二次函数与相似三角形结合专题练习

1、二次函数与相似三角形结合专题练习1.如图，已知直线 y=2x+2与x轴交于点 C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2-2ax+c过点C 且与直线y=2x+2交于点A (5, 12) . (1)求该抛物线的解析式；(2) D为x轴上方抛 物线上一点，若 DCO与ADBO的面积相等，求 D点的坐标；(3)在线段AB上是否存 在点P,过P作x轴的垂线交抛物线于 E点，使得以P、B、E为顶点的三角形与 BOC 相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A (-1, 0)、B两点，与y轴交于点C,对称轴为x=1 ,顶点为E,直线y=- 1/3 x+1

2、交y轴于点D . (1)求抛物线的解析式;(3)点P是抛物线上的一个动点，当点 P运动到什么位置时， 的面积？(2)求证：ABCEs bod ； BDP的面积等于 ABOE3.如图，已知抛物线经过A (-2, 0), B (-3, 3)及原点O,顶点为C (1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形 AODE是平行四边形，求点D 垂足为M ,是否存在点 点P的坐标；若不存在,的坐标.(3) P是抛物线上第一象限内的动点， 过点P作PMx轴, P,使得以P、M、A为顶点的三角形与 BOC相似？若存在，求出 请说明理由.4.如图1,抛物线y=-x

3、2+bx+c经过A (-1 , 0) , B (4, 0)两点，与y轴相交于点 C,连结BC,点P为抛物线上一动点，过点 P作x轴的垂线1,交直线BC于点G,交x轴于点E. (1)求抛物线的表达式；(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点 C作CF， 直线1, F为垂足，当点P运动到何处时，以 P, C, F为顶点的三角形与 OBC相似？并 求出此时点P的坐标；（3）如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC, PB,请问4PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.% r 7/图1图？5 .已知抛物线y=a （x+3）

4、（x-1） （aw。），与x轴从左至右依次相交于 A、B两点，与y 轴相交于点C,经过点A的直线y=-v3 x+b与抛物线的另一个交点为 D. （1）若点D的横 坐标为2,求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与 4ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点 E是线段 AD上的一点（不含端点），连接 BE. 一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位 的速度运动到点 巳再沿线段ED以每秒2V3/3个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点 Q在整个运动过程中所用时间最少？睥,，小6 .如图，已知二次函数 y=-x2

5、+bx+c （b, c为常数）的图象经过点 A （3, 1）,点C （0, 4）,顶点为点 M,过点A作AB /x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点 B,连结 BC . （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在4ABC的内部（不包括 4ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点 P,点C,点M所构成 的三角形与 BCD相似，请直接写出所有点 P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）.昌用图7 .如图，抛物线y=ax2+bx-1 (aO)经过A (-1 , 0) , B (

6、2, 0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)点P在抛物线的对称轴上，当 /ACP的周 长最小时，求出点 P的坐标；(3)点N在抛物线上，点 M在抛物线的对称轴上，是否存 在以点N为直角顶点的RtA DNM与RtABOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.8 .如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A (1, 1),且与直线y=x-2交于B, C两点.(1)求抛物线的解析式及点 C的坐标；(2)求证：4ABC是直角三角形；(3)若点N 为x轴上的一个动点，过点 N作MNx轴与抛物线交于点 M,则是否存在以 O, M, N为 顶点的三角

7、形与 4ABC相似？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由.9 .如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于点 B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的另一个交点为 A,顶点为P,且对称轴为直线 x=2 . (1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB、PC,求4PBC的面积；(3)连接AC,在x轴上是否存在一点 Q,使得 以点P, B, Q为顶点的三角形与 4ABC相似？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请 说明理由.10 .如图，抛物线与 x轴交于点 A (-1/3, 0)、点B (2, 0),与y轴交于点C (0, 1), 连接BC. (1)求抛物线的函数关

8、系式；(2)点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP，x轴于点P,设点N的横坐标为t(-1/3 vt<2),求4ABN的面积S与t的函数关系式；(3) 若-1/3vtv2且tw耐 OPNs COB ,求点 N的坐标.11 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y= 1/2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛 物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-3/2 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点 B. (1) 直接写出点B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA, PC.求APAC的面积的最大值，并求出此时点 P的坐标.(3)抛物线上是 否存在点M,

9、过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与 4ABC 相似？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.12 .如图，.已知抛物线 y=ax2+bx+3与y轴交于点 A,与x轴交于点B(-1 , 0)和点C(3, 0).(1) 求抛物线的表达式和对称轴；(2)设抛物线的对称轴与直线AC交于点D,连接AB、BD,求4ABD的面积；点M为抛物线上一动点，过点 M作y轴的平行线MN,与直线AC 交于点N.问在抛物线上是否存在点M,使得以D、N、M为顶点的三角形与 ACO相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。13 .如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为 (2

10、,-1),并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于 两点A,B. (1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线 BC交于点D,连结AC、 AD,求4ACD的面积；(3)点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF,与抛物 线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与 BCO相似.若存在，求出 点E的坐标；若不存在，请说明理由 .14 .直线y=-1/3x+1分别交x轴、y轴于A、B两点， AOB绕点。按逆时针方向旋转 90° 后得到 COD,抛物线y = ax2+bx + c经过A、C、D三点.(1)写出点A、B、C、D的坐 标；(2)求经过A、C、D三点

11、的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G的坐标；(3)在直线BG上是否存在点Q,的坐标；若不存在,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与 COD相似？若存在，请求出点 Q 请说明理由.15.如图,二次函数y=ax2+bx + c的图象的顶点 C的坐标为(0, 2),交x轴于A、B两点,其中A(-1, 0),直线l: x=m(m>1)与x轴交于D. (1)求二次函数的解析式和 B的坐标； (2)在直线l上找点P(P在第四象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以 B、C、。为顶 点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第四象限内的点Q,使4B

12、PQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.与y轴在H,F,使s /16 .如图1,已知抛物线的方程 C1 : y=-1/m(x+2)(x-m) (m >0)与x轴交于点 B、C, 交于点 巳 且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值；(1)的条件下，求 BCE的面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点使得BH+EH最小，求出点H的坐标；(4)在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说理由.17 .如图，顶点坐标为(2, 1)

13、的抛物线y=ax2+bx+c(a w即y轴交于点C(0 , 3),与x轴 交于A、B两点.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线 BC交于点D,连接 AC、AD,求4ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点 E作y轴的平行线EF,与 抛物线交于点F,问是否存在点 E,使得以D、E、F为顶点的三角形与 ABCO相似？若存 在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由.18 .如图所示，直线y=x+ 3与x轴、y轴分别相交于点 B、点C,经过B、C两点的抛物 线y=ax2+bx + c与x轴的另一交点为点 A,点A在点B的左边，顶点为P,且线段AB的 长为2. （1）求点A的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC.请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P, B, Q为顶点的三角形与 4ABC相似，若存在，请求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由.19 .如图，以D为顶点的抛物线 y = x2 + bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,点A的 坐标为（1, 0）,点C的坐标为（0, 3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在点B右侧的抛物线上存在 一点E,使得4BCE的面积为81/8,求点E的坐标；（