电动力学常用数学公式

1、c sse x数学准备知识 1矢量代数wekz -.矢量定义aJA（单位矢量）在坐标系中A = 、Aeii 4直角系A = AziAyjAzk方向余弦:cosa=Ax, cosP =强 AAcos =Az AA = cosae +cosPev + cosYeAyA =(a2 + a| +&)，、A2 i 1.矢量运算A B 二B加法:(A B) C =A (B C)333 * *4A B = (A Bi)ei i 1交换律结合律满足平行四边形法则标量积:矢量积:A灯%A-一A (B C) =A B A C交换律分配律A B = AB sin/n eiAiA2B2e3A3B3分配律A (B C)

2、 = A B A C. ABB A .B13BC1C2 C混合积：A (B C) = B (C A) = C (A B)=双重矢积:aBmc)=B(A C)-C(A B) =(A C)B(A B)C（点3乘2,点2乘3）A (B C) = (A B) C.矢量微分dA ?dA d?A- -A dt dtdtd(A B) d dB dA二 A Bd(A B)dtdt dtdB dA .=A Bdt dt四.并矢与张量4 4并矢：AB （一般才 44人八日AB rBA）,有九个分量。若某个量有九个分量，它被称为张量T = AB = ABieieji.j 1=9逐i,jex为单位并矢，张量的九个基。

3、矢量与张量的矩阵表示:A& 或 A = (AA,A3)AB =(A1, A2,A3) B2 =A1B1+A2B2+A3B3 = A Bi* 44T =AB七1 T21 51单位张量:3=1i 144eiej1J张量运算:与矢量点乘:t v 6 5 vij)eieji,j44 4 4 4 44 4 44 4 4AB C = A B C = A C B = AC B=C BA=B CAWA-A TB Tc4C 4b*4 4 441444 4C AB hC A B =B C A)=B A C)= BA C与矢量叉乘:AB C = A B C并矢CmAB=(CxA)B 并矢两并矢点乘：AB 两并矢二次

4、点乘： 与单位张量点乘：彳 4 - 4 4CD = 4A B C D = 1AB ABqCD=(B F X A D )标量C = C # = CKC 廿J AB pB = ABB : CDF J 44 乂“C )AD #CD AB (并矢)课堂练习（15-20/钟）彳* .1 .计算（A；B（AJ）入（ = 2（BjA”.2 .求证， M =b（a c ）-a（b c ）与矢量C垂直。（求M C ）。3.计算下列各书:I 4 a (a b)(0,7 ? Ta )b4 g* a4a 4a -(4) (k i) j1)4.证明下列各式: 证:(f a (b cb) (c d = (a f)(bjd

5、)j(a d)(b c)c)bcaL c (a b) = 0 同妒(b)d厂总c ab)ba b) = (c_a)(d bl-(c b)z、 a(abc)cb由工限工碱甲cd)b)(dy 4=(a c)b -(a b)c (b a)c -(b c)a-4 寸 (c b)a (c a)b =0a b)z 2.场的概念和标量场的梯度一、 场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间 中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该 物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：标量场中（x, y, z,t）=邛&丁）矢重场

6、 A（x, y, z,t） = A（x, t）,有关贝甲为变化场（时如Q A随时空的变化关当邛，A与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场） 变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质: 系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以 后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在M ,M 两点全微分：d中=Jdx +;x，dy 7dz:ydf = dxex dyg dzgez d1:y ；zded厂eldr. 一C, d 方向上的单位矢量） d=R5|cose（日为中与d.f之间的夹角）在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即=W叫，定义梯度grad=中意义：空间某点上标量场函数的

7、最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出 平沿任一方向的方向导致。等值面：（X）=常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度 ，等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即cose的日为上，所以q中与等值面垂直。2 矢量微分算子V （直角坐标系中的表示形式）_II一v=eX+gjL+M上 具有矢量性质，分量是微分符号。Fxjy；z=ex+ey+ez ,5#叭？，不能互换；x；:y；z它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。_ A4 A 4 a4A 4 AcAx AyA = ex +ey + eZ I (exAx + &Ay + ezAz )=+excycz Jexcy

