函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)8796

1、函数与导数经典例题-高考压轴1 .已知函数 f (x) =4x3 +3tx2 一 6tx + t-1,xR,其中 tR.(I)当t=1时，求曲线y = f(x)在点(0, f (0)处的切线方程；(II)当t#0时，求f(x)的单调区间；(田)证明：对任意的tw (0,y),f (x)在区间(0,1)内均存在零点.2 1_2.已知函数 f(x)= x+ h(x) =qx . 32(I)设函数 F(x)=18f(x)x2h(x) 2,求F(x)的单调区间与极值；(II)设 a WR ,解关于 x 的方程 lg3 f (x -1) - 3 =21gh(a-x) 一 21gh(4-x)； 24*1(

2、田)设 n WN ,证明：f (n)h(n)-h(1)+h(2) +|+h(n) >-.63 .设函数 f (x) =a2 lnx x2+ax , a >0(I )求f (x)的单调区间；(n)求所有实数a ,使e 1 w f (x) We2对xw 1,e恒成立.注：e为自然对数的底数.x4 .设f(x)=J,其中a为正实数.1 ax(I)当a=4时，求f(x)的极值点；(II)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.35 .已知 a, b 为常数，且 a才0,函数 f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828是自然对数的底数)。(I)求实

3、数b的值； (II )求函数f (x)的单调区间；(III )当a=1时，是否同时存在实数m和M (m<M,使得对每一个 t G m, M,直线y=t与曲线y=f (x) (xG1, e)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M;e若不存在，说明理由。6 .设函数 f (x =x3+2ax2+bx+ a , gx ) =x23x + 2 ,其中 xw R , a、b 为常数，已知曲线 y = f (x)与y=g(x)在点(2,0 )处有相同的切线l。(I)求a、b的值，并写出切线l的方程；(II )若方程f (x +g(x =mx有三个互不相同的实根 0、x、x ,其中x1&l

4、t;x2,且对任意的xWXi，X2，/)十g(x <m(x-1)恒成立，求实数 m的取值范围。函数与导数经典例题-高考压轴答案1.已知函数 f (x) =4x3 +3tx2 6tx +t-1,xR,其中 tR.(I)当t=1时，求曲线y = f(x)在点(0, f (0)处的切线方程；(II)当t#0时，求f(x)的单调区间；(田)证明：对任意的tw (0,y),f (x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线 方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满 分14分。(I)解：当 t=

5、1 时，f(x) = 4x3 +3x2 6x, f(0) =0,(x) =12x2 +6x6(0)=-6.所以曲线y = f(x)在点(0, f (0)处的切线方程为y=6x.(II )解：f '(x) =12x2 +6tx -6t2 ,令 f '(x) =0 ,解得 x = t或x = L2因为t#0,以下分两种情况讨论：(1)若t <0,则工<-1,当x变化时，f'(x), f (x)的变化情况如下表: 2+-+所以，f(x)的单调递增区间是13,上(-t,")；f(x)的单调递减区间是 -,-t I 22(2)若t>0,则-1 当x变化

6、时，f'(x), f(x)的变化情况如下表:2+-+所以，f(x)的单调递增区间是电的的单调递减区间是(臼(in)证明：由(n)可知，当t >0时,f(x)在(0内的单调递减,在 ,2内单调2递增，以下分两种情况讨论：(1)当工之1,即t之2时，f(x)在(0, 1)内单调递减，2所以对任意tw2,)，f(x)在区间(0, 1)内均存在零点(2)当0/<1即0<t <2时，f(x)在0,工内单调递减，在 工,1；内单调递增，若 222.17 37 3t (0,1, f = -t3 t -1 , -t3 ：二 0.244所以f(x)在1-,1 i内存在零点2若t

7、(1,2), f - = -7t3 t -1 < -t31 :二 0.244所以f(x)在10,- i内存在零点2所以，对任意ty0,2), f(x)在区间(0, 1)内均存在零点综上，X壬意t w (0,+=c), f (x)在区间(0, 1)内均存在零点。2.已知函数 f (x) = x + , h(x) =4x . 32(I)设函数F(x)=18f(x)x2h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；(n)设 a WR,解关于 x 的方程 lg3 f(x1)3=21gh(ax)21gh(4x)；*1(田)设 n =N , 证明：f (n)h(n) h(1)+h(2)+ +h(n)之一.

8、6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、 函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(I ) F(x) =18f (x) -x2h(x)2 =-x3 +12x+9(x 之 0),，F (x) =Tx2 + 12 .令二 F'(x)=0,得 x=2 ( x=-2 舍去).当 xW(0,2)时.F(x)0;当 xW(2,)时，F'(x)<0,故当xW0,2)时，F(x)为增函数；当xW2,F时，F(x)为减函数.x =2 为 F(x)的极大值点，且 F(2) =-8 +24 +9=25 .(II)方法一

9、 原方程可化为log43 f (x -1) - =log2 h(a -x) -log2 h(4 -x),24即为 log 4(x -1) =1og2 a -x -log 2 4 -x =1og2 -Si , 且4式为 4-x 1 : x < 4,当 1<aM4 时，1<x<a,贝(Jx_1=ax,即 x2 _6x+a+4 =0 ,4 - x =364(a+4)=204a>0,止匕时 x = 6-120-4a =3 ±v-5_a ? ,/ 1<x<a ,此时方程仅有一解x = 3 _5a .当 a>4时，1 <x <4,由 x

