定积分与不定积分

1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不 定 积 分不 定 积 分 的 概 念设f(x), x I ,若存在函数F(x),使得对任意x I均有F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。f (x)的全部原函数称为f (x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx F(x) C注：(1)若f(x)连续，则必可积；(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x) G(x) C。故不定积分的表达式不唯一。性 质d. . . .一 . .一 .一 .性质 1 ： 一f (x)dx”*)或f (x)dxf(x)dx；dx性质 2： F (x)dx F(x) C

2、 或 dF(x) F(x) C；性质 3： f (x) g(x)dxf (x)dxg(x)dx,为非零常数。计 算 方 法第一换元积分法(凑微分法)设f (u)的原函数为F(u) , u (x)可导，则有换元公式：f( (x) (x)dx f( (x)d (x) F( (x) C第二类 换元积 分法设x (t)单调、可导且导数不为零，f (t) (t)有原函数F(t),1则 f(x)dx f( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部积分法u(x)v (x)dx u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x)有理函数积 分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式

3、的和；对真分式的处理 按情况确定。本章 的地 位与 作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知一求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题； 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。 从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度， 几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求

4、出不定积分dxx* 2 =x思路:被积函数由积分表中的公式（2）可解。解:dxx2 x5x 2dx(2) (Vx2x思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：（次二）dx,x(x3 x 2)dx1x3dx1x 2dx3 -13x3 2x2 C4(2x x2 dx分别积分。思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,解：(2x x2)dx2xdxx2dx 二In 21x3 C 3(4) , x(x 3)dx分别积分。思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,解：Jx(x 3)dx3x2dx 31x2dx535 2x2 C 3x 3x 1思路：观察到-x2 13

5、x23x4 3x1 1(5) 2dxx 1解:43x 3x2x2 , dx 3x dx1,3ydxx arctan x C 1x2(6)dx思路：注意到1 x21,根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 xdx 2dx1 xarctan x C.2k x .斛：2dx1 x1+1-4、)dx x/ x斛：（一2I3x x4、)dx1 2 -x4In |x|x3 x224x3xdx-dx x3 x 3dx 4 x 4dxC.注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其 分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。/ x

6、(-2思路：分项积分。212 )dx思路：分项积分。解:解:(9)?)dx思路:看到 ,x . x x1 1x2 4(10)1. x x .i x dx7x8dx15C.1, cc .cdx 3arctan x 2arcsin x C.7x8x2,直接积分。-r-dx x (1 x )思路：裂项分项积分解:1 x1 2(1x2)dx(Ax1 、，rv)dx口 dx xdx1 arctan x xC.1122xe（11）1)(ex 1)解:x exe 1dx(ex 1)dxC.x x _(12) 3 e dx思路：初中数学中有同底数嘉的乘法:指数不变，底数相乘。显然侬x。. XX /、x (3Q

7、 -解： 3 e dx(3e) dx C.ln(3e)2,(13) cot xdx思路：应用三角卜I等式“ cotx csc2 x 1"。解：cot2xdx(csc2 x1)dxcotx x C5 2x-dx3x思路：被积函数2 3x 5 2x3-2、x 八5 -）,积分没困难。3Tx 3x(22, 5(-) )dx 2x 53C.ln2 ln32 x, (15) cos - dx思路：若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降嘉，再积分。52 x ,解： cos -d 21(16) dx1 cos2x1sinx C. 2思路：应用弦函数的升降嘉公式，先升寨再积分。解:1 cos2xd

8、x一dx2cos xse(2 xdx 1tanx2C.(17)cos2xcosxdx sin x22思路：不难，关键知道 cos2x cos x sinx (cosx sin x)(cosx sinx) '。解:cos2xcosx sin xcos2xdx (cosx sin x)dxsin x cosxC.(18) 2cos x sin xdx思路：同上题方法，应用“cos2x cos2 x sinx”，分项积分。 cos2x解：22cos x sin-dx x22cos x sin x2_cos x sindx12dx sin x12-x cos xcsc2 xdxse(f xdx