8、四、举例.1（1）求半径 r 的数值 r =p = （xx）2 +（yy）2 +（z z）212 的梯度。 此例中P,P点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在汽）。P为场点（观测点）。解：固有两个变量（x, y,z刑（x：y；z）我们可求Vr和Vr -：r 11c/ 、 x - x r y - y ： r, =2(x-x)= 而 =,.:x2 rr.:yr :z、4 x -x 彳 y -y z z-z rr = exeyez =rrr r求(则f)。吧“之十四忆记2二中史十史忆x:x : xy: y y-：）=：； :.：.:z改 改4辞+ezz-)3.高斯定理与矢量场的散度一、 矢量

9、场的通量1 .矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的 切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2 .通重： A ds称为A通过面兀ds的通重，记作 d6 = A ds ,记作 d9 = A dS ,有限面积S ,通量上6 = 1 A ds ,闭合曲面S ,通量上 6=Ads, ds方向，由面内指向面外。0 ,场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。6=0,场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。中0 ,场线进入的少，穿出得少，称S面内有负源。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不 能反映空

10、间一点的情况。二、高斯定理 口 A ds = （ AdV = |Jf I+y +且z dxdydz占 ”171故内J J一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）三、矢量场的散度为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将S面缩小到体元AV ,体兀仅包围一个点，此时，图斯定理可以改为|5 A ds = V MV ,我们c sse xS A ds 碎用单位体积的通量来描述，则有V，A = J=,取极限V,SA ds称为矢量A的散度。（0,有源；=0,无源，0,负 V源）。有时表示成divA （divergence ）。若空间各点处处 .A = 0,则称A为无源场。1.例题:其中 r

11、= x-x exy y eyz z g2.-x y - y z-z(r = 0)wekz -3.3.3 x-xr3Jr4 r3 y -y y-y -r4求证：口（中A ）=卬9a + 中a o=邛exycz J ex_ A Ay Az = 5 . aa.x证：, A = ；Ax V一千Ay ：+上yAz 4斯托克斯公式与矢量场的旋度一、 矢量场的环量(环流)矢量A沿任一闭合曲线 L的积分r =12 A d；r=0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，r#0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公式(定理)山 A d：=A )d

12、S(证明略)三、矢量场的旋度当L无限缩小，它用的面积化为 AS时， A dl =(w A ) AS =(w A I AS ,(Vx A ) =(Vx A ) n ,A dl T 一一(Vx A) = lim U AS =ASn, n为法线上单位矢。n . s)os4定义Vx A为矢量场的旋度，它在 AS法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点_ i c 皿2乂 A三0,则A称为无旋场。4.一. r例：1. -7 :3r解：它的x分量为宜宁正Ry；/ . r二z . r3 y-y z-z5r3 y-y z-zweak二 A6A、r 4 A Az -y

13、J Ayy二 y 二ztzV： A .Az- Ay-V：Aj-i i；，Ax y ；zxxII. d*V ：；7 A）一；.a ex卡：a ey芍：a ez 1 ： a *ex |5.常用的运算公式复合函数的“三度”运算公式04一 df 、， r dA、 L 41dAf （u ）= Vu ,A A（u ） = - Vu , Vx A（u ） = 7u x积分变换公式高斯公式：Qa ds = v、AdV = .vdVy A斯托克斯公式： Q A dl s , A dS =$ dS A格林公式：第一公式.（促为十中dv =口中中ds第二公式L”约邛却dv =sH中中中卜dS般规则dSLdl其他规则

