 所以 / ABE =30)因为 AE =BE ,所以 NBAE=30=,所以直线BE的斜率为 叵,其方程为y=Y3（X-2J3）, 33直线AE的斜率为一旦

10、,其方程为 3、,3y 二 x.3y = -33(x -2、3y =-x3所以 E(、.3, -1).所以 BD|_AE =( 2-1)= -1 .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标 方法更为方便.12.【2019年高考江苏卷】如图，在 ZXABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA, AD与CE交于点O .若AB AC =6Ao EC，则空的值是 ACA【解析】如图，过点D作DF/CE,交AB于点F,由BE=2EA, D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD .6AoeC3vrr= 3AD_AC -AE = AB +AC

11、AC -AE , 一2-3 r l-AB AC AC - - AB2.3=31 22ABAC3 2 T1 一-AB lAC -2 312-AB AC 3=AB jAC - AB一 23-22 -f -f+ AC =ABAC ,2一1232得一AB = AC ,即22AB =V3A?,故 幽=731 AC【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题13.【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD的边长为1,当每个 (i =1,2,3, 4,5,6)取遍±1时,| %AB + % BC + %CD +

12、 九4 DA + / AC + %BD | 的最小值是【答案】0; 2卮【解析】以AB, AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图他0)&L0) 工则 AB=(1,0), BC =(0,1),CD =(-1,0), DA =(0, -1), AC =(1,1)彘=(一1,1),令T T T T y = %AB +%BC +%CD +% DA +%AC +%BD22二,11 - '','a ' 1 5 '''B)- ，2 i'4 ' ' 5 , ' 6-00.又因为白。=1,2,3, 4,5,6)

13、可取遍±1,所以当 = % 4-4 ='5 =7-6 1, -2 = 1 时，有最小值 ymin =0.因为(% -七十九5 )和(% % +% )的取值不相关， % =1或九6 = -1 ,所以当(% -，一3+“)和(，-2 -上4 + 5-5 )分别取得最大值时，y有最大值,ymax = .2242 = .20 =2,5所以当d时，有最大值1 =七=%=，6 =1, '3 =人4 - -1故答案为0; 2 .5.【名师点睛】 对于此题需充分利用转化与化归思想，从篡向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量 和不等式的综合题14.【2018年高考全国III卷文数】已

14、知向量a = (1,2 ), b=(2,-2 ), l。，入).若c/(第+b )，则九=21 1【解析】由题可得 2a+b=(4,2 ), ,c/(2a + b), c=(1，入)，二4九2 = 0,即人=，故答案为-.2 2【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15.【2018年高考北京卷文数】设向量a = (1,0), b= (-1,m),若aL (ma -b),则m=.【答案】解析v a = (L0)力=(-l.m), »7na-&=(鸭0)一 (1而)=(tb + L一瓶)，由0(加Q-

15、b)得：Q，(ma-b)=0,二口伽”白)=航+ 1 = 0,即加二一1【名师点睛】如果 a=(xi, yi), b=(x2, y2)(b0),则a_|_b的充要条件是xix2+yiy2=0.16 .【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、E E、F是y轴上的两个动A -1,01 B I 2 ? 0 I点，且1. o,贝u AE BF的最小值为.|EF | = 2 AE BF【答案】-3【解析】根据题意，设 E (0, a), F (0, b);EF = ab2;a=b+2,或 b=a+2；且AE(1,a 凉=(2,b)；AE BF = 2+ab；当2加+2时，AE BF一一2 一

16、 一=-2 + (b + 2 )b = b2 + 2b-2 ;.b2+2b-2的最小值为T TT TAE BF的最小值为-3,同理求出b=a+2时，AE BF的最小值为-3.故答案为：-3.【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量 积运算，二次函数求最值的公式.17 .【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy中，A为直线l: y = 2x上在第一象限内的点，B(5,0),T T以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D .若AB CD = 0,则点A的横坐标为 .【答案】3,a I,易得a 5【解析】设A a,2a Xa >0),则由圆

17、心C为ab中点得C -a-2l_C : (x5 Xxa )+y(y2a )=0,与y =2x联立解得点d的横坐标Xd =1,所以D(1,2 ).所以-1 a 5AB = 5 -a, -2a ,CD = 1,2-a由瑞 CD =0得(5a，1 -a5 j+(-2a p-a ) = 0,a2 2a -3 = 0,a = 3或 a =-1，因为a >0,所以a =3.【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程 等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解 决这类问题的一般方法.18 .【2017年高考全

18、国III卷文数】已知向量 a =(2,3), b = (3,m),且a_L b,则m=.【答案】2【解析】由题意可得 a b = 0= 2x3+3m=0,解得m = 2.【名师点睛】(1)向量平行：a/ b= x1y2 =X2% ,一- TT 1 一a/ b, b=0= _ R, a - b, BA = AC = OA =OB OC .1：.；.1 (2)向量垂直：a_b：= a b = 0= x1x2 - y1y2 = 0.(3)向量的运算：a -b = (x 二x2, y1 二 y2), a2 =| a |2,a b =|a | | b |cos- a, b .19.【2017年高考全国I

19、卷文数】已知向量a= ( T , 2) , b= (m, 1).若向量a+b与a垂直，贝U m=【答案】7【解析】由题得a+b = (m1,3),因为(a+b) a =0 ,所以(m 1) + 2父3 = 0 ,解得m = 7.【名师点睛】如果 a=(Xi , y), b=(&, y2)(b砌,则a_Lb的充要条件是x1x2+y1y2=0.20.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量 oa，ob , OC的模分别为1, 1, J2, OA与OC的夹角为a ,且tan« =7, OB与OC的夹角为45° .若OC = mOA十nOB (m,n w R),则

20、【解析】由tana =7可得sin a =7也10、.2 工八丘,cos a =,根据向重的分解, 1022.22.；-n An nn n+ m = J2/匚,一I n cos45 *十 m cosa = J22105n+m = 10易得<，cos45m "2 ,即210，即，即得）nsin45 -msin ： =0| < 27 25n-7m = 0n -m = 0,21057m = ，n =44所以m +n =3 .【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问

21、题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.21.【2017年高考浙江卷】 已知向量a, b满足a =1, b =2,则a+b + a b的最小值是 ,最大值是.【答案】4, 2痣【解析】设向量a,b的夹角为6 ,则a b =由2 +22 -2父1父2"。$ = J5-4cos日,a + b = J12 +22 +2父1父2父8$日=J5 +4cos8,则 a +b + a -b = j5 + 4cos日 +j5-4cos，令 y =j5+4cos日 + J5-4cos。,则 y2 =10 + 2,25-16cos28 w U6,20,据此可得：（|a+b+ab） =而=2G,（a+b+ab） =716 = 4,I 'max'Il I min即a +b + a b的最小值是4,最大值