同余定理解法的其他情况(2)

1、同余定理分三类：口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数， 反求这个数，称 作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以 4、5、6为例，请记住 它们的最小公倍数是60。1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差 同减差”。例：”一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3 ,所 以取-3,表示为60n-3。【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同

2、加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：”和 同加和”。例：”一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7所 以取+7,表示为60n+7。3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余 同取余”。例：”一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”，因为余数都是1,所以取 +1,表小为60n+1o4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、 2、 3中的60n）都满足条件，

3、称为 :“最小公倍加”，也称为 :“公倍数作周期”。余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用， 但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例1】一个数被3 除余 1，被 4 除余2，被5除余4，这个数最小是多少?题中3、 4、 5 三个数两两互质。贝U4, 5=20；3, 5=15；3, 4=12；3, 4, 5二60

4、。?为了使20被3除余1,用20X 2=40 ；?使 15 被 4 除余 1,用 15X 3=45 ；?使 12 被 5 除余 1,用 12X 3=36。?然后，分别乘以他们的余数：40 X1+45X 2+36X 4=274,?因为，274>60,所以，274-60X 4=34,就是所求的数。【例2】一个数被3 除余 2，被 7 除余4，被8 除余5，这个数最小是多少?在 1000 内符合这样条件的数有几个?题中 3、 7、 8 三个数两两互质。?贝U7, 8=56； 3, 8=24； 3, 7=21 ； 3, 7, 8=168。?为了使56被3除余1,用56X 2=112；?使 24

5、被 7 除余 1,用 24X 5=120 ；?使 21 被 8 除余 1,用 21 X 5=105 ；?然后，112X 2+120X 4+105X 5=1220?因为，1229>168,所以，1229-168X 7=53,就是所求的数。? 再用 (1000-53)/168 得 5, 所以在 1000内符合条件的数有5 个。【例3】一个数除以5 余 4，除以8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自然数。题中5、 8、 11 三个数两两互质。?则8, 11=88； 5, 11=55； 5, 8=40； 5, 8, 11=440。?为了使88被5除余1,用88X2=176；?使 5

6、5 被 8 除余 1,用 55X 7=385 ；?使 40 被 11 除余 1,用 40X 8=320o?然后,176X 4+385X 3+320X 2=2499,?因为，2499>440,所以，2499-440X 5=299,就是所求的数。【例4】有一个年级的同学，每9 人一排多5 人，每 7 人一排多1 人，每 5人一排多2 人，问这个年级至少有多少人?题中 9、 7、 5 三个数两两互质。?贝U7, 5=35；9, 5=45；9, 7=63；9, 7, 5=315。?为了使35被9除余1,用35X 8=280 ；?使 45 被 7 除余 1,用 45X 5=225 ；?使 63 被

7、 5 除余 1,用 63X 2=126。?然后，280X 5+225X 1+126X 2=1877,?因为，1877>315,所以，1877-315X 5=302,就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法，华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。来源 : 华图教育剩余定理的一般情况:一个数， 除以 7 余 3， 除以 8 余 6， 除以 5 余 2， 求满足这些条件的所有三位数。一个数除以7余3,可以把这个数字表示为 7a+3,同理有5b+2? ? 8d+67a+3=5b+2? ?7a+1=5b? ?a=2?b=3?R小公倍数 353

8、5c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8d? ?C=735*7+17=262? ?262+280N一个整数除300、 262、 205，得到相同的余数，问这个整数是几?分析 :根据同余的性质:此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。解 :300-262=38262-205=57? ? （28， 57）=1912 +22 + 32 +20012+20022除以7的余数是方法一根据公式：1A2+2A2+ +nA2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：+ 7=0-1, -7=0-4, +7=»2, -7=2 2, +7=3。4, +7=5。1, +7 = 7（余 数为0）, , +7与+7余数相同，同样地，+7与+7余数相同，.所以， 每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数，而 （1+4+2+2+4+1） + 7=2（余数 为0）,而2002 + 7=286,所以原式能被7整除，即除 以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？1998 的 1986 次=（265*7+3 ）1986 次? ? ? ? ?=3的 1986 次3人0?整除7的余数是？