实数综合与提高

1、实用标准文案精彩文档实数综合与提高麒/=加（mw相曲曲=4梆围船师M1麻楙，辨乐睇哪源陋僧修州雄醐G岫陲麻瞬雌脆脚 I %瓶海二鞫 报期陆翻期F |眺!I® -1逊 逊而嗣如- 就一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0,正有理数，正无理 数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： (1)开方开不尽的数，如J7,V2等；(2)有特定意义的数，如圆周 率兀，或化简后含有兀的数，如 几+8等；3(3)有特定结构的数，如 0.101001

2、0001等;(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相 反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应 的点关于原点对称，如果 a与b互为相反数，则有a+b=0, a=-b, 反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(间0)o零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a ,则 aA0;|a|=-a ,则 aW003、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身 的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长

3、度的直线叫做数轴（画数轴时，要 注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一 对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是 0。表示方法：记作“5”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数 x的平方等于a,即x2=a,那 么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“土3"，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两

4、个平方根，它们互为相反数；零的平方根是 零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意后的双重非负性：玄-a -03、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫 做a的立方根(或三次方根)。表示方法：记作3. a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。注意：%= = -3万，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负 数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数， 绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较

5、：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数大。(2)求差比较：设a、b是实数，a -b 0 = a b,a-b=0= a=b,a -b :二 0 = a :二 b(3) 求商比较法：设 a、b是两正实数，a 1 = a b; a =1 = a =b; a 二 1 = a :二 b; bbb(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|a >|b a<bo(5)平方法：设a、b是两负实数，则a2>b2u a<b。五、算术平方根有关计算(二次根式)1、含有二次根号”；被开方数a必须是非负数。2、性质：(1) (-. a)2 = a(a 二 0)-a(a _ 0)(2) j

6、a2 = ak：L-a(a <o)(3) Jab =盯 Jb(a >0,b > 0)(*<b = Vab(a 2 0, b 之 0)(4)修卷(a 之 0,b>0)(卓=&a2 0,b>0)b b. b b3、运算结果若含有“石”形式，必须满足：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方 、开方(2)实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。(3)运算律加法交换律加法结合律(a b) c = a (b c)乘法交换律ab

7、 = ba乘法结合律(ab)c = a (bc)乘法对加法的分配律a(b +c) = ab + ac例题例1已知一个立方体盒子的容积为216cnf,问做这样的一个正方体盒子(无盖)需要多少平方厘米的纸板？例2若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例3下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无 理数；实数与数轴上的点是对应的。正确的个数是()A、1 B 、2 C 、3 D 、4例 4 (1)已知 x -2 +(y +4)2 + Jx + y 2z = 0,求(xz)y的平方根。(2)设立的整数部分为a,小数部分为b,求-16ab-8b2的立方根。ir x, y

8、, m 适合于关系式 v3x+5y-3-m +12x +3y -m = Jx + y -2004 + 72004 - x - y,试求m -4的算术平方根。 a.3 一. .一(4)设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数a 二是有理数还是无理数,并说明理b ,3由。例5(1)已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求 p的值。(2)已知m n是有理数，且(而+2)m + (3 2j5)n + 7 = 0,求m n的值。(3) ABC的三边长为a、b、c, a和b满足JO=1 + b2 4b + 4 = 0 ,求c的取值范围。(4)已知 x = (Z2a _ <1a|-3+3-|al)1

9、993 ,求 x 的个位数字。4 a 3-a分类讲解一、二次根式的非负性1 .若 2004a| 7a 2005 = a ,贝U a20042 =.2 .已知：y = J1 _8x + J8x 1 +1,求 十上十2 Px+上2 的值.2 y x y x3.已知x、y为实数，且y = x - 9 - 9 - y +4,求、仅+ jy的值.二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方2(n i)2,所得的结果为（拓展）计算Ji +4 +i2一:i 一 一 - i 2,2i+42+Ji+.20032 200422 .化简：、y +2+3J2y -5y-2 + /2y5 .4.化简:23-6 6 -4 2

10、.化简：,i3 2、, 5 2,7 2,356.化简：，23-6,i0 4 3-2 2（二）分母有理化i .计算:+ 十3，35*3 3.57 *5 5.7i一尸=的值.49 1 47 47、492.分母有理化:2 .35计算：M 2 J3 +三、二次根式的应用(一)无理数的分割1 .设a为J3745 - J3二后的小数部分，b为6+373 -a-3r3的小数部分，则2 1一一的值为()b a1.一(A)巡 72 +1(B) (C)1(D) 2-屈4282 .设娓+1的整数部分为x,小数部分为y，试求x2 +1xy + y2的值.5-1213 .设 出9 -8邪的整数部分为a，小数部分为b ,