14、r4,(dVV 邛=I 中 dS-l 4d dWx A =收父 AdW T 叩sdS TdWx T =dSxTrVM 4S dJtKsVM T d/( sX T-s dIs- -*A,T4dS idl AL4 H dl TL H dl T一般变换规则证明： m * *1. v dVA dS A证：任取常矢量C点乘上式两端左=(dVC9MA)=VdvE(AmC)i 用A k B j： A B -A - BQdS A C =C dS A用混合积公式2.证:4 W - W$ dS ：1 A dl A左=sC dS A = S dS 、 A CA C dl =1.2.3.4.5.6.C dl A三.算

15、符常用公式v(cp中产(中)v +中中、=. A J7A J.AJ A A . A.B - A B、B A、AB 厂 aBqa： B .一.、 A B =B A B A -A B - A % B7.8.9.10.B ： A B A；A B = A ： B * A , BA ： A = jA A A- ： -(x) 44 44 在V内； , ,： A (x) IAnS= f(S)在 S面上J j证明：假定有*个矢量场 q#F2均满足述条件 *,即 , F1 = :， F2 = ：-, v 1： F1 = ,，一； F2 =:,Fin =(,丁2n =中，4则 卢父手, F1 =、F2，F1n =

16、 F2n引入 F = F1+4. A则, F j , F1F2 = 0, 、F = -F1 -F2 = 0F =0,引入中，F =中，F , F = ”邛=V29 =0, Fn = F1n - F2n = 0 (在 S 面上)。根据格林第一公式(含中=中)卜，2 口2 dV =1 dS.一.24.一得 （中）dV =小作45（二.在 S面上 Fn =0），一、，一一 一，2.4于邛积函数（中）之0,故上式成立，必有呼=0,即F = 0, E = F2。注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与P,J和f（S）有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，444 4由 VKA

17、 ）=0 及 rAdV=|JsAdS得：- =0, JdV =s f S dSc sse x 7. “三度”在各种坐标系中得表示式矢量微分算子（哈密顿算子）v直角坐标4 e 4 cey ez 二 y二 z柱坐标球坐标“d 1：,1 f- -er .er et-Fr - r .F r sin、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系1.柱坐标与直角坐标er = cos iex sin 鸣j - -sin11 cos Gez =：z-:er.:r1T=0-ez =0.ez=0 ;z2.球坐标与直角坐标x = r sin 二 cos Iy = r sin ? sinz = r cos1r = x2 y2 z2

18、二- cosz r二 tger =sin c cos - e sin i sincosiez=cos - cos ex , cos- sin ey -sin -eze - -sin ex cos ey“三度”在三种坐标系中的表示形式1.直角坐标系:-ex 一 ey -ez二x二 y 二 zA小必公；xFyjzQ:xAxey:y Ayez左Az八汽44二 一ex二 yz二 z：2 :x.y :z2.柱坐标系:、A1 ?1 FA- FAz二 rAr，rr 【 zer二.：:rArc6ez6.zAz1 r11 12： r ：:r . ：:r r2 :V3.球坐标系:, e.-rsin r一 一；=e

19、r + e_,fr - r ：fAJj ,1 三r ：:rr sin 二sin-Ar sin 二erre111A= 2 1 r sin fr sin He-r sinO A二: rr ；r 二 r|+r r2 sin 二12 8. 6函数及其性质一、d函数定义01 0 x = a| Q.x-a =一维：: x二aa-;j ! x-a dx =、x-a dx =1a T-x。=、xx、yy、z -zo一，八1.二维：二二 r -r。二 r - %）。i：z -z。r1.=二 r-r。- A、：- 0r sin 二4 4x , ,.、： x . ；x；一：x6(x x。dV =1(x。在V 内)，

20、导数 6(x)=|im1 0V.X)。x o 1 o 4 X4 X H - X - X o o - - 4X0一。- - 4X4X Jf /I p p例如对于点电荷密度分布V ： x x。dV =Q x。V：x -x。 =Q、 x -x。、几个常用的性质bf f (x (x x0 )dx = f (x ) x0w(a,b), f(x)为连续函数。bf xx-x。dx = -f x。a二 x i： -Six、ax =、 x三、6函数的几种具体形式1、x = lim 2a0 二 a x1 sin kx、x = lima 二二 x2 .1 sin kx、x 二|而2a_. ： kxCO .elkxd

