二次函数应用题分类与解析

1、二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行 简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。例1.某公司生产的A种产品，它的成本是 2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更 好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x (十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x (十力兀)012y11.51.8(1)求y与x的函数关系式；(2)如果

2、把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S (十万元)与广告费 x (十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：(1)因为题中给出了 y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关123dy 二一x- x 1系式为 105 一、一2(2)由题意得 S=10y(3-2)-x - -x 5x 10S - -x2 5x 10 - -(x -5)2 -65(3)由(2)24及二次函数性质知，当 1WxW2.5 ,即广告费在10 25万元之间时，S随广告费的增大而增大。二、分析数量关系型题设结

3、合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进 行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。例2.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克 30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于 30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x元，日均获利为y元。的取值范围；,说T &T曲门憧限在图2所示的时日均获得(1)求y关于x的二次函数关系式，并注明 x(2)将(1)中所求出

4、的二次函数配方成,b、2 4ac - b2y =a(x )2a 4a 的形式，写出顶点坐标；坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元 最多，是多少？(3)若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一 种获总利较多，多多少？析解：(1)若销售单价为x元，则每千克降低(70-x)元，日均多售出2 (70-x)千克，日 均销售量为60+2(70-x)千克，每千克获利为(x-30)元。根据题意得2y =(x -30)60 +2(70 -x) -500 =-2x +260x -6500(30wxw70)。22 y=2(x 130x) 6500 =2(x 65) +1

5、950。顶点坐标为(65, 1950),草图略,当单价定为65元时，日均获利最多，是1950 元。195000元；当销售单价最高时，可获总利221500-195000=26500 元。(3)列式计算得，当日均获利最多时，可获总利221500元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求 高，有一定难度。例3.如图4,有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状,处到边MN的距离是4dm,要在铁皮上截下一矩形MN=4dmABCDB、C落在边MN±, A D落在抛物线上，问这样截下去的 周长能否等于8dm?tf X抛

6、物线顶点使矩形顶点矩形铁皮的所在的直线则 M (0, 0) , N (4, 0) , P (2,析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图 4,以MN为x轴，点M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P,是 l =2AB 2AD =2y 2(2x -4) =2(-x2 4x) 2(：4)。用待定系数法求得抛物线的解析式为y = -x2 +4x。设 A点坐标为(x, y),贝U AD=BC=2x-4, AB=CD=y 于22"AD =2y 2(2x 4) =2(-x4x) 2(2x -4) - -2x12x 8。且 x 的取值范围是 0Vx<4 (xw 2)。若 l=8 ,则-2x2

7、 +12x -8=8 ,即 x2 -6x +8=0。解得 x1 =2, x28dm)而0<x<4 （xw2）。故l的值不可能取8,即截下的矩形周长不可能等于注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。例4一某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为 40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5.（1）求y关于x的函数关系式；（2）度写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）式;（年获利二年销售总金额-年销售产品的总

8、进价-年总开支金 价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围 在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元.解:（1）由题意，设y=kx+b,图象过点（70,5）,（90,3）,产=70k+b,解得fk-y='x+12. 3分3 =90 k b,一 一10 ,一10b =12.(2)由题意，得w=y(x-40)- z=y(x-40)-(10 y+42.5)=( _ L x+12)( x-10)-10( x+12)-42.5 1010=-0.1 x2+1

9、7x-642.5=(x-85) 2+80.10当85元时，年获利的最大值为 80万元. 6分(3)令w=57,5，得-0.1 x2+17x-642.5=57.2.到100元之间.又整理，得x2-170x+7000=0.解得 x1=70, x2=100.由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价应在70元 因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元. 10分四：利润最大（小）值问题知识要点：b c 4ac b2二次函数的一般式 y =ax2+bx+c （ a #0）化成顶点式 y=a（x+）+,如果自变量的取2a 4a值范围是全体

10、实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.即当a>0时，函数有最小值，并且当b4ac - bx = ,y最小值=；2a4a当a <0时，函数有最大值，并且当b4ac-bx = , y最大值=2a4a如果自变量的取值范围是Xi <x <X2,如果顶点在自变量的取值范围 bxi MxEx2内，则当x =, 2a则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围y/比一b ,如果顶点不在此范围内,4a内y随x的增大而增大，则当 x = x2时，y最大=ax2 +bx2 +c,当 x = x1时，y最小=ax； +bx1 +c；如果在此范围内 y随x的增大而减小，则当

11、x=x1时，y最大=ax12+bx1+c,当x = x2时,_ 2y 最小=ax2 +bx2 +c-商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据： 商品进价；商品售价1;商品销售量；商品售价 2;商品定价；（商品调价）；商品 销售量1;销售量变化率；其他成本。单价商品利润=商品定价一商品售价 1（价格变动量）=商品定价商品售价 2 （或者直接等于商品调价）；销售量变化率=销售变化量+引起销售量变化的单位价格；商品总销售量=商品销售量1 土销售量变化率；总禾I润（W =单价商品利润X总销售量一其他成本 韬住曷。住总利润（W）=（商品定价-商品售价1）父商品销售量1士A X、为二_其他成本单位价格变动

12、例1:求下列二次函数的最值：（1）求函数y =x2 +2x-3的最值.例2:某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价 1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出 20件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？练习:1 .某商店购进一批单价为 20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出 400件.根 据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少 20件.如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？实际问题与二次函数习题精选及解析填空题：1 .当炮弹从炮口以30o角射出后，飞行高度 h（米）与飞

13、行时间t（秒）之间的函数关系式是 h=-vct-5t2,2其中V0是炮弹发射的初速度，当 V0=300米/秒时，炮弹飞行白最大高度是 。答案：1125米。说明：把V0=300代入h=1 V0t-5t2得h=150t-5t2,由公式4.一b 得h最大=1125米。24a2.王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积 ,这时CE=? CF=B答案： 3 m2, 3 m 1 mi 422说明：设 CF=x,贝U BF=1-x, BD=2(1-x), . FD=73 (1-x), 二 S 矩形 fceD= .3 (1 - x) ?

