中考总复习：二次函数知识讲解(基础)

1、学习好资料欢迎下载中考总复习：二次函数一知识讲解（基础）【考纲要求】1 .二次函数的概念常为中档题.主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2 .二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3 .抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题 一般较难，在解答题中出现.【知识网络】二次南政的假念寞际问题二次函数的图象0)1一元二次方程与二次函敷的美奈用函数观点看1一元二次方程'利用二次函数的图象求一元二次 方程的M一刹车距离实际问幽与二次函数二|何而获得最大利润【考点梳理】考点一、二次函数的定义一般地，如果y=ax2

2、+bx+c （a、b、c是常数，aw 0）,那么y叫做x的二次函数.要点诠释：二次函数y = ax2 + bx + c（a w 0）的结构特征是：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2. （2）二次项系数aw0.考点二、二次函数的图象及性质21 .一次函数y =ax +bx +c（a丰0）的图象是一条抛物线，顶点为2 .当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下.3 .|a|的大小决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线的开口越小,c的大小决定抛物线与 y轴的交点位置.c= 0时，抛物线过原点;轴；c< 0时，抛物线与y轴交于负半

3、轴.ab的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab=0时，对称轴为b 4ac - b22a， 4a|a|越小，抛物线的开口越大.c>0时，抛物线与y轴交于正半y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当abv 0时，对称轴在y轴的右侧.4 .抛物线y =a(x+h)2+k的图象，可以由 y =ax2的图象移动而得到.将y = ax2向上移动k个单位得：y = ax2+k .将y= ax2向左移动h个单位得：y=a(x + h)2.将丫=2*2先向上移动k(k >0)个单位，再向右移动h(h>0)个单位，即得函数y = a(x h)2+k的 图象.要点诠释：2求抛物线y=ax +

4、bx+c ( aw 0)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式1 .一般式：y =ax2+bx+c(a w 0).2右已知条件是图象上的二个点，则设所求二次函数为y=ax +bx + c,将已知条件代入，求出a、b、c的值.2 .交点式(双根式)：y = a(x x1)(xx2)(a =0).若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(xi, 0), (x2, 0),设所求二次函数为 y =a(x-x1)(x -x2),将第三点(m, n)的坐标(其中m n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系

5、 数，最后将解析式化为一般形式.3 .顶点式：y =a(xh)2+k(a =0).若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为 y=a(x-h)2+k,将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.4 .对称点式：y =a(x-x1)(x-x2)+m(a =0).若已知二次函数图象上两对称点(x i, m), (x 2, m),则可设所求二次函数为y =a(x -xi)(x-x2)+m(a *0),将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式. 要点诠释：已知图象上三点或三对 X、7的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点

6、式.(可以看成y 二 口/的图象平移后所对应的函数).已知图象与轴的交点坐标 工、办 ,通常选用交点式： J二以卜一工1)(x一工(aw0).(由此得根与系数的关系：丸 +勺=-1,可为=£).'a a考点四、二次函数 y = ax2+bx+c(a W0)的图象的位置与系数 a、b、c的关系1 .开口方向：a>0时，开口向上，否则开口向下.2 .对称轴：-2>0时，对称轴在y轴的右侧；当-担<0时，对称轴在y轴的左侧.2a2a3 .与x轴交点：b24ac >0时，有两个交点；b24ac = 0时，有一个交点；b24ac < 0时，没有交点.要点诠

7、释：当x= 1时，函数y=a+b+c;当 x=-1 时，函数 y=a-b+c;当a+b+c>0时，x= 1与函数图象的交点在 x轴上方，否则在下方；当a-b+c>0时，x= -1与函数图象的交点在 x轴的上方，否则在下方.考点五、二次函数的最值2b4ac - b21 .当a>0时，抛物线y=ax+bx+c有取低点，函数有取小值，当x =时，y最小=-2a4a2 b4ac - b22a4a2.当a< 0时，抛物线y=ax +bx+c有取局点，函数有取大值，当x =时，y最大=- 要点诠释:在求应用问题的最值时，除求二次函数y = ax2+bx+ c的最值，还应考虑实际问题

8、的自变量的取值范围.【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值C1.二次函数 y=x2-2 (k+1) x+k+3有最小值-4,且图象的对称轴在y轴的右侧，则 k的值是 .【思路点拨】因为图象的对称轴在 y轴的右侧，所以对称轴x=k+1 >0,即k>-1 ;又因为二次函数 y=x2-2 (k+1) x+k+3 有最小值-4 ,所以y - 4仲3)-(2k+2)2 =-4 ,可以求出k的值.【答案与解析】解：,图象的对称轴在 y轴的右侧，对称轴x=k+1 >0,解得k> -1 ,;二次函数 y=x2-2 (k+1) x+k+3有最小值-4,4 (k+3) -(2k+2)2