21、k4 二-二1 二. coskxdk 二0r = x-x电动力学中一个重要的函数形式为：44 41 o 11 r、. r =、x -x =-2 =3,4 二 r 4二 r证明：,二=W2dS = 即二=$1 33r r r r14,. i dr .1 r( r, r - _ 2 _drr r1矢量代数中的公式:r =0 ,显然V1 = gc sse x算符常用公式：口中尸（中心+W、不 A A = A AV ： A ; VA ? IV： A4 44 - 4VAx B）=（K A）B-（Vx B） A会用:：；A B; ； / B A B v ：A ；VABAA B4 44V（A B ）= Ax

22、（Vx B） + （A.B + Bm（W A）+（B V）A熟记:2.一.二 A -. A - i Awekz -、0 o -0,可；可 A =0复合函数公式: df , d dA . dA-f u = u ; A u =,u ;: A u = . u 1有关位移矢量r的几个运算公式：4 r. TTr=-Vt=3VMr=0r 4 J4.1 r r_. r _ = -3 , V 3 = 0（ r 0） , m -3 = 0 r r rrc 1r *,2 1 =_t r3. =4二、.（x x） rr积分变换公式：（熟练使用）Ldl A = J A dS = S dS A几个定理:2.3.4.1.

23、5.6. 0 o =0一d A = 0、个=0= a =；B B Q0q B =1 A 4F F1 F2 、 F1 = 0F2 = 0唯一性定理内容。z 双重矢积:aBmc)=B(A C)-C(A B) =(A C)B(A B)C（点3乘2,点2乘3）A (B C) = (A B) C.矢量微分dA ?dA d?A- -A dt dtdtd(A B) d dB dA二 A Bd(A B)dtdt dtdB dA .=A Bdt dt四.并矢与张量4 4并矢：AB （一般才 44人八日AB rBA）,有九个分量。若某个量有九个分量，它被称为张量T = AB = ABieieji.j 1=9逐i,

24、jex为单位并矢，张量的九个基。矢量与张量的矩阵表示:A& 或 A = (AA,A3)AB =(A1, A2,A3) B2 =A1B1+A2B2+A3B3 = A Bi* 44T =AB七1T2151单位张量:3=1i 144eiej1J张量运算:与矢量点乘:t v 6 5 vij)eieji,j44 4 4 4 44 4 44 4 4AB C = A B C = A C B = AC B=C BA=B CAWA-A TB Tc4C 4b*4 4 441444 4C AB hC A B =B C A)=B A C)= BA C与矢量叉乘:AB C = A B C并矢CmAB=(CxA)B 并矢

25、两并矢点乘：AB 两并矢二次点乘： 与单位张量点乘：彳 4 - 4 4CD = 4A B C D = 1AB ABqCD=(B F X A D )标量C = C # = CKC 廿J AB pB = ABB : CDF J 44 乂“C )AD #CD AB (并矢)课堂练习（15-20/钟）彳* .1 .计算（A；B（AJ）入（ = 2（BjA”.2 .求证， M =b（a c ）-a（b c ）与矢量C垂直。（求M C ）。3.计算下列各书:I 4 a (a b)(0,7 ?Ta )b4 g* a4a 4a -(4) (k i) j1)4.证明下列各式: 证:(f a (b cb) (c

26、d = (a f)(bjd)j(a d)(b c)c)bcaL c (a b) = 0 同妒(b)d厂总c ab)ba b) = (c_a)(d bl-(c b)z、 a(abc)cb由工限工碱甲cd)b)(dy 4=(a c)b -(a b)c (b a)c -(b c)a-4 寸 (c b)a (c a)b =0a b)2.场的概念和标量场的梯度场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间 中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该 物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：标量场中（x, y, z,t）

