裂项相消法求和附问题详解

1、标准文档裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能 前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前 后等式两边保持相等。实用文案(2)(3)(4)一一1若是an等差数列，则n (n 1)n n 1anan 1n(n k)(1-)n n kL)d an an 1 anan 2 2d an an.211(5)n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)(6)(7)=1= (Jn +k -<n) n % n k k1 .已知数列”的刖n项和为d , Ljt+i “' f f(1)求数列 S'

2、;的通项公式；htt =-(2)设 门"，求数列：d)的前n项和为。.解析"""'莅2时，5产3-1)-得：叽U)% = 3皿心2)即"M4 = 2(N2)分3在中令"二】，有均=%+2 ,即%-a=2 ,分5故对',2 .已知an是公差为d的等差数列，它的前 n项和为Sn, S4=2S2+8.(I)求公差d的值；I ,0、(n )若ai=l，设Tn是数列%"2的前n项和，求使不等式TnU8对所有的nC N*恒成立的最大正整数 m的值；解析(I)设数列an的公差为d,S4=2S2+8,即 4ai+6d=2(2

3、ai+d) +8,化简得：4d=8, 解得d=2.分4(n)由 ai=i, d=2,得 an=2n-1, 分5111, 11 ，=( ). WijLr2 力；12仃十 I 分.6I 1 II+卜4-F- + .Tn=苗心久右：%乜iI , I I 1 1 I I I 、 =I .】、】(I )=' j" J ,分8r .(trr -5"t) 又不等式Tn J ”对所有的nC N*恒成立，(nr - 5m)A >18,分, , 10化简彳导:m2-5m-6wq解彳导:-1亦.6m的最大正整数值为 6. 分.123 .）已知各项均不相同的等差数列an的前四项和&a

4、mp;=14，且ai,a3,a7成等比数列（I ）求数列an的通项公式；（n ）设Tn为数列M冉的前n项和，求T2 012的值.4«| + 6d=14答案（I ）设公差为d,由已知得处+?a=廿的"（3分）解得d=1或d=0（舍去）,a1=2. （5分）故 %=n+1. （6 分）1 11 1J（n卅51=（叶】其*2）=1+1|14（8分）1111=邛+"+ 5 M>+2=2计图.（10分）5U3.(12 分)的前n项和为4 .）已知数歹U an是等差数列，LM=8n+4,设数列|an|的前n项和为$,数列 (1)求数列an的通项公式；1(2)求证:？wn

5、<1.答案(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d. (2分)I 1-£晒 i，L%=8n+4,(an+1 +an)(an+1 -an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.当 n=1 时,d(2ai+d)=12;当 n=2 时,d(2ai+3d)=20.解方程组瓜同十演”20得d=2或"Z (4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求., 3n=2ll 或 arF-211. (6 分)(2)证明：由(1)知:av2n 或 an=-2n. , |a n|=2n.Sn=n(n+1). (8 分)N i |i| l i .3t=n(n+l) =n

6、-ii+L.Tn=1-2 +上-3 + -1 =1J1+ L. (10 分)口0卜1.(12 分)5.已知等差数列an的公差为2,前n项和为且Si,S2,&成等比数列(I )求数列an的通项公式；4it(H )令bn=(-1)n"%"，求数列bn的前n项和Tn.答案查看解析2x1解析(I )因为 Si=ai,S=2ai+ 2 x 2=20-2,4x3TSi=4ai+ x 2=4eH2, 由题意得(2an-2)2=ai(4ai+12),解得ai=i,所以 an=2n-1.=（,i）n-1l2n-l 4什»当n为偶数时，心f_L_3j-'、3 5）+.

7、叶-3=i-2"+ 12n=27 .当n为奇数时，L 4 i jTn=l ”-l3 5人-（*E1?”2小为奇数，3十1 昌川为偶数. 所以Tn'"（或筌.2"'；：严'12"1 J是函数r（N）56.已知点1）)11 2 - 1J 2 -1 2 内 +1>1I12e】匕2”1 ) +( 2“1二什】_筋十1+=1+一rl (u > 0, 1/ l)的图象上一点，等比数列4/r4 一(n)bn=(-i)n- =(-i)n-1 (2n-1)(2fr+l)口的此项和为/-C,数列也仇刊的首项为° ,且前项和 乳满

8、曲-I=卮+反5").(I)求数列1口/和%的通项公式；I 1 _1,10001TT J丁 Tv >(n)若数列% 的前股项和为乙，问 2伽4的最小正整数n是多少?/(1) = " = -/(j) =(-)"解析解：(I )因为3 ,所以 3,鼻二，Y = ! Y ，="Y/引=1所以，L口;灯2 14= = = - _ 匚为 _ 23 3又数列是等比数列，所以27，所以廿=1 ,% I2 111= = 74=k%) = -2七5w N*)又公比 面：所以33因为 S中- Ri =(、一- 7 Sr-)=-用合 2)又% ,所以区>°

9、; ,所以网一底 二 所以数列|同1构成-个首项为1,公差为1的等差数列，4 所以S-/ ,当“”时，心工$1 =八5-1/-，所以" =（6分）+ + H « + _b.K b,b. bh, 1x2 2x3(2«-1)(2«+011二 w 1 I"" ¥2" 7 '十 I 2"l ,(10 分)k II 10001000 T 1000Tti > n > T >由,"+1刈得 14，满足 2014的最小正整数为72. （12分）7 .在数列，色；中，4 = 2 , 4

