全等三角形证明培优题【精】整理版

1、模块一：基本辅助线1 .如图，已知 AC=BD,ADL AC,BC BD 求证：AD=BC.精选2 . 如图，AB=AE,/ABC4 AED,BC=ED点 F 是 CD 的中点，（1）求证：AF CD.（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3 . 如图，/ B=Z E,/C=/ D,BC=DE,Ml CD中点，求证： AML CD.4 .如图，平面上有一边长为 2的正方形ABCD。为对角线的交点，正方形 OEFG勺顶点与O重合，OE 0的别与正方形 ABCM边交于 M N两点.如图（1）,当OELAB时，四边形 OMBN勺面积为如图（2）,当正方形 OEF磷点。旋

2、转时，四边形 OMBN勺面积会发生变化吗？试证明你的结论.5 .如图所示，在 ABC中，AB=AC ,在AB上取一点 E,在AC延长线上取一点 F,使BE=CF , EF 交 BC 于 G.求证：EG=FG 。6 .如图，在 ABC中，AB=AC E在线段 AC上，D在AB的延长线，连 DE交BC于F,过点E 作 EG! BC于 G. (1)若/ A=50 , / D=30 ,求/ GEF的度数；(2)若 BD=CE 求证：FG =BF+CG模块二：母子型1已知：如图，点 C为线段AB上一点，ACM, ACBN都是等边三角形，AN交MC于点 巳 BM交CN于点F.求证：AN=BM;(2)求证：

3、4CEF为等边三角形7 .如图，已知，等腰 RtOAB 中，/ AOB=90,等腰 RtEOF 中，/ EOF=90 ,连结 AE、BF。求证：(1) AE=BF ; (2) AEXBFo3.如图1,若四边形ABCD四边形GFE商是正方形，显然图中有 AG=CE AGL CE;图1图2图3(1)当正方形 GFEDg D旋转到如图2的位置时，AG=CE否成立？若成立，请给出证明; 若不成立，请说明理由；(2)当正方形 GFEDg D旋转到如图3的位置时，延长 CE交AG于H,交AD于M求证：AGL CH当AD=4 DG=J2时，求CH的长.4 .如图，已知 ABD AECIB是等边三角形， AF

4、 CD于点F, AHL BE于点H,问：(1) BE 与CD有何数量关系？为什么？ ( 2) AF、AH有何数量关系？为什么？5 .已知：如图所示，在 ABC和4ADE 中，AB=AC AD=AE / BAC=Z DAE 且点 B, A, D 在一条直线上，连接 BE, CD M, N分别为BE, CD的中点.(1)求证：BE=CD AMN等腰三角形；(2)在图的基石上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ,其他条件不变，得到图 所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；ED交线段BC于点P.求证： PBW AMN(3)在(2)的条件下，请你在图中延长6 . (2009?丰台区

5、一模)如图 1,在 ABC中，/ACB为锐角，点 D为射线BC上一点，连接AD以AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF(1)如果 AB=AC / BAC=90 ,当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2,线段CF BD所在直线的位置关系为 : 线段CF BD的数量关系为;当点D在线段BC的延长线上时，如图 3,中的结论是否仍然成立，并说明理由；一|(2)如果ABw AC, /BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ACB荫足什么条件时，CF BC(点 C F不重合)，并说明理由.模块三倍长中线(1)倍长中线(2)倍长类中线1.已知：如图， ABC中,AD平分/ BAC 且 BD=CD 求证

6、：AB=AC1一一 1 一一2 .已知，如图 ABC中，ACABAM是BC边上的中线，求证：(AC-AB) vAMk (AB+AC).22B M C3 .如图所示，已知 ABC中，AD平分/BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,t证:EF/AB.A4 .如图，AD是4ABC的中线，E、F分别在 AR AC上，且 DEL DF求证：BE+CF EF.5 .如图，已知在 ABC中，AB=AC CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB连接CD求 一 1 一证：CE一 CD.26 .证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。7 .分别以 ABC的边AB,AC为边，向三角

