空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2]

1、空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1 .能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2 .会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题;3 .培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算1、向量的几何运算(1)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.空间向量数量积的性质： H二团吁黄笈". .一atb|3| |i | cos <afb > atb /才 /力二同.间才 14oib = 0 ；|冷才才(2)向量共线定理：向量 a(2¥0)与b

2、共线，当且仅当有唯一一个实数九，使b=Ka.2、向量的坐标运算(1)若小加为句)，8(孙乃,则蚀=(X厂耳必一1马-£).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。(2)若，则一 f fT 丫& 二(窑厂4吗心,电心)，/小(妈,死,鸡)(加出,仪占=地也+。内a = (alta2ja)石:也芯为(色+向,出+可,为+£)。份O4二曲一二地向二正段,40地+她+地=0 ；(3)夹角公式：(4)两点间的距离公式：若，则二、空间向量在立体几何中的应用2 .利用空间向量证明平行问题3 .对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理

3、进行证明.4 .利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用 白IBo5二0进行证明;5 .利用空间向量求角度（1）线线角的求法：设直线AR CD对应的方向向量分别为 a、b,则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围0 ：90 0）（2）线面角的求法:T设n是平面口的法的取|, AB是直线/的方向向量，则直线/与平面fl所成的角为（3）二面角的求法:设ni, n2分别是二面角的两个面,I同）平面的法向量的求法：arc cos|由智明最 则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）dJ 6” I用空间向量求距离设n=（x,y,z）,利用n与平面内的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，歹他

4、fpf耳元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面a的一个法向量（如图）（2）利用法向量求空间距离arc smAB-n（a）点A到平面口的距离:是平面a的法向量。1,也是平面CL的法向量。（b）直线l1与平面式之间的距离:（C）两平行平面&£之间的距离：，其中 口-/-£【例1】（2010全国卷1理）正方体 AB与平面ACDi所成角的余弦值为（），也是平黑arcccsr同|勺|. 2.3(A) (B5) (Q33(D)工3【解析】D【例21（2010全国卷2文）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形, SA=3,那么直线 AB与平面SBC所成角的歪

5、弦值为（）(A) -3(B) -5(C)(D【例3（2012全国卷）三棱柱 ABC - AiBCi中，底面边长和侧棱长都相等,BAA=/ CAA = 60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【例4】(2012重庆)如图，在直三棱柱 ABC-ABG中，AB=4, AC=BC=3 D为AB的中点。(I )求异面直线 CC和AB的距离；(II)若ABLAC,求二面角 ACD-B的平面角的余弦值。.513【例5】(2012江苏)如图，在直三棱柱ABC AB1cl中，AB1 =AC1 , D , E分别是棱于点 C),且 AD _L DE , F 为 B1cl的F【例6】求证：(1)平

6、面ADE_L平面(2012山东)在如图所示的几何体中，四边形AE± BD(I )求证：(n)求二面角ABC皿等腰梯形,CB=CD=C FBDL平面AED F-BD-C的余弦值.BCC1B1；.(2)直线AF /平面ADEEC叱_DB AB/ CD / DAB=60 , Fd平面 ABCD一 .,一一,5【解析】二面角 F-BD-C的余弦值为5【例7】(2012江西)在三棱柱 ABC A1B1C1中，已知AB = AC = AA1=J5, BC = 4,点A在底面ABC的投影是线段BC的中点O。(1)证明在侧棱AA1上存在一点E ,使得OE 1平面BB1C1C ,并求出AE的长;(2)

7、求平面 ABQ与平面BB1C1C夹角的余弦值。5. 30【解析】,510例8(2012 湖南)四棱锥 P-ABCD43, PAL平面 ABCD AB=4, BC=3, AD=5, /DAB=/ ABC=90 , E是 CD的中点.(I )证明：CDL平面PAE;(II)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABC所成的角相等，求四棱锥P-ABCD勺体积.1185 128、5【解析】V S PA 16 =33515【例9】(2012广东)如图所示，在四棱锥 PABCD中，AB_L平面PAD, AB/CD, PD = AD , E是PB1.中点，F是DC上的点，且DF= AB, PH为APAD

8、中2(1)证明：PH_L 平面 ABCD;(2)若 PH =1,AD =2,FC =1 ,求三棱锥 EBCF(3)证明：EF _L平面PAB .AD边上【解析】三棱锥E BCF的体积V11 1S BCF hFC AD33 2彳-B图M24X1A 1一2121 【例10】(2012新课标)如图，直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AC=BC=AA, D是AA的中点，DC，BD2(1)证明：DG± BC(2)求二面角 A-BD-G的大小.【解析】二面角 A1 - BD C1的大小为30 口【例11如图所示，在四锥p _ ABCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面ABCD点E在线段PC上

