导数综合应用(答案)

1、11.导数的综合应用（含答案）（高二）1.（15北京理科）已知函数 “x=lntx1 -x（I）求曲线y=f（x）在点（0, f （0）处的切线方程；3（n）求证：当 xw（0,1）时，f（x）>2x+t'；、工x x，、一（出）设实数k使得f（x）k x+ 对xw（0,1）恒成立,求k的最大值. -3、'【答案】（I） 2x y = 0, （n）证明见解析，（出）k的最大值为2.【解析】试题分析利用导数的几何意义，求出函数在1=0处的函数值及导数值，再用直签方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在曰0, h成立，可用作差法构造巫颜产（幻=1门上匕-2G + 利用导

2、数研究函数F&）在区间3 1）上的单调性,由于网-> 0, 1 - x 3尸（外在匕1）上为噌函数，则FG） > 7（0） = 0,问题得证；第三步与第二步方法菊必。造画 额研究函数单调性，但需要对参数#作讨论，苜先A e 0,21符合题意，其次当4 > 2时，不满足题 意舍去,得出尢的最大值为1试题解析：（I）r1 xrf(x)=lnrx (”f(x)二2.,，2 , f (0) = 2, f (0) = 0 ,曲线1 - xy = f (x/点(0 , f (0 )处的切线方程为2x - y = 0 ;r r)x3(n)当 xw(0, 1)时，f(x )>2

3、 x+ :即不等式 f(x)4x+)>0,对、33 f 33Vx w （0,1）成立，设F(x)=ln一2>1 一 x33xx十一)=ln(1 + x) ln(1 x) Zx+)，则33F(x)2x42 ,当xu(0, 1 )时，F(x) a 0 ,故F(x)在(0, 1)上为增函数，则1 一 xF(x) > F(0) = 0,因此对 Vx w (0,1),3一xf(x) > 2；x + 一)成立;3(ID)使xw(0 , 1 ),等价于1 xF(x) = In _ k(x1 _ x> 0 , x(0, 1 )；F(x)2- 一 k(11 一 xx2)=kx 42

4、 - k1 - x2当k w 0,2时，F(x)至0 ,函数在(0, 1)上位增函数，F(x) > F(0) = 0,符合题意；当 k A 2时，令 F(x) = 0,x0 = ka W (0,1), kx(0, x0)Xo(Xo,1)F(x)-0+F(x)极小值F(x) < F(0),显然不成立，综上所述可知：k的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式； 3.含参问题讨论.2. (15年安徽理科)设函数f (x) =x2-ax+b.(1)讨论函数f(sinx)在(-土，工)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；2 2(2)记 f0(x

5、) =x2a0x+b0,求函数 f (sinx) - f0(sinx)在(-工,三)上的最大值 D；2 2(【答案】(I)极小值为 b -一 ；( n) D =| a -a0 | + |bb0|；(出)1.)在(2)中，取a0 = b0 = 0,求z = b -a2满足D工1时的最大值。4【解析】近题分析；（I）X殍sinf弋入为/'（sinK） = sin：工一Gsin m + 6 = sin汇（sin 工一5）+匕，-< x< ,一求导得，6也 a-） , = （.2sin x-i?）cost* - - < x< 二因为一二 < x< 二，所以c

6、mx > 0: 2 < 2sin x <按总的范围分三种情充进行讨论I当式"-2»E尺时，曲数了6口工）单调递噌，无极值当& =时，函数了回口月单调通减，无极值当24白式，在（3,）内存在唯一的毛，使得2 sin七二想 K一登记时，依据绝时值不等-三v h式时，函数f区口只单调递够：工v k式二时，函数了（兑口刈单调递增，因此，-2口<二.be R 时，函数/国打方在三处有极小值/&"三）=汽§ =方-土.（ II）当式可知| f （sin x） - /l.（sin工）（文一 ti）日口x +占一&国值一%