9、=k+3- (k+1)2=-k 2-k+2=-4 ,整理得k2+k-6=0 ,解得k=2或k=-3 ,''' k=-3 v -1 ,不合题意舍去,k=2.【总结升华】 求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法,第三种是公式法.举一反三:【变式】已知y =(k+3)xk24k”是二次函数，求k的值.2k2 k -4 =2【答案y =(k +3)Xk是二次函数，则(k 3 = 0,一 22由 k 十k4=2 得 k +k6=0,即(k+3)(k2) =0,得 ki =3, k2 = 2 .显然，当 k = -3 时,原函数为y = 0,不是

10、二次函数.k =2即为所求.类型二、二次函数的图象及性质的应用3个单位，则平移后抛物线的解析式为2.把抛物线y=x2向左平移1个单位，然后向上平移().A . y = -(x1)23 B , y = (x + 1)23C . y=(x1)2 +3D . y = (x+1)2 +3【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为(0, 0),向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为(-1,3),根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.【答案】D;【解析】根据抛物线的平移规律可知：y = -x2向左平移1个单位可变成y = -(x + 1)2,再向上平

11、移3个单位后可变成y = (x+1)2+3.【总结升华】(1) y = ax2图象向左或向右平移|h|个单位，可彳# y = a(x h)2的图象(h <0时向左，h>0时向右).22(2) y=ax的图象向上或向下平移 |k|个单位，可得 y=ax +k的图象(k>0时向上，k<0 时向下).举一反三：【变式】将二次函数y =x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移 2个单位长度后，所得图象的函 数表达式是()A.y=(x-1)2+2B, y=(x+1)2+2C .y=(x-1)2-2D. y=(x+1)22【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减"得y

12、=(x-1)2 +2 ,故选A.类型三、求二次函数的解析式03.已知二次函数y =ax2 +bx+c的图象经过点(1 , 0), (-5 , 0),顶点纵坐标为-,求这个二次 2函数的解析式. 【思路点拨】将点(1,0), (-5,0)代入二次函数y=ax2+bx+c, 再由1 2-4ac- b 9=一,从而求得 a, b, c的值,4a 2即得这个二次函数的解析式.1 a- 2, 解得b = -2,5c =一.、2【答案与解析】a +b + c =0, 解法一：由题意得 <25a5b+c=0,94a -2b +c =-, L21 c 5所以二次函数的解析式为y = 1x2 2x + 5

13、.22解法二：由题意得y =a(x-1)(x+5).9_ _91把 x =-2 y= 一代入，得a( -2 -1)父(-2+ 5)= -,解得 a =一-.2221所以一次函数的斛析式为y = (x -1)(x +5),即 y x2 2x.2 2解法三：因为二次函数的图象与x轴的两交点为(1 , 0), (-5 , 0),由其对称性知,对称轴是直线x = -2 .所以，抛物线的顶点是''-2,9 I1.,2 .2 91 25可设函数解析式为 y=a(x+2)2+9.即y = 1x2 2x + 5 .222【总结升华】 根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式.举一反三: 【

14、变式】已知：抛物线y =x2+(b 1)x+c经过点P(-1,-2b).(1)求b+c的值；(2)若b=3,求这条抛物线的顶点坐标；(3)若b>3,过点P作直线PA_Ly轴，交y轴于点A,交抛物线于另一点 B,且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示：请画示意图思考)【答案】2解：(1)依题意得：(1) +(b1)(1) + c = 2b,:.b +c = -2 .(2)当 b=3时，c = a ,2_2 一.y = x 2x -5 =(x 1) -6二抛物线的顶点坐标是 (-1,-6).b -1(3)解法1：当b>3时，抛物线对称轴 x = b <-1

15、 ,2二对称轴在点P的左侧.因为抛物线是轴对称图形，P(-1,-2b)且BP = 2PA. B(-3,-2b): b =5.又 b +c = 一2 , .-p c = -7.抛物线所对应的二次函数关系式y = x2 + 4x - 7 .b -1解法2：当b>3时，x = _b_<_1,2二对称轴在点P的左侧.因为抛物线是轴对称图形，P P( -1, -2b),且 BP=2PA, B(3,2b)二(-3)2 -3(b -2) +c = -2b .又 b+c = 2,解得：b=5, c = 7这条抛物线对应的二次函数关系式是y = x2 +4x -7 .解法 3： '；b+c=

16、-2,c = -b-2,.y = x2 (b-1)x -b -2BP / x轴，: x2 +(b - 1)x -b - 2 = -2b即：x2+(b-1)x+b-2 =0 .解得：x1 = -1, x2 = (b -2),即 xB = -(b-2)由 BP=2PA,.一 1+(b2)=2父1 .,这条抛物线对应的二次函数关系式y = x2+4x -7 .类型四、二次函数图象的位置与a、b、c的关系C4. （2015?包头）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c （a沟）的图象与x轴交于点A （ - 1, 0）,对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在（0, 2）和（0, 3）之间（包括这两点），下

17、列结论:'2D - 1QW-；4ac- b >8a；其中正确的结论是（C.D.3 先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3, 0）,从而可知当x>3时，y<0; 由抛物线开口向下可知 a< 0,然后根据x= - -=1,可知：2a+b=0,从而可知3a+b=0+a=a<0; 2a 设抛物线的解析式为 y=a （x+1） （x-3）,贝U y=ax2 - 2ax - 3a,令x=0得：y=-3a.由抛物线与y轴的 交点B在（0, 2）和（0, 3）之间，可知 2W- 3a<3.由4ac- b2> 8a得c-2v 0与题意不符.【答