11、试求a+b+-的值b(二)最值问题1 .设a、b、c均为不小于3的实数，则Ja - 2 + JET1 +|1 - JC二1|的最小值是 2 .实数 a, b 满足 Va2 -2a+1 +>/36-12a+a2 =10-|b+ 3| - |b-2|,则 a2 +b2 的最 大值为.1 .设 m、x、y 均为正整数，且, m - 28 = % x - 4 y ,则 x + y + m =.2 .已知，15+x2 -,19 + x2 = -2,则 j15 + x2 +，19 + x2 的值为.353 - ; 554453 .已知 x=, y=,求 x +x y+xy + y 的值.221.已知

12、:(四)有二次根式的代数式化简.8 - 74.已知 J3 =1.732, J30 =5.477,求 J27 的值.8.7 - x y 2- xy尸，求： 一=一” 的值8 - . 7x , y2.211-2a a已知a =广,求2 、3 a-1a2 2a 12 a -a的值.3.已知：a, b为实数，且b =,a2 -22-a2,求（v2-b+a-J2 - baf 的值.（五）比较数的大小1.设 a>b>c>d>0且，x = Tab +&d, y = VOC + Vbd z= Vad + 4bc-则 x、y、z 的大小关系.512 .比较5与 1-的大小.2 .

13、7 、2.5,33 .比较 而一而与Jm +1997 一 Jn +1997的大小.4 .比较J1996-屈95与屈97-JT996的大小.2001-1 人.2001 165 .比较-与二的大小.2002 -1、2002 16 .比较更+2与213的大小.,a 3. a 4实数拓展提高训练题1 .有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数 包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。其中正确的说法的个数是（）A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 .如果a有算术平方根，那么a一定是（）A.正数 B. 0 C.非负数 D,非

14、正数3 . ”121的平方根是土 11”的数学表达式是（）A.11B. VH1=±11C. ±v，=11D. ±±例=±114 .设a是9的平方根，B=（超）2,则a与B的关系是（）A. a=±BB. a=BC. a=- BD.以上结论都不对5 .下列说法：一3是两T的平方根；一7是（一7）2的算术平方根；125的立方根是土 5;16的平方根是土 4;0没有算术平方根.其中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D, 4个6 .如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有（）D. 3个)D. 4个C.A. 0个B.

15、 1个C. 2个7 .在0到20的自然数中，立方根是有理数的共有（A. 1个B. 2个C. 3个8 .下列一定没有平方根的是（）A . xB. 2x 1D. -2-x29.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. 14B. 48D. 4a+ 410 .若-1<m<0,且门=Vm，则m、n的大小关系是（）.A. m >n B.m<n C.m = n D .不能确定11 .下列说法中：9的平方根是3;72是2的平方根；-2是716的平方 根.土强是9的平方根；0的平方根是0其中正确的是:A. B. C. D.12 .当a取 时，旧有意义.13 .若收-12 2 +（5-

16、x2 =x-12+x-5,则x的取值范围是 14 .若（4 - k）3 =k4,则k的值为.小6的平方根是.15 .已知a是旧的整数部分，b是50的小数部分，则（b访）a的立方根是1 6.在实数范围内，等式+卜+ 3=0成立，则式'=.17 .已知：若"365 = 1. 910, "36.5 = 6. 042,贝鹏365000 =18 . （12分）把下列各数填入相应的集合内:1, 0, 0.16, 31, 0.15, V3,一坐,-T-, V16, 38, 3.141 592 6 , 0.101 2233001 000 1 .整数集合分数集合正数集合负数集合有理数

17、集合无理数集合19 . (12分)计算：(2);.(1)( -a/6)2-V25+ (-3) 2;20 .已知3/匚2X, 3/3，=2互为相反数，求代数式 上2x的值. y221 . (1)当a<0时，化简：la二a的结果是 a(2)化简(m-1) 二的结果是m -122 .已知x=a学M是M的立方根，y =Vb二6是x的相反数，且M =3a-7 ,请你 求出x的平方根.23 .阅读理解. R<v亏(码,即 2<v'5<3.詹的整数部分为2,小数部分为弱-2, 1村-1<2751的整数部分为1.赛-1的小数部分为讴 2解决问题：已知：a是屈-3的整数部分，b是、J7-3的小数部分,求：(1) a, b的值；(2) ( - a) 3+ (b+4) 2 的平方根.24. (14分)(黔西南州中考)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现在一些含根号的式子可以写