用二元一次方程组解决问题例题

1、实用标准文案用二元一次方程组解决问题例题目标认知学习目标：1 .能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2 .进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3 .体会列方程组比列一元一次方程容易4 .进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力5 .掌握列方程组解应用题的一般步骤； 重点：1 .经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。2 .进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把 朱知”转化为

2、 已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：（1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线 段，用图便于理解与分析。 其等量关系式是：两者的行程差一开始时两者相距的路程；路程二谏度X时间;速度路程时间；时间路程速度（2）相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段

3、图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。（3）航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；船的顺水速度船的逆水速度=2速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2 .工程问题：工作效率X工作时间=工作量.3 .商品销售利润问题：利润率匚售纥进x 100%（1）利润=售价成本（进价）；（2）W;（3）利润=成本（进价）邓I润率;（4）标价=成本（进价）（1+利润率）；（5）实际售价=标价 布折率;注意：商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按

4、标价的 文档大全十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)4 .储蓄问题：(1)基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式利息=本金瘠1J率和数本息和=本金+利息=本金+本金邓I率刈数=本金X (1+利率硼数)利息税=利息 瘠I息税率=本金 评I率刈数邓I息税率。月利率年利率税后利息=利息 X(1利息税率)年利率=月利率 X1212。注意：免税利息=利息5 .配套问题：解这

5、类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6 .增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量N1+增长率)=增长后的量；原量N1 减少率)=减少后的量.7 .和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量十多余量，总量=倍数监量.8 .数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为： 两位数二十位数字X 10+个位数字9 .浓度问题：溶液质量 1.甲、乙两地相距 160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，

6、1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意:汽车行驶】-小时的路程汽车行驶小时的痂程文档大全拖投机生鼠11小ff?的跖程2(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程(2)有两个等量关系：1111相向而行：汽车行驶 3小时的路程+拖拉机行驶 3小时的路程=160千米;一、一 L 一一 (岛同向而行：汽车行驶 2小时的路程=拖拉机行驶2小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行I千米，拖拉机的速度为每小时y千米.4 1(工+力=160、/- x =

7、(1 + )y根据题意，列方程组 2、*fx-90解这个方程组，得一90x(11 + 1)-165 (千米)%千米)二 2二 2.答：汽车行驶了 165千米，拖拉机行驶了 85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。眇 2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公 路逃离现场，正在 B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时

8、后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则；3(x-y)=120,x+y=120，整理得x _ y = 40、x + y =120x =80 y =40因此，巡逻车的速度是 80千米/时，犯罪团伙的车的速度是 40千米/时.点评： 相向而遇”和 同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关 系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；同向追及”时，快者所

9、走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.举一反三：【变式1甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5小时后相遇；如果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲、乙两人每小时分别行走 工千米、了千米。根据题意可得：f4.5x+2.5y = 3l53x + 5y= 36x= 6解得：I. - -j答：甲每小时走 6千米，乙每小时走 3.6千米。【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。分析：船顺流速度=静水中的速度+水速船逆流速度=静水中

10、的速度水速解：设船在静水中的速度为 x千米/时，水速为y千米/时，J14(x+ y)- 280则20(z-y) = 280 解得：y = 3答：船在静水中的速度为 17千米/时，水速3千米/时。跟踪训练1、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边 300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后,甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次,已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？类型二：列二元一次方程组解决 工程问题C1 一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入

11、合做，那么再做 8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做 9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？ 分析：由题意得甲做 12天，乙做8天能够完成任务；而甲做 9天，乙做13天也能完成任务，由此关系 我们可列方程组求解.设甲每天做x个机器零件，乙每天做 y个机器零件，根据题意，得(4 + 8)x + 8y = 840、9x+(4 + 9)y = 840解得:x=50、y=30答：甲每天做50个机器零件，乙每天做 30个机器零件 2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只

12、能完成订货的4 ;现在工5厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，一 4依题意，彳导150y =5x ,200（ y -1）=x - 25x = 3375y =18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间XX作效率”以及它们的变式 工作时间=工作量作效率，工作效率=工作量 作时间其次注意当题目与工作量大 小、多少无关时，通常用“1表示总工作量.举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲

13、、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需 9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由解：设甲、乙两公司每周完成总工程的 工和V,由题意得： 1/# +力=1,解得：I” 一出所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。设需要付甲、乙每周的工钱分别是 a万元，b万元，根据题意得：原+6力二5 一 2卜二纳= 48,解得：卜二合故甲公司单独完成需工钱：10（7 = 6 （万元）；乙公司单独完成需工钱：15b = 4 （万元）。答：甲公司单独完成需 6万元，乙公司单独完成