7、形的外侧作正方形ABD讶口正方形 ACFG,泌BC的中点，求证：AMML EG./：B M C8 如图，4ABC中，AB=4, AC=7 M是 BC的中点，AD平分/ BAC 过 M# MF/ AD 交 AC于 F, 求FC的长.9 .在4ABC中，AM BC边上的中线，（1）求证：AB+AC2AM;（2靖 AB=5, AC=9,求 AM的 取值范围。.4BM C10 . 4ABC中，AC=8 BC边上的中线AD=6则边AB的取值范围是。11 .如图，在 ABC中，AD平分/ BAC E为BC的中点，过点 E作EF/ AD交AB于点G,交CA的延长线于点 F.求证：BG=CF12 .如图，已知

8、在 ABC中，AD平分BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF, 求证：AC=BEA13 .如图所示，/ BACh DAE=90 , M是 BE 的中点，AB=AC AD=AE 求证：(1) CD=2AM, (2) AML CD14 .在 ABC中，分别以 ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG点 M为 BC中点，(1)求证：AM EG; (2)求证：EG=2AM.模块四、截长补短1 .截长：截取较长线段，使其和较短线段长度相等。2 .补短：延长较短线段，使其和较长线段长度相等。适用范围：条件或题目中出现“a+b=c”或 a-b=c”目的

9、：构造全等三角形1 . 如图，在 ABC中，/ B=2/ C,ADBC于 D,求证：CD=BD+AB.AB2 .如图，在正方形 ABCD, M N分别是BG CD上的点，/ MAN=45 .求证：MB+ND=M N3、如图所示，已知 ABC中，AD平分/ BAC,E、F分别在 BQ AD上，DE=CD已知ABC比正 方形，E、F分别在 CB CD的延长线上，/ EAF=135 ,求证：BE+DF=EF.4.如图，五边形 ABCDE, AB=AE BC+DE=CD/ ABC吆 AED=180 .连接 AD.(1)同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作出 ABC绕着

10、点A按逆时针旋转“/ BAE的度数”后的像；(2)试判断AD是否平分/ CDE并说明理由.上人5.如图，在四边形 ABCD中，/ B=Z D=180 ,AB=AD,EF分别是线段 BG CD上的一点，且BE+FD=EF证：/ EAF=1 / BAD.2，MN垂足为H,求证:6,已知：如图，在正方形 ABCD, M在CB延长线上，N在DC延长线上，/ MAN=45 , AH (1) MN=DN-BM (2) AH=AB7,已知：如图， ABCD正方形，/ FAD4 FAE.求证：BE+DF=AE8. 如图， ABC是正三角形，/ ADC=120 ,求证：BD=AD+CD.模块五角平分线的性质与判

11、定1. 如图，BE=CF DEL AB的延长线于点 E, DF AC于点F,且DB=DC 求证：AD是/ BAC的平分线.2. 如图，已知 ABC的周长是22, OB OC分别平分/ ABC和/ ACBQDLBC于D,且OD=3BAC=120 , AD BCT D,且 AB+BD=DC 那么/ C=()度.4 .已知，如图， ABCD正方形，/ FAD=/ FAE.求证：BE+DF=AE.5 .如图 ABC是正三角形，ABDC是顶角/ BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AR AC边于M N两点，连接 MN探究：（1）线段BM MN NC之间 的数量关系.（2）

12、若点M N分别是AB CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段 BM MN NC之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以6 .如图：在 ABC中，/ C=90 , AD是/BAC的平分线，D已AB于E, F在AC上，BD=DF 说明:(1) CF=EB(2) AB=AF+2EB7.如图，已知： ABC勺/ R /C的外角平分线交于点 D.求证：AD是/ BAC的平分线.模块六、角平分线的四大基本模型1 .角平分线+平分线，等腰三角形必呈现2 .点垂线，垂两边，线等全等都出现3 .角平分线+垂线，中点全等必可见4 .角分线，分两边，对称全等要记全1 . 如图，在4