10、= 4 ,且% %, %成等差数列，3“如成等比数列（4' ）.% ,由此归纳出, 1%的通项公式，并证明你的结论;15（n）证明:十h12解析(I)由条件得2=+4十口二“力,0=6, h =6 u, = 12,瓦=l& ci. = 2(k b. =25由此可得-己 =（“*）, b = ii? I）2 八 猜测. ''L L （4分）用数学归纳法证明：当打=1时，由上可得结论成立.假设当口=小时，结论成立，即%=地= * + I-k(k + 1) = (A+1)(A + 2> 优川=上=(A + 2工所以当x=K + l时，结论也成立.由，可知/二一对

11、一切正整数都成立.(7分)(n)因为当此2时，由(I)知4*4=伽*双2"1)>2("加11 II6 2 2x3 3M4 /面十 1)111111 I I 、一 + 一 I一一一+一 .一+ +- I6 2 2 3 3 4 产产+1综上所述，原不等式成立.(12分)a $ n-三8 .已知数列产-J的前M项和是,且(I )求数列的通项公式;（n）设khgdf'他她的正整数n的值.求使 2016成立的最小e 1,3_ b +% 解析(1)当时，%二，由3453一 5.+：仃=一日务J = 0当局之2时,+ 针M-I是以*1为首项，4为公比的等比数列.由（1）知f

12、=/5二1口8式1 -1G = Mg式;二5讨）5 + IXx+25 n+l n + 21.J-兰胆=心2092 ”十 2 2016100?故使2。"成立的最小的正整数n的值"="I分129 .己知各项均不相等的等差数列 an的前四项和 &=14,且ai, as, ay成等比数列.(I)求数列an的通项公式；(II)设Tn为数列I=/%"的前n项和，若Tn/* 对.£恒成立，求实数工的 最小值.45 += 14*解析122. ( I )设公差为d.由已知得=可分.3解得dul阳,0(舍去)所以修=2,故41 分.6A II11(H)皿(

13、"侬 + »，升1 "2,1J_1£+J.“一3一WW"I 分.9- < /(胪 . 2)Q对,住V恒成立，即“步+2)对恒成立ZJ1.1 I= w= 2(" 2r 2-,4 254) 16 又，的最小值为m分12I j_ I_10.已知数列前门项和为X,首项为修，且2 , 工 ,工成等差数列.(I)求数列："的通项公式； 1 I r t 1 1一 一 一中ll /一立z.石切、产目 以 也唱八。”十、丁 A h、瓦也 2(II)数列满足*,求证：,=*,Q 一, 口 .S2a = ,S i-解析(I)工成等差数列，之

14、，"7宓”三?两式相减得:所以数列是首项为2 ,公比为2的等比数歹U,(6分)5) =吗I*时咽厂”m-巾力)，口分)+ + +L L 4-=2(1 - L ” -='!"NL f C )曲区区 " 2335 方1 2 + 1(12 分)11.等差数列an#项均为正整数，ai=3,前n项和为Sn,等比数列bn中，bi=1,且b2s2=64,lb, 口、r ,牛是公比为64的等比数列.(I )求 an与 bn；1(n)证明：'<.答案(I )设an的公差为d, bn的公比为q,则d为正整数， an=3+(n-1) d, bn=qn-1.|匕 -

15、3+nd-J.*J十、里 ，=口 d= 6仁26q 4fm. 4上，S2%=(6+d) q=64.由(6+d) q=64知q为正有理数，又由q=知，d为6的因子1, 2, 3, 6之一，解得d=2, q=8.故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1.(n )证明:Sn=3+5+ +(2n+1) =n(n+2),±J_ JJll 1 1, 1一所以 + + =.X：|+"|+12.等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，g或%.(I )求数列an的通项公式；(n )设 bn=log3a1+log3a2+-+logan,求数列 hd的前 n项和.答案(

16、I )设数列an的公比为q.由呜=9a2a6得匹=9*所以q23.因为条件可知q>0,故q=.1由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=，故数列an的通项公式为an(n ) bn=log3a1+log3a2+ +logan=-(1+2+n)n(n+l)2|L+1)=-25+国+川=-2同战册尉U.n+l.所以数列可2n的前n项和为-n+l.13 .等差数列an的各项均为正数1尸3,其前n项和为Sn,bn为等比数列，拚=1,且 b2s2=16, b 3s3=60.(I )求 an 和 bn；答案(I )设an的公差为d,且d为正数，bn的公比为q,an=3+(n-1)

17、d,brqn 1,依题意有 b2S2=q (6+d)=16,2b3s3=q (9+3d)=60,(2 分) 解得 d=2,q=2.(4 分) 故 an=3+2(n-1 )=2n+1 ,bn=2n 1.(6 分)(n )Sn=3+5+ +(2n+1 )=n(n+2),(8)所以g/+.+工11111=L X 上 XX 3+. _piL( n+Z)(10 分)211+3=1.2(n+i)(n+2)|(12 分)14 .设数列an的前n项和Sn满足:&=nan-2n(n-1).等比数列bn的前n项和为Tn,公比为ai,且 Ts=T3+2b5.(1)求数列an的通项公式；| 1 1 1 1(2)设数列111MM J的前n项和为Mn,求证SWMn*.答案(1) T5=T3+2b5,b4+b5=