14、x=-、, 3 x2+ - 3 x=-73(x- 1)2+ oS 矩形 fced最大为 Y3mf,这时 CF=1m, CE=3 mi24422解答题：1 .某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的 总收入=每间客房的日租金X客房每天出租的间数。解：设每间客房的日租金提高x个5元(即5

15、x元)，则每天客房出租数会减少6x间，根据题意可得2y=(50+5x)(120 -6x),即 y=-30(x-5) +6750。当 x=5 时， y最大 二6750。这时每间客房日租金为 50+5X 5=75(元)，客房日租金的总收入最高，为 6750元。装修前的日租金 120 X 50=6000(元),6750-120X 50=750(元)。故将每间客房的日租金提到75元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元。2 .某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售

16、情况，请探索以下问 题：(1)当销售单价定为每千克 55元时，月销售利润为多少？(2)设月销售单价为每千克 x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。解：(1)月销售利润为：500 - (55 - 50) X 10 X (55-40)=6750(元)(2)y=500 -(x-50) X 10 X (x-40),即 y=-10x2+1400x-40002.一3 .火车进站刹车滑行的距离s(单位：m肖滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s=30t-1.5t ;火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？解：由 s=30t-1.5t 2 得 s=-3(t -10)2+1502所

17、以当t=10时，s最大=150所以当火车从离站台150米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下。4 .南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表明，当销售价为 29万元时,平均每周能售出 8辆，而销售价每降低 0.5万元时，平均每周能多售出 4辆；设每辆汽车降价 x万元，每 辆汽车的销售利润为 y万元。(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出 x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)y=29 -25-x=-x+4(0 &

18、; x< 4)(2)z=(8+ X4) ?y=(8x+8)( -x+4)= - 8x2+24x+320.5(3)由 z=-8x2+24x+32,配方得 z=- 8(x- 3)2+50 2所以当x=3时，z最大=50 2所以当定价为29-1.5=27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元。5 .小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元出售，每天可销售 40件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增加10件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？解：设降价x元，则零售价为(15-x)元，日销量为(

19、40+10x)件设每日利润为y元，则由题意得：y=(15 -x-9)(40+10x)= -10x2+20x+240,配方得 y=-10(x-1)2+250所以当x=1时，y最大=250,这时15-x=14所以把售价定为每件 14元时，每天获利最大，最大利润是 250元。6 .在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势；设这种时装开始时定 价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第 12周开始，当季节 即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售；(1)试建立销售价y与周次x之间的关系式；(2)若这种时装每件进价 Z

20、与周次x之间的关系为Z=-0.125(x -8) 2+12(1 <x<16,且x为整数)， 试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？解：（1）由题意，可以建立函数关系式如下:当 1WxW6 时，y=20+2(x-1);当 6<x< 11 时，y=30;当 12WXW16 时，y=30-2(x-11)即y=2x+18(1<j<6)<30-2x+52(12<x<16)（2）设销售利润为 w,则w耆彳fr-进价所以W=1 。2工十18+：5货 12(1«工46)30 + hr-8)2-12O-2冗 + 52+(工一8y

21、 128化简得W=1 ,；V+14(l<x<6)J-?-2x + 26 (6<x<ll) g1 .-?-4x + 48(12<x<16)当 1 WxW6 时，W=1x2+148因为对称轴为直线 x=0, a>0所以由图象不难得出在 1WxW6范围内，当x=6时，W有最大值12W蜃大=X 62+14=18.58当 6WxW11 时，W=lx2-2x+268因为对称轴为直线 x=8,在6WXW11范围内，由图象可看出在x=11时，W有最大值W 大=1 X 112-2X 11+26=191 88当 12WxW16 时，W=1x2-4x+488对称轴为直线x=

22、16由图象可以看出在 12WxW16范围内，x=12时，W有最大值W蜃大=1 X 122-4X 12+48=1881综上所述，当x=11时销售利润最大，最大值为19-元。8二次函数经典应用题练习题1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出 80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出 20件.(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元？(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少?2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采

23、取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价 x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？AD花圃b'1c的墙另三边形ABCD设x的取值范3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长 用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩 AB边的长为x米.矩形ABCM面积为S平方米.(1)求S与x之

24、间的函数关系式(不要求写出自变量 围).(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值.22b4ac-b(参考公式：一次函数 y=ax +bx+c (a¥0),当x =时，y最大(小)值=)2a4a4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月份x之间满足函数关系y =-50x+2600,去年的月销售量 p (万台)与月份 x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份1月5月销售量3.9万台4.3万台(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月

25、份下降了 m%,且每月的销售量都比去年12月份下降了 1.5m%国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%合予财政补贴.受此政策的影响，今年 3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了 1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）（参考数据： 用5.831, 735=5.916, 737= 6.083, 738=6.164）5、某商场试销一种成本为每件 60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%经试销发现，销售量 y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y = kx +b ,且x = 65时，y = 55 ；x = 75 时，y =45 .（1）求一次函数y = kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为