勾股定理应用讲义

1、教学内容知识梳理§3.3勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股 定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 MBC中，/C=90。，则c =a2 +b2 , bc2 _a2 , ac2 -b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题专题一：利用勾股定理解决几何体表面上两点之间的最短距离问题方法技巧：

2、解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解.例1:如图，圆柱形玻璃容器的高为 18 cm,底面周长为60 cm,在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛， 在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是多少？图图变式训练1:如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？11解题技巧：巧展长方

3、体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反 而会扰乱视线.变式训练2：如图是一个棱长为 3 cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了 30的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为 2 cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s.经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光.你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？图图专题二：勾股定理与方程例1:如图，将矩形 ABCD沿直线图中阴影部分面积为多少？AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知

4、 CE=3 cm , AB=8 cm ,则例 2:在 RtA ABC 中，/ ACD=90,AC=5 , BC=12, CD是斜边AB的高，求 CD的长。例3:某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，请问一辆高为2.4米、宽3米的卡车能通过该隧道吗?变式训练1:如图，有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm , BC=8cm。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，C与E重合，你能求出 AD的长吗?变式训练2:如图所示，将矩形 ABCD沿着直线BD折叠，使点 C落在C/处，BC/交AD于E, AD=8 , AB=4 ,那么ABED面积是多少?专题三：勾股定理与图形面积例1:如

5、图所示：/ B=90° /ACD=90 ,四边形ABCD的面积是多少?例2:如图，在四边形 ABCD中,/B=/D=90 AB=20,BC=15,CD=7则四边形 ABCD的面积是多少?例3:在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示） .已知斜放置的三个正方形的面积分别是1, 2, 3,正放置的四个正方形白面积依次是Sn S2, S3, S4,则Sl+S2+S3+S4= 。变式训练1:在四边形ABCD中,AB/CD,AD/BC,CA ±AB若AB=3,BC=5,则四边形ABCD的面积是多少?变式训练2:已知4ABC中，/ C=90 , AB=5 , AC=4 ,以直角边BC

6、为直径作圆，则这个半圆的面积是多少?专题四：关于翻折问题例1:如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式训练：如图，AD是4ABC的中线，/ADC=45，把4ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4, 求BC的长.图能力提升1、如图，已知正方形B的面积为144,如果正方形 C的面积为169,那么正方形 A的面积为（）A.313B.144C.169D.252、如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为Si、S2、S3,则Si、S2、S3之间的关系是（）A、Si+

7、S2>S3B、S1+S2VS3C、Si+S2=S3D、Si2+S22=S323、如图所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm,高为30兀cm勺圆柱下底的点 A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺 旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐.根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm, A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁

8、从A点出发，沿着台阶面爬到 B点的最短路程是多少?图5、在 4ABC 中，/ C=90°,DE，AB,AE=BE,若 AC=36cm,DA=26cm ,求 BC 的长。6、如图，RABC中，AB=9 , BC=6, /B=90）将L ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN,则线段BN的长为多少?课后作业1、如图，长方形 ABCD中，AB=3 , BC=4,若将该矩形折叠，使点 C与点A重 合，？则折痕EF的长为（）.A. 3.74 B. 3.75 C. 3.76 D, 3.772、已知 RtAABC 中，/ C=90°,若 a+b=14cm , c=10cm,则

9、RtAABC 的面积是（ ）. 一一 2_ _2/ 2_2A、24cmB、36 cmC、48cmD、60cm3、已知x、y为正数，且I x -4 1 + (y -3) =0,如果以 x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、 5B、 25C、 7D、 154、一艘轮船以16海里/?时的速度离开 A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开 A港向西南方向航行，经过 1.5小时后它们相距 海里.5、已知：如图， 4ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17.求 S/abc。6、如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm, 8cm, 4cm. 一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是多少？87、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的 B处，经16小时的航行到达，到 达后必须立