27、=邛&丁）矢重场A（x, y, z,t） = A（x, t）,有关贝甲为变化场（时如Q A随时空的变化关当邛，A与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场） 变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质: 系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以 后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在M ,M 两点全微分：d中=Jdx +;x，dy 7dz:ydf = dxex dyg dzgez d1:y ；zded厂eldr. 一C, d 方向上的单位矢量） d=R5|cose（日为中与d.f之间的夹角）在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即=W叫，定义梯度grad=中意义：空间某点

28、上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出 平沿任一方向的方向导致。等值面：（X）=常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度 ，等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即cose的日为上，所以q中与等值面垂直。2 矢量微分算子V （直角坐标系中的表示形式）_II一v=eX+gjL+M上 具有矢量性质，分量是微分符号。Fxjy；z=ex+ey+ez ,5#叭？，不能互换；x；:y；z它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。_ A4 A 4 a4A 4 AcAx AyA = ex +ey + eZ I (exAx + &Ay + ezAz )=+excyc

29、z Jexcy四、举例.1（1）求半径 r 的数值 r =p = （xx）2 +（yy）2 +（z z）212 的梯度。 此例中P,P点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在汽）。P为场点（观测点）。解：固有两个变量（x, y,z刑（x：y；z）我们可求Vr和Vr -：r 11c/ 、 x - x r y - y ： r, =2(x-x)= 而 =,.:x2 rr.:yr :z、4 x -x 彳 y -y z z-z rr = exeyez =rrr r求(则f)。吧“之十四忆记2二中史十史忆x:x : xy: y y-：）=：； :.：.:z改 改4辞+ezz-)3.高斯定理与矢量场的

30、散度一、 矢量场的通量1 .矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的 切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。2 .通重： A ds称为A通过面兀ds的通重，记作 d6 = A ds ,记作 d9 = A dS ,有限面积S ,通量上6 = 1 A ds ,闭合曲面S ,通量上 6=Ads, ds方向，由面内指向面外。0 ,场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。6=0,场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。中0 ,场线进入的少，穿出得少，称S面内有负源。意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质

31、，不 能反映空间一点的情况。二、高斯定理 口 A ds = （ AdV = |Jf I+y +且z dxdydz占 ”171故内J J一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）三、矢量场的散度为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将S面缩小到体元AV ,体兀仅包围一个点，此时，图斯定理可以改为|5 A ds = V MV ,我们c sse xS A ds 碎用单位体积的通量来描述，则有V，A = J=,取极限V,SA ds称为矢量A的散度。（0,有源；=0,无源，0,负 V源）。有时表示成divA （divergence ）。若空间各点处处 .A = 0,则称A为无源场。1.例

32、题:其中 r = x-x exy y eyz z g2.-x y - y z-z(r = 0)wekz -3.3.3 x-xr3Jr4 r3 y -y y-y -r4求证：口（中A ）=卬9a + 中a o=邛exycz J ex_ A Ay Az = 5 . aa.x证：, A = ；Ax V一千Ay ：+上yAz 4斯托克斯公式与矢量场的旋度二、矢量场的环量(环流)矢量A沿任一闭合曲线 L的积分r =12 A d；r=0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，r#0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。二、斯托克斯公式(定理)山 A d

33、：=A )dS(证明略)三、矢量场的旋度当L无限缩小，它用的面积化为 AS时， A dl =(w A ) AS =(w A I AS ,(Vx A ) =(Vx A ) n ,A dl T 一一(Vx A) = lim U AS =ASn, n为法线上单位矢。n . s)os4定义Vx A为矢量场的旋度，它在 AS法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点_ i c 皿2乂 A三0,则A称为无旋场。4.一. r例：1. -7 :3r解：它的x分量为宜宁正Ry；/ . r二z . r3 y-y z-z5r3 y-y z-zweak二 A6A、r 4 A