9、，PC _1_平面BDE .(1)证明：BD _L平面PAC ;(2)若PA=1, AD=2,求二面角B PCA的正切值./b【解析】二面角 B-PC- A的平面角的正切值为 3 /【例 12】(2012 天津)如图，在四B隹 P ABCD 中，PA，平面 ABCD , AC ± AD , AB ± BC , ZABC =450,(m)设【课堂练习】1、(2012上海)若PA=AD=2, AC=1.(I )证明 PC ± AD ;(n)求二面角 A-PC-D的正弦值;BCE为棱PA上的点，满足异面直线 BE与CD所成的角为30°,求AE四平.1010n

10、=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为(用D三角函数值表示)N分别是CD、CC1的中点，则异面直线 A1M与2、(2012四川)如图，在正方体 ABCD A1B1clD1中，MCiNCDN所成角的大小是。3、(2012全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA_L底面ABCD,AC =2无，PA =2 , E 是 PC 上的一点，PE = 2EC。(I)证明：PC _L平面BED ；(n)设二面角 A - PB C为90 ,求PD与平面PBC所成角的大小。4、(2010 辽宁理)已知三棱锥 P ABC 中，PAI ABC AB± AC, PA=AC=

11、?AB N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC的中点.(I )证明：CML SN;(n)求SN与平面CMNf成角白大小.5、(2010辽宁文)如图，棱柱 ABCABG的侧面BCC1B1是菱形，BC_LAB(I )证明：平面 AB1C _L平面ABC1 ；(n)设D是AC1上的点，且A1B/平面B1CD ,求AD:DC1的值.6、(2010全国文)如图，直三棱柱 ABC-A1B1cl中，AC=BC AA1 =AB, D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB(I )证明：DE为异面直线 AB1与CD的公垂线;B求证BP(n)设异面直线 人与与CD的夹角为45

12、6; ,求二面角A1-AC1-B1的大小7、(2010江西理)如图 BCg MCEtB是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD AB_L平面BCD AB = 2 J3。C16、(2012安徽)长方体ABCDABGD中，底面ABGDi是正方形，。是BDB(I)求直线 PC与平面ABC所成角的大小;(n )求二面角 B-AP-C的大小。的中点，E是棱AAi上任意一点。(2)求点B到平面FED的距离.13、(2010江苏卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD1平面 ABCDPD=DC=BC=1 AB=2, AB/ DC / BCD=90。(1)求证：PCX BC;(2)求点A到平面PBC的距离。1

13、4、(2012上海)如图，在四B隹RABCDK底面ABC比矩形，PK底面ABCDE是PC的中点.已知AB=2,AD=2五，PA=2.求：(1)三角形PCD勺面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.15、(2012 四川)如图，在三麴隹 PABC 中，/APB=90 , /PAB=60'，AB=BC=CA,平面 PAB _L 平面 ABC。(1) 求点A到平面MBC勺距离；(2) 求平面ACMW平面BC所成二面角的正弦值。8、(2010重庆文)四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形，PA_L底面ABCD, PA = AB = J2,点E是棱PB的中点.(1)求直线 AD与平面P

14、BC的距离；ZA16题(2)若AD=J3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。 /12、如图，弧 AEC是半彳空为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点 B和点C为线段AD的三等分点，平面 AEC外一点F满足FC_L平面BED,FB= . 5a(1)证明：EB1FD(I)证明：AE_L平面PBC ;(n )若AD =1,求二面角B-EC-D的平面角的余弦值.9、(2010浙江文)如图，在平行四边形ABC邛,AB=2BC / ABC=120 。 E为线段AB的中点，将4ADE沿直线DE翻折成 A DE,使平面A DEL平面BCDF为线段A C的中点。(I )求证：BF/平面A DE;(n

15、)设M为线段DE的中点，求直线 FM与平面A DE所成角的余弦值。10、(2010重庆理)四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCDM巨形，PA_L底面ABCDPA=AB=/6,点E是棱PB的中点。11、(2010北京理)如图，正方形ABC/口四边形ACE所在的平面互相垂直,AFT面 BDE(n)求证：(m)求二面角CF1平面BDEA-BE-D的大小。=EF=1.DCE! AC,EF/ ACAB奖C(I)证明：BD_LEC1;(n)如果 AB =2, AE=J2, OE _L ECi,求 AAi 的长。17、(2012北京文)如图1,在RtaBC中，2C=90,，D,E分别为AC, AB白双点，点

16、F为线段CD上的一点，将 MDE沿DE折起到 MiDE的位置，使AF _LCD ,如图2。(I)求证：DE 平面ACB ； (n)求证：AF _LBE；(出)线段 AB上是否存在点Q ,使AiC _L平面DEQ ?说明理由。18、(2012湖南)如图6,在四棱锥P-ABCD中，PAa平面ABCD底面ABC比等Ai图2C图身腰梯形，AD/ BC AC± BD.(I )证明：BD± PC;(n)若AD=4 BC=2直线PD与平面PAC所成的角为30° ,求四棱锥 P-ABCD的体积.19、如图，在三B PABC中，PA,底面ABC, D是PC的中点，已知/ BAC工，