14、需 4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成.跟踪训练1、一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：若从你们中飞上来一只， 则树下的鸽子就是整个鸽群的 1/3,若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题1 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利 10元，问此商品的实用标准文案定价是多少?分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利

15、（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折时的卖出价为 0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程 0.8x-y=10.解方程组0.9x -y -20%y0.8x - y =10x=200解得！ “c，y =150因此，此商品定价为 200元.=售价-进价；二是：利润=总结：利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有两种方法，一是：利润进价 邓I润率.特别注意 利润”和 利润率”是不同的两个概念.0 2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为 4% ,乙商品的利润率为 5% ,共可获利44元，则两件商品的

16、进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润=进价冰润率解：甲商品的进价为 x元，乙商品的进价为 y元，由题意得：工+ 4%y = 46 Jx = 600（4%3 + 5%丁 = 44,解得：400答：两件商品的进价分别为600元和400元。举一反三：【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了1亩，乙种蔬菜种植了丁亩，则：工+尸=10,1工=6200彳+1500 WOO ,解得了印答：李大叔去年甲种蔬菜

17、 种植了 6亩，乙种蔬菜种植了 4亩.【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表:AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件; 文档大全实用标准文案文档大全解：设购进a种商品工件，b种商品y件，根据题意得:12001 + 1000y = 360000, t (1380-1200)x +(1200-WOO)7= 60000.J6x+57 = 1800,p= 200t化简得：;+10y=3000,解得：j = 120,答：该商场购进 A、B两种商品分别为 200件和120件。

18、跟踪训练1、打折前，买60件A商品和30件B商品用了 1080元，买50件A商品和10件B商品用了 840元，打折后，买50件A商品和50件B商品用了 960元，比不打折少花多少钱？2、有甲、乙两种债券，年利率分别是10%与12%,现有400元债券，一年后获利 45元，问两种债券各有多少？类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税=利息金额X20%,教育储蓄没有利息

19、所得税）思路点拨： 设教育储蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我们可以根据题意可列出表格:教育储蓄一年定期合计现在Xy一年后x+x*2.2S%2042. 7S解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为 y元，则列方程:口二 2000-工卜= 150010 + O,O225）x+M + OO225U-O.2）= 204275,解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为 500元.总结升华：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等 量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来举一反三：【变式1

20、】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额X20%）思路点拨：扣税的情况：本金 X年利率Z1-20%） X年数=利息（其中，利息所得税=利息金额X20%）.不扣税时：利息=本金利率数.解：设第一种储蓄的年利率为xX,第二种储蓄的年利率为 y,根据题意得：Jz+y = 3.24%卜=2.25%t（K20H）2000z+10007 = 43,92 ,解得0,99%答：第一种储蓄的年利率为 2.25%,第二种储蓄的年利率为 0.99%.【

21、变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75元（不计利息税），问小敏的爸 爸两种存款各存入了多少兀？解：设第一种存款数为 X元，则第二种存款数为 y元，根据题意得：y = 4000 -xr = 150013/2,25% +冲3x2,70% = 303,75,解得：2500答：第一种存款数为 1500元，第二种存款数为 2500元。 类型五：列二元一次方程组解决 生产中

22、的配套问题C1.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可彳上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰 好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）.解：设用I米布料做衣身，用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：，解得工x = 60% = 72f = 1323 r 522答：用60米布料做衣身，用 72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣

23、袖恰好配套总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出 来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺2某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最 多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X2=每天生产的螺母数

24、X1.因此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25 x个，螺母20y个，依题意，得x =20y =100x y =120i ，解之，得50x 2 = 20y 1故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.总结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：匕合一 ”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:b,要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a：b.举一反三：【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张

25、铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;制盒身个数的2倍=制盒底个数.解：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得：答：用110张制盒身，80张制盒底，正好制成一批完整的盒子.【变式2】某工厂有工人 60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有x人，生产螺母的有 y人，则:x+ y= 60_2xl4x=20yjx-25答：生产螺栓

26、的有 25人，生产螺母的有 35人。【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面 50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿， 恰好配成方桌？能配多少张方桌?解：设用x立方米的木料做桌面，用 y立方米的木料做桌腿，根据题意，得:x+y = 5 4x50x= 300y可做50X3=150张方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用 2立方米的木料做桌腿，可做成 150张方桌。类型六：列二元一次方程组解决一一数字问题C8.两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较2

27、178,大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 求这两个两位数。思路点拨：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 V。100x + y问题1:在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为:100y + x问题2:在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为:解：设较大的两位数为 x,较小的两位数为 y。依题意可得:(lOQx+j)-(100j + x) = 2178,解得：V = 23答：这两个两位数分别为 45, 23.举一反三：【变式1 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和，商是5,余数是1