9、cotxtanxC.(19)(1 x1 x1 x )dx1 x思路：注意到被积函数1 x 1 x1 x1 x1 x1 x21 x22,应用公式(5)即可。,1 x2解：(1 x1 x闩dx=dxx22arcsin xC.21 cos x(20) dx1 cos2x思路：注意到被积函数1 coscos2x2cos x722cos x1 2-sec21一,则积分易得。2cos2x1 sec2 xdx 工 dx22tan xC.2、设 xf (x)dxarccosx C ,求 f(x)。知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系d 一一思路分析：直接利用不定积分的性质1: -f(x)dx f(x

10、)即可。dx解：等式两边对x求导数得：xf(x)1f(x)_1_x % 1 x23、设f(x)的导函数为sin x ,求f(x)的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，f(x) sinxdx cosx Ci所以f(x)的原函数全体为：(cosx C1)dxsin x C1x C2 °1x4、证明函数 一e2x, exshx和exchx者B是的原函数2chx- shx知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。EC e2x H d 1 2xr d r x , r d r x2x解：Q

11、 e ,而 一(一 e ) 一e shx e chx echx shxdx 2 dxdx,2 一5、一曲线通过点(e ,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的万程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积 函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。“d .1解：设曲线方程为y f(x),由题意可知： f(x) , f (x) ln|x| C； dx x又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有 3 ln(e2) C, C 1 ,所以曲线的方程为f(x) ln|x| 1.,，一

12、 2 ,.烟、一物体由静止开始运动，经 t秒后的速度是3t (m/s),同：(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2) 物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：y f(t),1 d23则由速度和位移的关系可得：一f(t) 3t f(t) t C,dt又因为物体是由静止开始运动的，f(0) 0, C 0, f (t) t3。33秒后物体离开出发点的距离为：f(3) 3327米；令t3 360 t 狗60秒。习题4-21

13、、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。1 12314解：(1)dx d(7x 3);(2)xdx d(1 x2);(3)x3dx d (3x4 2);7212ov 10Vdx1dx 1e dx d(e );(5) d(5ln | x |);(6)d(3 51n | x |);2 x 5x 51dx 1dx 1一dt 2d(、,t);(8) 2 d(tan2x);(9) 2 - d(arctan3x).tcos 2x 21 9x 32、求下列不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看

14、看积分表达式中，有没有成块的形 式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元 法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！( 1)e3tdt思路：凑微分解：e3tdt 1 e3td(3t) 1e3t C 333(2) (3 5x) dx思路：凑微分3解：(3 5x) dx(3 5x)4 C2013一(3 5x) d(3 5x) 5dx(3)3 2x思路：凑微分.1.解： dx3 2xd(3 2x) 2x1ln |322x| C.1 (4)dx35 3x思路：凑微分。解:35-3x13-d(5 3x)3 5 3x(513x)3d(

15、53x)21 二-(5 3x)32C.(5)(sin axxeb)dx思路：凑微分。解： (sin axxeb )dx1一 sinaxd(ax) b a1一 cosax axbeb(6)思路：如果你能看到d(J7)尸dt,凑出d(JT)易解。2、.t解：cosAdt 2 cos而(式)2sin VT C.102. tan xsec xdx思路：凑微分。C.102101 .11解： tan xsec xdx tan xd(tanx) tan11dx (8)xln xln ln x思路：连续三次应用公式凑微分即可。dx解： xln xln ln xd(ln |x|)ln xln ln xd(ln

16、|ln x|)ln ln xln 11n ln x | C一、xF xdx (9) tan -1 x ,1 x2思路：本题关键是能够看到是什么，是什么呢？就是d .1 x2这有一定难度!解：tan 1X2- xc*x tan xdX2"ln |cosT1 X21 C；1 x2dx (10)sin xcosx思路：凑微分。解： 方法一： 倍角公式sin2x 2sin xcosxdxsin xcosx2dxsin2xcsc2xd2x In | csc2x cot2x| C1tanxd tanx In | tanx | C方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数dxcosx ,