17、AB = 2 , AC = 20 , 2PA=2 ,求：(1)三棱锥P - ABC的体积(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20、(2008安徽文)如图，在四棱锥 O-ABCD,底面ABCD四边长为H_/ABC = , OA_L底面ABCD, OA = 2, M 为 OA的中点。 4(I )求异面直线 AB与MD成角的大小；(n)求点B到平面OCD勺距离。【课后作业】1. (2008 全国H)如图，正四棱柱 ABCD AB1C1D1 中，AA=2AB = 4,在 CC1 上且 GE=3EC.(I)证明：AC，平面BED ;(n )求二面角 A -DE -B的大小.2

18、、(2008湖南)四棱锥 P-ABCD面ABC虚边长为1的菱形，/ BCD= CD的中点，P4底面ABCD PA= 2.(I)证明：平面 PB巳平面PAB(n)求平面 PAD平面PB即成二面角(锐角)的大小 .3、(2008福建)如图，在四锥 P-ABCDK 则面PADL底面ABCD侧棱PA=PD=近,底面ABCD1直角梯形，其中 BC/ ADAB! ADAD=2AB=2BG2, O为 AD中点.(I )求证：POL平面ABCD ( n )求异面直线 PD CD所成角的大小;(出)线段 AD上是否存在点 Q使得它到平面 PC曲距离为V3 ?2若存在，求出 丝 的值；若不存在，请说明理由.QD4

19、、(2008海南、宁夏理)如图，已知点 P在正方体 ABCID- ABCD的对角线 BD上，/ PDA=60 。(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小。5、(2005湖南文、理)如图1,已知ABC比上、下底边长分别为 2和6,高为J3的等腰梯形，将它沿对称轴OO折成直二面角，如图 2。( I )证明：AC! BO; (n)求二面角 O AC- O的大小。6、(2007安徽文、理)如图，在六面体 ABCD A1B1cl D1中，四边形ABCD1边长为是边长为1的正方形，DD1 _L平面AB1clD1, DD1 J_平,ABCDfa D(I )求证：ACi与AC共面

20、，B1D1与BD共面./!(n )求证：平面 A1ACC1 _L 平面 B1BDD1 ；/ I (出)求二面角ABB1 C的大小.AOB7、(2007海南)如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，/BAC=90° , O为BC中点.(I)证明：SO_L平面ABC ;(n)求二面角 A SC B的余弦值.A8、(2007四川理)如图，PCBM是直角梯形，/ PCB = 90 , PM / BC, PM =1, BC = 2,又 AC = 1, / ACB = 120 , AB ± PC ,直线 AM 与直线PC所成的角为60。.(I)求证：平面PAC

21、，平面ABC; (n)求二面角M - AC -B的大小； (出)求三棱锥 P -MAC的体积.9、(2006全国I卷)如图，l1、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点 A、B 在 1i 上，C 在 l2 上，AM =MB = MN。(I)证明 ACL NB； (n )若/ ACB =60° ,求NB与平面ABC所成角的余弦值。10、(2006福建文、理)如图，四面体 ABC邛,。E分别是BQ BC的中点，CA =CB =CD = BD =2, AB = AD 二五(I)求证：AO_L平面BCD (II )求异面直线 AB与CD所成角的大小； (III )求点E到平面ACD勺

22、距离。11、 (2010福建文)如图，在长方体 ABCt> A1B1CD中，E, H分别是棱 A1B1Q1G 上的点(点 E与B1不重合)，且EH/AQ。过EH的平面与棱 BB,CG相交， 交点分别为F, G(I)证明：AD平面EFGH(II )设AB=2AA=2a。在长方体 ABCD-AB1CD内随机选取一点， 记该点取自于几何体 A1ABFE- DDCGHJ的概率为p。当点E, F分别在棱AB,B1B上运动且满足 EF=a时，求p的最小值。12、如图，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形，PD _L底面ABCD，点E在棱PB上.(I )求证：平面 AEC _L平面PDB ;(n)当PD

23、 = J2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小13、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD ,点。为球心、AC为直径的球面交 PD于点M ,交PC于点N .(1)求证：平面 ABM，平面PCD ；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小；(3)求点N到平面ACM的距离.PA = AD =4, AB = 2 .以 AC 的中14、如图4,在正三棱柱 ABC ABiCi中，AB = J2AA。D是A0的点 E 在 AiCi 上，且 DE _L AE。中占I 八)7、18、20、(1)证明平面 ADE _L平面ACC1A(2)求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。【课堂练习】1、arctan22、