18、案】B;【答案与解析】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3, 0）,当x>3时，y<0,故正确；抛物线开口向下，故 a< 0,. x= -=1,2a.-2a+b=0.3a+b=0+a=a< 0,故 正确；设抛物线的解析式为 y=a （x+1） （x-3）,贝U y=ax2- 2ax- 3a,令 x=0 得：y= - 3a.抛物线与y轴的交点B在（0, 2）和（0, 3）之间，：2a3a3解得：-iqw-2,故正确； 3二.抛物线y轴的交点B在（0, 2）和（0, 3）之间，2W超由 4ac- b2>8a 得:4ac- 8a>b2, a

19、< 0, c- 2V4ac- 2<0 .c<2,与2W小矛盾，故错误.故选：B.【总结升华】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键.举一反三:【变式】如图所示是二次函数y =ax2 +bx+c图象的一部分，图象经过点A（-3 , 0）,对称轴为x= 1 .给2出四个结论：b >4ac；2a+b = 0；ab+c = 0；5a <b.其中正确结论是（）.【答案】本例是利用二次函数图象的位置与a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线x = 1 , x = -1交抛物线的位置来判断a+b+c, a-

20、b + c的符号问题应注意理解和掌握.由图象开口向下，可知 a<0,图象与x轴有两个交点，所以 =/4ac>0, b2 >4ac,b 确.对称轴为x = - =-1,所以b = 2a,又由a<0, b=2a,可得5avb,正确. 2a故选B.类型五、求二次函数的最值C5.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于 65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围.(2) 每件商品的售价定为多少元时，

21、每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元 ？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【思路点拨】(1)每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出(210-10x)件，每件商品的利润为x+50-40=10+x ;(2)每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即(210-10x ) (10+x),当每个月的利润恰为 2200元时得到方程(210-10x) ( 10+x) =2200.求此方程中x的值.【答案与解析】(1)y =(210-l0x)(50+

22、x-40)=-10x 2+110x+2100(0<x W15 且 x 为整数).(2)y=-10(x-5.5) 2+2402.5 .a =-10<0, 当 x=5.5 时，y 有最大值 2402.5 .-.1 0<x <15,且x为整数，当 x= 5 时，50+x= 55, y = 2400(元)；当 x=6 时，50+x = 56, y=2400(元).当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.(3) 当 y=2200 时，-10x 2+110x+2100 = 2200, 解得 x1= 1, X2= 10 .当 x= 1 时，50+x

23、=51;当 x=10 时，50+x=60.当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元.【总结升华】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程.举一反三：【变式】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。(1) 求平均每天销售量 y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(2) 求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大

24、利润？最大利润是多少？【答案】解：(1)y =90 -3(X-50),化简得 y=-3x+240(50 WxW55).(2)w = (x-40)(-3x+240)- 2=3x +360x9600(50 wxw 55).(3)w= -3x2 +360x-9600 , a <0, .抛物线开口向下. b _ _当x = = 60时，w有取大值，2a又xv60, w随x的增大而增大.当x= 55元时，w的最大值为1125元。当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润.类型六、二次函数综合题命 6. (2015?北京)在平面直角坐标系 xOy中，过点(0, 2)且平行于x轴的直线

25、，与直线 y=x - 1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线Cy=x2+bx+c经过点A, B.11)求点A, B的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；2(3)若抛物线C2： y=ax2 (a加)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.必01【思路点拨】(1)当y=2时，则2=x-1,解得x=3,确定A (3, 2),根据AB关于x=1对称，所以B (- 1, 2).(2)把(3, 2), (-2, 2)代入抛物线 Ci： y=x2+bx+c得J2T+3b+c 求出b, c的值，即可解答;1 2=1 -b+c(3)画出函数图象，把 A, B代入y=ax2,

26、求出a的值，即可解答.【答案与解析】 解：(1)当y=2时，则2=x - 1,解得：x=3, .A (3, 2), 点A关于直线x=1的对称点为B,B (T, 2).(2)把(3, 2), (-2, 2)代入抛物线 Ci： y=x2+bx+c 得：2=9+3b+c2=1 - b+c o b= - 2解得：.c= - 1y=x2 - 2x - 1.顶点坐标为(1, - 2).(3)如图，当C2过A点，B点时为临界,代入 A (3, 2)则 9a=2,解得：a=-,9代入 B ( 1, 2),贝U a ( 1) 2=2,解得：a=2,【总结升华】 本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决 问题.举一反三：【变式1】已知函数y =x2 -2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y>1成立的取值范围是()4岁y 2TA. -1 <x< 3 B , -3 <x< 1 C . x>-3 D . x<-1 或 x>3【答案】由图象知，使y=l成立的x的值为x=-1 , x = 3,使y>1的图象是在直线 y=1上方的两部分. 答案：D.2【变式2】已知：抛物线 y =x十（a2）x2a （a为常数，且a>0）.（1）