17、12 , 2 dx sec xdx sinxcosx sinxcos x tanx22,万法二： 三角公式sin x cos x 1 ,然后凑微分。22dx sin x cos x dx sin xcosx sin xcosxsin xcosxdx dxcosxsin xd cosx d sin xcosx sin x(11)In | cosx | In |sin x| CIn | tan x| Cdx思路：凑微分:dxx x e eexdxdexdexe2x 1 1 e2x1 (ex)2解:dxx xe eexdxe2x 1dex1 (ex)2xarctane C (12)xcos(x2)d

18、x思路：凑微分。21221.2解： xcos(x )dx - cosx dx -sinx C(13)xdx_2 3x2、2 3x2思路：由xdx1dx22 2-3x21 d(2 3x2)凑微分易解。2 3x2 xdx解：2 3xd(2 3x2),2 3x2(213x2)5 d(2 3x2)1 2 3x232(14) cos(t)sin(t)dt思路：凑微分。-F2 ，解：cos (t)sin(1 t)dt 2 /cos (t)sin(t)d1 cos2(t)d cos( t)cos3( t)C.3x3 (15) 4dx1 x思路：凑微分。解：一13x34-dx x34x4 dx1 x-dx4

19、x-d(1 x x3-In |14x4 | C,(16)sin x3-, cos x思路：凑微分。sinx .解：3dxcos x13-icos xcosx1_222 cos xC.dx20 x解:1107220 x,10dx1d1010 x21arcsin(1010 x .2) C9 x M17) -=2思路：经过两步凑微分即可。1 x M18)2 dx9 4x思路：分项后分别凑微分即可无力 1 x ,1.x .解：dx , dx , dx9 4x29 4x29 4x21 2xd, 2x)2312d4x. 9 4x2少)232x2x d 3=d(9 4x2) 4x2arcsin( )234、

20、*C.dx( 19)2 2x2 1思路：裂项分项后分别凑微分即可。解:dxdx2x2 1(12x 1)(2x 1)1 ( _12 .2x 1122(、2： 1 J川区12、21-d(行x2x 11) 2121-d (-. 2x ,2x 11)2x 12,2ln .2x 1C.xdx(20) 2(4 5x)2思路：分项后分别凑微分即可。解：一(4xdx5x)21,4 5x 45 (45x)2dx1254 5x4 (41、才 d(4 5x)12514 5xd(4 5x)425(4 5x)2d(45x)ln 2541|4 5x|25 4 5xC.2 .x dx(21)通(x 1)思路：分项后分别凑微

21、分即可。解：一 (xx2dx(x 1 1)2 dx1)100(x1)100(x 1)2(x 1)1001)24100(x 1)1、，/八 100)dx(x 1)98(x 1)1(x 1)991/4100(x 1)d(x 1)111197 (x 1)9749 (x 1)981199(x 1)99C.(22)xdxx8 1思路：裂项分项后分别凑微分即可。, xdx解：-8一xxdx(x421)2 x41 、，）xdx(一x 1一)dx2x 12(qdx (x2)2 11 ln |814 xx2 1x2 1产281d(x21)21d(x 1)%ctanx： 4C.，一.3(23) cos xdx思路

22、:凑微分。cosxdx-F3.斛： cos xdx2cos x cosxdx2cos xdsinx2 、 .(1 sin x)dsinx13sin x sin x32(24) CoS ( t )dt思路：降嘉后分项凑微分。解：cos2(t )dt1 cos2(22dtcos2( t )d2( t )2tsin 2( t*25)sin2xcos3xdx思路：积化和差后分项凑微分。解： sin2xcos3xdx1-(sin5x sin x)dxsin5xd5x 101 sin xdx211ccos5x -cosx C10*26)sin5xsin7xdx思路：积化和差后分项凑微分1 cos12xd(