7、 | + |匕一尻|,从而能够得出函数.T T|/（sinx）-8口刈在一上二上的最大值为力=|口-多|+|方-也一（IID当DnL即|川+闻41,此时OV/MLTMbML从而二=后宁金依据式子特征取。=0石=1,则IW十田41，并且 二=5一三=1由此可知，=二5-至满足条件D&1的最大值为1.44JtJI试题解析：(I) f (sin x) =sin2 x-asin x+b =sin x(sin x - a)+ b , 一 <x<一.22nnf (sin x)' =(2sin x-a)cos x , 一 <x<一.22因为< x< 所以c

8、osx> 0a 2 < 2sinx <2. Ar当a < -2. 32J?时,函数/(sin x)单调打噌.无极,值.当口 士工占eK时,函数：，(sinX)单调读激，无极值jr ?r当2vm<2,在(一：_、)内存在唯一的天，使得2siti七二a.一三65时，函数外山工)单调述项/6时，函数f(si口灯单调递噜 因此，-2<b<2, 时，瓯数f(sinx)在七处有极小值/(sin/)=/2)=5-幺一 B7F7Tt II > 三£.£07时，：FGinx) %©口.£)|=9： 05由工+6-4日口一生.

9、 十|6 21， ,当(-5)(4-切之0时，取上二三，等号成立，当(W -d?X4 -6) < 0时，取#=-彳，等号成立，由此可知，函数|f(sin力一启5inx)|在-，上的最大值为刀=1"a-b-b- 491(I) D<L 即 a|+5|<b 此时 0£/女一1 父父，Uifiz=&-<1取门=03=1,则| 口 | +臼41,并且1 = 6 土 = 1一 4由此可知，金二方-二满足条件D41的最大值为L 4考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.3. (15 年福建理科)已知函数 f(x) = ln(1+x) ,

10、 g(x)= kx,(k ? R),(I )证明：当 x > 0时，f( x) < x ；(n)证明：当k<1时，存在 >0,使得对任意x?(0, %)，恒有f(x)> g(x)；(出)确定k的所以可能取值，使得存在 t>0,对任意的x? (0, t),恒有|f(x)-g(x)|<x2 .【答案】(I)详见解析；(n)详见解析；(ni)k=1.【解析】试题分析：(I )构造函数F (x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x? (0, ?，只需求值域的右端点并和0比较即可；(n )构造函数G (x )= fx -) g x =)

11、 l n31x - kx x? (0,即1G(x)>0,求导得 G(x)=k1+x-kx +(1 - k)=(-,利用导数研究函数 G(x)的形状和最值，证明当 k<1时，存在xo >0 ,使1+x得 G(x)0 即可；(出)由(I)知，当 k>1 时，对于"x 违(0,+ ), g(x)>x>f(x),故g(x) >f(x),则不等式 |f(x)- g(x) |< x2 变形为 k x- l n (+1x <)2x ,构造函数M( x)= kx-ln(1+x)-x2,x 造0, + ),只需说明 M(x)<0,易发现函数

12、M (x)在k- 2+ (k- 2)2+8(k- 1)x? (0,Y()一(一)递增，而M (0) =0 ,故不存在；当k <1时，由(n )知，4存在Xo > 0 ,使得对任意的任意的x ? (0, Xo )，恒有f( x )> g (x ),此时不等式变形为2ln(1 +x)- k x< x ,构造 N x(= ) +xn -( X 违x), +*,，易发现函款 N(x) 在x? (0,-(k+2)+J(k+2)+8(1-k)递增,而N(0) =0 ,不满足题意；当k=1时，代入证 4明即可.试 题 解 析：解 法 一 ：(1)令 F (x) = f( x) - x