34、Az -y J Ayy二 y 二ztzV： A .Az- Ay-V：Aj-i i；，Ax y ；zxxII. d*V ：；7 A）一；.a ex卡：a ey芍：a ez 1 ： a *ex |5.常用的运算公式复合函数的“三度”运算公式 04一 df 、， r dA、 L 41dAf （u ）= Vu ,A A（u ） = - Vu , Vx A（u ） = 7u x积分变换公式高斯公式：Qa ds = v、AdV = .vdVy A斯托克斯公式： Q A dl s , A dS =$ dS A格林公式：第一公式.（促为十中dv =口中中ds第二公式L”约邛却dv =sH中中中卜dS般规则dS

35、Ldl其他规则r4,(dVV 邛=I 中 dS-l 4 d dWx A =收父 A dW T 叩sdS T dWx T =dSxTrVM 4S dJtKsVM T d/( sX T-s dIs- -*A,T4dS idl AL4 H dl TL H dl T一般变换规则证明： m * *1. v dVA dS A证：任取常矢量C点乘上式两端左=(dVC9MA)=VdvE(AmC)i 用A k B j： A B -A - BQdS A C =C dS A用混合积公式2.证:4 W - W$ dS ：1 A dl A左=sC dS A = S dS 、 A CA C dl =1.2.3.4.5.6

36、.C dl A三.算符常用公式v(cp中产(中)v +中中、=. A J7A J.AJ A A . A.B - A B、B A、AB 厂 aBqa： B .一.、 A B =B A B A -A B - A % B7.8.9.10.B ： A B A；A B = A ： B * A , BA ： A = jA A A- ： -(x) 44 44 在V内； , ,： A (x) IAnS= f(S)在 S面上J j证明：假定有*个矢量场 q#F2均满足述条件 *,即 , F1 = :， F2 = ：-, v 1： F1 = ,，一； F2 =:,Fin =(,丁2n =中，4则 卢父手, F1

37、=、F2，F1n = F2n引入 F = F1+4. A则, F j , F1F2 = 0, 、F = -F1 -F2 = 0F =0,引入中，F =中，F , F = ”邛=V29 =0, Fn = F1n - F2n = 0 (在 S 面上)。根据格林第一公式(含中=中)卜，2 口2 dV =1 dS.一.24.一得 （中）dV =小作45（二.在 S面上 Fn =0），一、，一一 一，2.4于邛积函数（中）之0,故上式成立，必有呼=0,即F = 0, E = F2。注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与P,J和f（S）有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，

38、444 4由 VKA ）=0 及 rAdV=|JsAdS得：- =0, JdV =s f S dSc sse x 7. “三度”在各种坐标系中得表示式矢量微分算子（哈密顿算子）v直角坐标4 e 4 cey ez 二 y二 z柱坐标球坐标“d 1：,1 f- -er .er et-Fr - r .F r sin、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系1.柱坐标与直角坐标er = cos iex sin 鸣j - -sin11 cos Gez =：z-:er.:r1T=0-ez =0.ez=0 ;z2.球坐标与直角坐标x = r sin 二 cos Iy = r sin ? sinz = r cos1r

39、= x2 y2 z2二- cosz r二 tger =sin c cos - e sin i sincosiez=cos - cos ex , cos- sin ey -sin -eze - -sin ex cos ey“三度”在三种坐标系中的表示形式1.直角坐标系:-ex 一 ey -ez二x二 y 二 zA小必公；xFyjzQ:xAxey:y Ayez左Az八汽44二 一ex二 yz二 z：2 :x.y :z2.柱坐标系:、A1 ?1 FA- FAz二 rAr，rr 【 zer二.：:rArc6ez6.zAz1 r11 12： r ：:r . ：:r r2 :V3.球坐标系:, e.-rsin r一