23、12x)11八sin2x sin12x C.24.11解：sin5xsin7xdx-(cos2x cos12x)dx - cos2xd2x3*27) tan xsecxdx思路：凑微分 tan xsecxdx d secx。3解： tan x secxdxtan2 xtan xsecxdxtan2 xd secx2(secx 1)dsecxsec xd secxdsecx13-sec x3secx C10arccosx(28)dx,1 x2.1.思路：凑微分一,dx1 x2d ( arccosx)。10arccosx解：* dx. 1x2arccosx10 d arccosx10arccosx

24、ln10C.dx(29)-(arcsinx) . 1-1.思路:凑微分一j dx ,1 x2d (arcsin x)。解:dx(arcsinx)2 . 1 x2d arcsinx(arcsinx)2arcsin xarctan x ,3。).dx.x(1 x)2arctan . x ,-d - x1 ( x)22arctan Vxd (arctan Vx)。arctan . x , 思路：凑微分-j=dx.x(1 x)2arctan ； x d、x1(x)2"2arctan、xd (arctan x)后力arctan . x .解：-j=dxx(1 x)(arctan x)2dxIn

25、 tanx431 )cosxsinx思路：被积函数中间变量为tanx ,故须在微分中凑出2tanx ,即被积函数中凑出 sec x ,ln tanx dx cosxsin xIn tanx2 cosxtanx, ln tanx 2 , ln tanx .dxsec xdxd tan xtanxtanx12、In tanxd(ln tanx) d(-(ln tanx)解:In tanxcosxsin x12-(ln tanx)dx1 ln x432) 2(x ln x)dx思路：d(xlnx) (1-1 ln x ,解： 初dx(xln x)433)当1 e解：方法一:ln tanx ,2dxc

26、os xtanxlntanx 一 d tanxtanxIn tanxd(ln tanx)In x)dx1-,、2d(xln x)(xln x)x In xx思路：将被积函数的分子分母同时除以e ,则凑微分易得。dx e x/ xx1 e e-d(ex) 1-d (e 11)ln |e x 1|方法二:思路：分项后凑微分dxx1 ex exedx1dx方法三:xdx e1 d(1 eIn |1x(ln ex ln(ex|e1|)In |e1|)In |e1|思路：将被积函数的分子分母同时乘以裂项后凑微分。dxx1 eexdxx xxe (1 e )dexxxxe (1 e )11 vde lnx

27、xe 1 e1r7d(1ln |1 ex|C ln |e1| Cdx) x7解：方法思路：分项后凑积分。dxx(x6 4)1 4dx4 x(x6 4)x6 4 x6dx 1x(x64)45 x-6- x一 dx41 , , ,1In | x | 424d(x6 4)x6 414ln|x1Ln 24|x64| C方法二：思路：利用第二类换元法的倒代换。人 1令x 丁贝U dx下 dt。 t2dxx( x6 4)1t2)dt24d(4t6)1 4t624d(4t6 1)1 4t61 ln(1 244t6)1 ln(1 24C.dx435) -82x8(1 x2)解：方法思路：分项后凑积分。dx8

28、,A2Tx (1 x )1 x24 x8x82、x (1 x )dx(1x2)(1x2)(1x4)dx(16dx82、x (1 x )dxx)(1 x)dxdx1 x217x7方法二:50 35x 3x1ln 2思路：利用第二类换元法的倒代换人 1.令x 1，贝U dx工dt。t2dx x8(1x2)t8t8 t2-dt 1(t6t4t21/-)dt 1(t6t4t21)dt1t7 7(1 ln I2)dt(t6t4t21)dt7 x75 x53x3In3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。下列二恒等式思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何