28、,这个两位数是多少？解：设十位数为x,个位数为V,则：JlOx+j/ - 3(x +y) = 23x-5101+尸5。+刃+1,解得：7=6答：这两位数为56【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？解：设个位数字为x,十位数字为V,根据题意得：答：这个两位数为 72.【变式3】某三位数，中间数字为 0,其余两个数位上数字之和是 9,如果百位数字减1,个位数字加 1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。解：设原三位数的百位数字为 x,个位数字为V,由题意得：

29、J工+广91100(1) + 8+1) = 100工解得:答：所求三位数是 504。跟踪训练1、一个两位数字，个位数字比十位数字大5,如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143,求这个两位数.2、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？类型七：列二元一次方程组解决 增长率问题f 6.某工厂去年的利润(总产值一总支出)为200万元，今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了 10%,今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万

30、元？思路点拨：设去年的总产值为 x万元，总支出为y万元，则有总产值(万元)总支出(万元)利润(力兀)去年xy200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值一总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。解：设去年的总产值为 x万元，总支出为y万元，根据题意得：工-y = 200卜= 2000120%x-90%y = 780,解之得：V = 1800答：去年的总产值为 2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。举一反三：【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？解：设今年的总产值为 x万元，

31、总支出为y万元，由题意得：v- = 7804 y v= 2400-7 -200120% 90%,解得：1二1620答：今年的总产值为 2000万元，总支出为1800万元思考：本问题还有没有其它的设法？【变式2】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人 口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系为：(1)城镇人口 +农村人口 =42万；(2)城镇人口 %1+0.8%)+农村人口 X (1 + 1.1%) =42X (1+1%)解：设现在城镇人口为 x万，农村人口为y万，由题意得：0+y=42t(l+0

32、.8%)z+(l+l，W = 42(1+1%)解得工二147 = 23答：现在城镇人口 14万人，农村人口为 28万人 类型八：列二元一次方程组解决 年龄问题C1.今年父亲的年龄是儿子的 5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3倍，求现在父亲和儿子的年龄 各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解 “作后”这几个字的含义，即 6年后父子俩都长了 6岁。今年父亲的 年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3倍，根据这两个相等关系列方程。解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：卜卜=30解得：卜+6 = 3S+6）, y=6答：父亲现在30岁，儿子6岁。总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄

33、变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或 减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。举一反三：【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一 .小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分 之一.试求出今年小李的年龄.思路点拨：本题的关键是两句话，第一句：小李的年龄是他爷爷的五分之一；第二句：他的年龄变成 爷爷的三分之一。把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。解：设今年小李的年龄为 x岁，则爷爷的年龄为 y岁。根据题意得：* A一=12十”=W +巴解得：丁 = 6。答：今年小李的年龄为 12岁。类型九：列二元一次方程组解决 和差倍分问题力 1. （2011年北京丰

34、台区中考一摸试题）爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷 14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此，全体职工加班加点，爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内，爱心”帐篷厂和 温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？住J思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数 关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。解：设原计划 爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得： Z + y=911.6x

35、+ 1.5y = 14 ,解得：=4所以：1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 1 4=6答：爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.举一反三：【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）地球一小时”是世界自然基金会在 2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六 20时30分一21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.解：设中国内地

36、去年有 x个城市参加了此项活动，今年有 y个城市参加了此项活动.卜+=119,依题意得b = 3A-13 ,解得：V = 86.答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝 色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？思路点拨：本题关键之一是：小孩子看游泳帽时只看到别人的，没看到自己的帽子。关键之二是：两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：每位女 孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。找到已

37、知量和未知量根据这两句话列两个方程。解：设男孩x人，女孩y人，根据题意得：28-1) =、，解得：y=3答：男孩4人和女孩有3人。类型十：列二元一次方程组解决 几何问题C10.如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x,宽为v,就可以列出关于 x、y的二元一次方程组。解：设长方形地砖的长 xcm,宽ycm,由题意得：卜+了=60卜二45解得,(2 = 了+工V = 15答：每块长方形地砖的长为 45cm、宽为15cm。总结升华：几何应用

38、题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。举一反三：【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？思路点拨：此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长48厘米，第二个等量关系是长方形的长剪掉 3厘米补到短边去，得到正方形，即长边截掉3厘米等于短边加上 3厘米。解：设长方形的长为 x厘米，宽为y厘米，根据题意得：/2#+2 = 48 J 工=15解帮1-3 = +3,京9所以正方形的边长为：9+3=12厘米正方形的面积为：12x12=144厘米J 长方形的面积为：15X 9=135厘米】答：正方形的面积比矩形面积大144-135=9厘米】总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了。设长方形的长和宽，本题就简单多了，所以列方程解应用 题设未知数是关键。【变式2】一块矩形