10、1=ax,得x26x+a+4=0,A=36-4(a+4) =20-4a ,4 -x若4<a<5,贝(JA>0,方程有两解 x=3±75Ti;若a =5时，贝4 A =0 ,方程有解 x=3；若a<1或a>5,原方程无解.方法二:原方程可化为log4(x -1) +log2 h(4 -x) =log 2 h(a -x),1 ：二 x ：4x : a, 2 a=-(x-3)5.x -1 . 0,1 4 - x . 0,即一log2(x1)+log2。4x =log24ax ,u2 a -x 0,J(x -1)(4 -x) =a -x.当1<aM4时，原

11、方程有一解x =3 _/5a ；当4<a<5时，原方程有二解x =3 ±J5 a ；当a=5时，原方程有一解x=3；当a M1或a >5时，原方程无解.(田)由已知得 h(1) h(2)中 h(n)=.彳 2 | n ,1 4n 3 - 1f八飞二丁汹飞.设数列an的前n项和为Sn,且S =f(n)h(n)-(nW N 6从而有 a1=S=1,当 2 Wk 4 100 时，ak=Sk- Skj_=- Vk-/k 166一 22p - 11 (4k 3) k -(4k -1) (k -1)乂 ak - k =(4k 3) k -(4k -1) ,k -166 (4k

12、3) . k (4k -1). k -111c=,>0 .6 (4k 3) k (4k -1) k -1即对任意k岂2时，有ak >Vk ,又因为 a=1=石，所以现+a2+|+4宜石+ J2+|+Jn .则0之h(1)+h(2) +|+h(n),故原不等式成立.3 .设函数 f (x) =a2 lnx x2+ax , a >0(I )求f (x)的单调区间;(n)求所有实数a,使e -1 E f (x) Me2对xW 1,e恒成立.注：e为自然对数的底数.【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分(

13、I )解：因为 f (x) = a21nx -x2 - ax.其中 x . 02所以 f (x)=-2x a = .(x-a)(2x a) xx由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,y)(n)证明：由题意得，f (1) =a-1 _ c-1,即a _ c由(I )知f (x)在1,e内单调递增，要使e -1 < f (x) £32对*W1£恒成立,只要f (1) = a -1 _e-1, 22.2f (e) = a - e ae _ e解得a = e.x4 .设f (x) = e 2 ,其中a为正实数.1 ax2(I)当a=4时，求f(x)

14、的极值点；3(II)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数 单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的 能力.2解：对f(x)求导得f(x)=ex1 ax Ux.(1 ax2)2431(1) =a=,右 f(x)=0，则 4x - 8x + 3= 0,解彳# x1 = 一，x2 = 一 .322综合，可知+0一0+/极大值极小值/所以，x1 =2是极小值占八、x2 :2是极大值点.(II )若f(x)为R上的单调函数，则 (x)在R上不变号，结合与条件a>0,知a

15、x 2 - 2ax 1 ：: 0在R上恒成立，因止匕 =4a2 _4a =4a(a 1) w0,由止匕并结合a>0,知0<aE1.5.已知 a, b 为常数，且 a才0,函数 f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828是自然对数的底数)。(I )求实数b的值；(II )求函数f (x)的单调区间；(III )当a=1时，是否同时存在实数 m和M (m<M,使得对每一个t G m, M,直线y=t与曲线y=f (x) (xG1, e)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最e大的实数M;若不存在，说明理由。【解析】22.本小题主要考查函数

16、、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。解：(I )由 f(e) =2得b = 2,(II )由(I)可得 f (x) =ax+2+ax ln x.从而 f '(x) = a ln x.因为a #0 ,故：(1)当 a >0时，由f(x)>0 彳4x>1,由f(x)<0 得0Vx<1;(2)当 a c0时，由f'(x) A040<xc1,由f '(x) <0得x>1.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1

17、,收)，单调递减区间为(0, 1);当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1,收)。(III )当 a=1 时，f (x) =-x+2 + xlnx, f'(x) =lnx.由(II )可得，当x在区间(1,e)内变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表: e-0+单调递减极小值1单调递增2一 21又2-2 <2,所以函数f'(x)=(xw1e)的值域为1 , 2 eem = 1据经可得，右,则对每一个twm, M,直线y=t与曲线y= f (x)(xw ,e)都有公M =2e共点。并且对每一l个t w (*, m) U

18、(M ,收)，直线y=t与曲线y = f (x)(x w Le)都没有公共点。 e综上，当a=1时，存在最小的实数 m=1,最大白实数 M=2使得对每一个twm,M,直线y=t与曲线y = f (x)(xw ,e)都有公共点。 e6.设函数 f (x =x3 +2ax2 +bx + a,gx )=x2-3x + 2,其中 xR,a、b 为常数，已知曲线 y = f (x)与y=g(x)在点(2,0 )处有相同的切线l(I)求a、b的值，并写出切线l的方程；(II )若方程f (x +g(x =mx有三个互不相同的实根 0、x、x ,其中Xi<X2,且对任意的xwx1,x2】，/)+g(X <m(x-1)恒成立，求实数 m的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分)解：(I) f'(x) =3x2+4ax + b, g'(x) = 2x3.由于曲线y = f(x)与y = g(x)在点(2, 0)处