29、化无理式为有理式？三角函数中, 起到了重要的作用。.22/2,2/sin x cos x 1; sec x tan x 1.为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角 范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。好)-1dx;1 x2思路：令xsint, t一,先进行三角换元，分项后, 2再用三角函数的升降嘉公式。解：令xsint, t一，贝U dx costdt 。 2dxcostdt1 costdtdt1 costdt2cos2-2sec-d-2 2tt tan C2arcsin x1.1 x2C.arcsin x（万能公式tan

30、12sintcost1 costsint又 sintx时，cost)-2-dx x思路:令x 3sect,t（0,2）， 三角换元。解：令 x 3sect,t(0,),则 dx 3sect tantdt。x9dx3tan t3sect tan tdt 3 tan2tdt 3 (sec2t 1)dtx3sect上Atanx xx2 9)33tan t 3t C x2 9 3arccos C. |x|3 .(x 3secx时，cosx ,sin x3)dx2 23(x 1)思路：令x tant, t ，三角换元，2一 人一 .，2 .解：令 x tant, t 一，则 dx sec tdt 。dx

31、23x 1)sec tdt3sec tdt costdt sin t sectC 1 x24)(x2a2)3dx思路：令x atant, t一，三角换元,2解：令xatant, tdx.(x2 a2)32，则 dx asec2 tdt 33a sec t2 .asec tdt。dt-2 Ta sect11.，八costdt - sin t C aa*5)x2 1C.dx思路：先令u x2,进行第一次换元；然后令 u tant, t 一，进行第二次换元 2解：Q11dx2 x2 x4=dx2,1x2得:x 1 ,1 u 1,.2 .-ddx 一 一1du ,令 u tan t, t ,则 du

32、sec tdt ,x.x4 12 u、u2 12x2=Ldx*du1 tant 12 tant sect2 .sec tdt1 -Jsectdttant1 .，(csct sect)dt 51n secttant1.-ln csct cott21ln 221npn 2C.(与课本后答案不同)为6). 5 4x x2dx思路：三角换元，关键配方要正确。3sin t, t则 dx 3costdt。. 一 _2 一一、2解：Q5 4x x 9 (x 2).5 4x x2dx9cos 2tdtcos2tt 1一dt 9( sin2t) C2 42 5 4x 2C.9一 arcsin24、求一个函数f(

33、x)，满足f (x)1i，且 f (0),1 x,1,一 、，一思路：求出,的不定积分,由条件,1 xf(0)1确定出常数C的值即可。1-d (x,1 x1)C.令 f(x) 2 1 xC ,又 f(0)可知Cf (x)=2 ,1 x1.4、设 I ntan” xdx,求证:In tann n 15,I n-2,并求 tan xdx。思路：由目标式子可以看出应将被积函数tann x分开成tann2.2.,、xtan x ,进而与成:tann 2 x(sec2 x 1) tann 22 xsecx tann 2 x ,分项积分即可。tann 2 xsec xdxtann 2 xdx证明：Inta

34、nn xdx(tann 2 xse(2 x tann 2x)dxtan n 2 xd tan x I n 2tan5xdx- tan 1I n 2.习题4-3 ,4-tan x1、求下列不定积分：-tan x4 ,2-tan x知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、幕、进行分部积分的练习。(1) arcsin xdx思路：被积函数的形式看作 x0 arcsin号下，凑微分后仍为dx 0tan xdx14一 tan x41+ 4 -tan x412-tan x 11212._-tan x ln cosx C.2三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。x ,按照“反、

35、对、嘉、三、指”顺序，募函数”的原则优先纳入到微分解： arcsin xdxxarcsin x11x dx xarcsinx 一1 x21;rx2d(1x2)xarcsinxC.2、. (2) ln(1 x )dx思路：同上题。解：ln(12 jx )dxxln(1x2)x 2x dx x ln(1 x2)1 x21 x2 (3)思路：解:xln(1xln(1x2)x2)2(x21) 21 x2dx xln(1 x2)2x 2arctanx C.arctanxdx同上题。arctanxdx xarctanxxR1 x22dx 2x arctan x 一2d(1dx2 xx2)1 x21,1,

