数学寒假讲义第八讲整式的乘法

1、第八讲整式的乘法 (二)- 乘法公式一、知识梳理1、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(ab)( ab)a2b2理解公式的几何意义：图 1平方差公式：由图1 可以清楚地看出 (a b)(a b) a2b2，即表示边长分别为(a b)(ab)的长方形的面积等于大正方形的面积2减去、a小正方形的面积b2 .注： 1、 a、b 仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等） ，只要是符合公式结构特征的，都可以运用这一公式计算 .2、弄清公式的各种变异形态 位置变化， xyy xx2y2 符号变化，x yx yx2y2 x 2 y2 指数变化， x2 y

2、2 x2 y2x4y4 系数变化， 2a b 2a b4a2b2 换式变化， xyz m xyz mxy 2z m2x2y2z m z mx2y2z22zm zm mx2y2z222zm m 增项变化， x y z x y zxy 2z22x y x yz222xxy xy yz222x2xy yz22 连用公式变化，x y x y xyx4 y4 逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y zx y zx y zx y z2x2y 2z4xy 4xz2、完全平方公式两数和 ( 或差 ) 的平方，等于它们的平方和， 加上 ( 或减去 ) 它们积的两倍，即(ab) 2a22abb2 ,(

3、ab)2a22abb2或 ( ab) 2a 22abb2图2图3理解公式的几何意义：由图 2 可以清楚地看出 (ab)2a22abb2 ，即表示大正方形的面积 ( a b)2 等于两个正方形的面积 a2 、b2 之和，再加上两个小长方形的面积 2ab .由图 3 可以清楚地看出 (ab)2a22abb2 ，即表示大正方形的面积 ( a b)2 等于两个正方形的面积 a2 、b2 之和，减去两个小长方形的面积 2ab .两数和的平方推广计算 (abc)2分析：式子 (abc) 2 中有三个数，可以看做是两个数的和，从而利用公式，(a bc)2( ab)c 2或(a b c) 2 a (b c)

4、2或(a b c)2 b(ac)2 答案： (abc) 2( ab)c2(ab)22(ab)cc2a2b2c22ab2ac2bc 拓展延伸： 几个数的和的平方，变形成两个数的和的平方，?等于它们的平方和加上每两个数的乘积的2倍，例如( abcd ) 2a2b2c2d 22ab2ac2ad2bc2bd2cd .二、典型例题及针对练习知识点 1 平方差公式运用公式解决有关问题例 1、计算：（3a5b）（3a5b）例 2. 计算 20062 2007 2005例 3. 计算 (3m 2n)( 3m 2n)分析：观察后一个括号内的两项发现，只要提出一个“”号即可运用平方差公式计算。例 4.计算 (x2

5、y1)(x2 y1)注意：“整体思想”的运用，灵活解题 练习 1 、计算：（1） ( 2a3b)(3b2a) ；（2） ( x2y)(x2y) ；（3） ( 2a 2b)1a1b ；（ ） (ab c)(a b c) ；2242、（1） 20073200620072008 ；（2）计算：（x3y2z）（x3y2z）知识点 2 完全平方公式例 5 计算：（ 2x5y）2例 6 计算：（a2b5c）2分析：括号中有三项，可以取其中的任意的两项组合，然后运用完全平方公式 .综合探究创新例7 计算22003.200420032002例 8 已知 (ab)27,( ab)24 ，求 a2b2 ， ab

6、的值 .注： (1) 由两数和的平方和两数差的平方， 可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积， 同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积 .练习 3、计算 1001 9999972 .已知 xy6, x2y28 ，求 1 xy 的值 .2例 9：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2 的值。例 10：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14。求 x2-z 2 的值。例 11：判断（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1 的个位数字是几？例 12运用公式简便计算（ 1）1032（2）1982例 13解下列各式（ 1）已知 a

7、2 b2 13，ab 6，求 a b 2， a b 2 的值。a2b 2（ 2）已知 a a 1a2 b2，求 2ab的值。x13x41（ 3）已知x，求x4 的值。例 14四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？例 15计算（1） x2 x 1 2（2） 3m n p 2三、巩固练习一、填空题1.( ab)( ab).2.已知 xy1，那么 1 x2+xy+ 1 y2 的值为.223.9962995997.4.(2 x 1)2 (2 x1)2.5.若 x14 ，则21.xxx26.方程组 x2y215, 的解为.xy 5二、选择题7.若 a 的值使得 x24xa ( x 2) 21 1 成立，则 a 的值为 ( )A.5B.4C.3D.28 若 xy5 ( xy 6)20 ，则 x2y2 的值为 ()A.13B.26C.28D.379 如图 1518 所示的是用4 个相同的小矩形与1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用 x，y 表示小矩形的两边长 (x y) ，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是 ()A xy7B.xy2C. 4xy449D.x2y225三、解答题10. 解方程： (3x 2)(3 x 2)