13、ABC中，BD CD分另I平分/ ABC/ ACB.DEAB,FDAC,如果 BC=66 求 DEF 的周长2 . 4ABC中.(1)如图1,若/ BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。(2)如图2,若/ BAC的平分线不过 BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点 E,过E 作EFL AB,垂足为F,猜想2BR AR AC的关系并证明。E国工3 .如图， ABC中，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 你能说明 DC!AC吗?4 .在 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC,BE 平分/ ABC,CEL BE,求证：(1)BD - BE=AB- BC; (2

14、)CE= 1 BD.25 .如图，已知 ABC中，AD平分/ BAC / C=20 , AB+BD=AC则/ B的度数是 6 .已知，等腰 ABC /A=100 , / ABC的平分线交 AC于 D,BD=BE,(1)求/ DEC;(2)求证: AD=EC.7 .如图，AD是ABC的角平分线，H, G分别在 AC AB上，且HD=BD(1)求证：/ B与/AHD互补；(2)若/ B+2/ DGA=180 ,请探究线段 AG与线段AH HD之间满足的等量关系，并加以证 明.8 .(1)如图，在 ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较 PB+PC 与AB+AC勺大小，

15、并说明理由.(2)如图，AD是 ABC中/ BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且 ABAC 求证：AB-AO PB-PC9 .如图， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AD BC 垂足是 D, AE平分/ BAD 交 BC于点 E. 在 ABC外有一点 F,使 FAI AE, FC BC. (1)求证：BE=CF (2)在 AB上取一点 M,使 B M=2DE连接 MC交AD于点N,连接 ME求证：MEL BC DE=DN.10 . (1)如图，在 ABC中，/ ABC /ACB的平分线相交于 F,过F作DE/ BC,分另交 AR AC于点D E,判断DE=DB+E谍否成立？为什

16、么？ ( 2)如图，若点 F是/ ABC的平分线和 外角/ ACG勺平分线的交点，其他条彳不变，请猜想线段DE DB EC之间有何数量关系？证明你的猜想.11 .如图，在 ABC中，BE是/ABC的角平分线，AD BE,垂足为 D,求证：/ 2=/1+/C.12 .如图，CD为RtABC斜边上的高，/BAC的平分线分别交 CD BC于点E、F.且FGLAB,垂足为G,求证：CE=FGCAD G B模块七垂直平分线1 .如图，已知 AB=AC DE垂直平分 AB交 AC AB于 E、D 两点，若 AB=12cm BC=10cm / A=50 ,求 BCE的周长和/ EBC的度数。2 .电信部门要

17、修建一座电视信号发射塔 P,按照设计要求，发射塔 P到两城镇 A B的距离 必须相等，到两条高速公路 m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔 P的位置.（尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹）膛3如图，在四边形ABCM,AD/ BC,E为CD的中点，连接AE、BE,BEX AE延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1) FC=AD(2) AB=BC+AD(3)若/ ABC=50，求/ F.4.已知：如图AB=CD线段AC的垂直平分线于线段 BD的垂直平分线相交于点E,求证：/ ABE二ZCDE.模块八大角夹半角模型特征：组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。方法：旋转某个图形使大角

18、的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。1 .操作：如图， ABC是正三角形， BDC是顶角/ BDC=120的等腰三角形，以 D为顶 点作一个60角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连接 MN探究：线段BM MN NC之间的关系，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中 选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.二AN=NC（如图）； DM/ AC （如图）.附加题：若点 M N分别是射线 AB CA上的点，其它条件不变，再探线段 BM MN NC之间

19、 的关系，在图中画出图形，并说明理由.A圄 图 图 圉12 .如图，将RtABCg斜边翻折得到 ADC点E, F分别为DC BC边上的点，且/ EAF2/DAB (1)试猜想DE, BF, EF之间有何数量关系，并证明你的猜想(2)过点A作AML EF于点M,证明EF=BE+DF;(3)试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。3 .如图，在正方形 ABCD43, E为CD上一动点，连接 AE交对角线BD于点F,过点F作FGL AE交BC于点G(1)求证：AF=FG(2)如图，连接 G,当BG=3 DE=2时，求EG的长.4 .如图所示，4ABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角顶角为120的等腰三角形， 以D 为顶点做一个60的/ MDN