36、x arctanx 51n(1x2) C(4) e2x sin xdx2思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：Q e2x _ . xsin dx2sind(1 2xx2e )1 2x . x 1-e sin 一2xZdx22(5)思路：解:思路：解:(7)思路：. 2x . x-e sin-1 _ 2x x-e sin 一1 _ 2x x-e sin-41e8x cos d(22x)2xx cos一2xx cos2_ 2x _. xesin-dx)16_ 2x _. xe sin-dx22x _ . x sin dx22e2x17C.x(4sin -x2 arctanxdx严

37、格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。x2 arctan xdx1x3arctanx 313-x arctan x31 3x arctan x3x . xcos dx23 .x . arctan xd()31x3arctanx 3dx xx-dxarctan x(xx)dx x31-x6xdx严格按照“反、对、嘉、x”xcos dx22xsin-2xtan2xdxdx x1 x3 arctan x 312丁 X)11n(1 x2) C. 6三、指”2 xdsin-2, x c4cos C.2严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。x x 2xsin- 2 sin-dx2xsin-2

38、xx sin d2 2顺序凑微分即可。解：xtan2xdxx(sec2x 1)dx(xsec x x)dxxsec2 xdxxdxxd(tan x) xdxxtanxtan xdx1 2 -x 2xtanxIn cosC.2,(8) ln xdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。2,解：ln xdxxln2 x12x 2ln x -dx xln xxln xdx2xln x 2xln x2 x - dxxxln2 x2xln x2dx xln x 2xlnx2xC.(9)xln(x1)dx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：xln( x 1)dxx2ln(

39、x 1)d 2二 x2ln(x21)dx12 一x ln( x21)立Ldx12 一-x ln(x21)(x1 )dx11x2ln(x1)1八-ln(x 1) Cln x(10) dxx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解：*dxxln2 xd (121一ln x一2lnxx1一dx x1 lnxln x2葭dxx1 2-ln x x12一 (ln x x2 lnxd(Inx 2)(11) cosln xdx-) x思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”解：Q cosln xdx xcosln x11n2x 21nx4dx x-ln2x x2,2cln x C x x顺序凑微分

40、即可。xsinln x 1dxxx cosln xsin In xdxx cosln xxsin ln x cosln xdx，.，1，xcosln x xsin ln x xcosln x -dx xx .cosln xdx (cosln x sin ln x) C.ln x(12)dxx思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。(13) xn ln xdx(n1)思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。解：xn ln xdxln xd1 n 1、x ln x1dx x1 n 1 x ln xn 1-xndx n 1In x1 (n1)C.2 x .(14) x e dx思路：严

41、格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解： x2e xdxx2exe x2xdxx2e x2xexdxx2e x 2xe x 2ex Ce x(x2 2x 2)解：x3(lnx)2dx2ln x 1 dx x1 4x (ln x)414.x (ln x)41x4(ln x)2421-x83 .x ln xdx4 .ln x1x4lnx 881一 x3242x (ln x)1dx x4ln xdx1 4.一 x (ln x)41 x4(2ln 2 x84lnx 1 x3dx81-ln x ) C.4ln ln x ,(16) dxxln ln x ,思路：将积分表达式dx与成ln ln xd(ln x),将ln x看作一个整体变量积分即可。x解：1n 1n x dxln ln xd(ln x) ln xln ln xxlnxA ln x11-dx In xln In x - dx xxInxlnlnx In x C In x(ln In x 1) C.(17) xsin xcosxdx思路：严格按照“反、对、嘉、三、指”顺序凑微分即可。解： xsin xcosxdx1xsin2xdx 21xcos2x 148cos2xd2x, ,1 c、xd( - cos2x)一 1 . 一一 xcos2x sin2x22(18) x Cos2思路：先将cos-