13、 = ln(1 +x) - x, x? (0, ?),则 有F 皎=1- =1-1 XX +当x?(0, ? ), Fx)<0,所以F(x)在(0,+?)上单调递减；故当 x>0 时，F(x) < F(0) = 0，即当 x>0 时，f( x) < x .1- kx + (1 - k)(2)令G(x) = f(x)- g(x) = ln(1+x)- kx,x? (0, ?),则有 G (x)=-k =(-1+x1+x当k £0G依)>0,所以G(x)在0,+?)上单调递增，G(x) >G(0) =0故对任意正实数X0均满足题意.1- k 1当

14、 0<k<1 时，令 G霰)=0,得 x=12k = 1- 1>0.k k取x0=1- 1,对任意x? ( 0Xo )<有g4< > 。所以G x应0,Xo)上单调递 k增，G(x)>G(0) =0，即f(x) >g(x).综上，当k<1时，总存在x0>0,使得对彳E意的x?(0, %)，恒有f(x)> g(x) .(3)当 k>1 时，由(1)知，对于"x 违(0,+ ), g(x) >x>f(x),故 g(x) >f(x),|f(x)- g(x)|= g(x)- f(x) = kx- ln(

15、1+x),令 M( x) = k x- ln(1 + x) - x2, x违0, + ),则有 M&)二 k-,-2x=-2x2+(k-2)x + k-1,1+x1 + x故当 x? (0,k-2 + J(k-2)2+8(k-1)时,M&)>0, 4M( x)在0,k 2 + J(k：)+8(k- 1)上单调递增，故 M(x)> M(0) = 0 , 2即|f(x)- g(x)|>x，所以满足题息的t不存在.当k<1时，由(2)知存在x0 > 0,使得对任意的任意的 x? (0, x0)，恒有f(x) > g(x).此时 |f(x)- g(x

16、) |= f(x)- g(x) = ln(1 +x) - kx ,令 N(x) = ln(1+x) - k x-x2,x违0, + ),_ 2_',、1, c -2x -(k+2)x- k+1则有 N (x) =- k- 2x=,1+x1+x故当 x?(0,-(k+2)+ J(k+2)2+8(1?时,NCx)>0,4M( x)在0(k + 2) + J(k + 2) +8(1-k)上单调递增，故 N(x)>N(0)=0, 4.2-(k + 2)+,(k+2)2+8(1-k)即f(x)-g(x)>x，记 x0与中较小的为 Xi ,4则当x? (0, Xi)时，恒有|f(

17、x) g(x) |>x2,故满足题意的t不存在.当 k=1,由(1)知，当x违(0,+ ), | f(x) - g(x)|= g(x) - f (x) = x - ln(1 +x),21-2x - x令 H(x) = x- ln(1 +x)- x ,x违0, + ),贝U有 H (x) = 1 2x=,1+x1+x当 x>0 时，H (x) <0,所以 H(x)在0,+ Y)上单调递减，故 H(x)< H(0) = 0,故当x>0时，恒有| f( x) - g(x)|<x2,此时，任意实数t满足题意.综上，k=1.解法二：(1) (2)同解法一.(3)当 k

18、 >1 时，由(1)知，对于"x违(0, + ), g(x) > x >f(x),故 |f(x)- g(x) |= g(x) - f (x) = k x- ln(1 + x) > k x- x = (k- 1)x ,人2令(k- 1)x > x ,解得 0 < x < k - 1,从而得到当k>1时，对于x?(0,k 1)恒有|f(x)-g(x)|>x2,所以满足题意的t不存在.当k<1时，取kk四，从而k<k1V1 2由(2)知存在 x0>0,使得任意 x?(0, x0)，恒有 f(x) >k1x >

19、;kx = g(x).一一1- k此时 1f(x)-g(x)1=f(x)-g(x)>(k1-k)x =、x，.1- k 21- k2令x > x ,解得 0 < x <,此时 f(x) - g(x) > x ,221-k . 记x0与中较小的为x1，则当x? (0, x1)时，恒有|f(x) g(x) |>x ,2故满足题意的t不存在.当 k=1,由(1)知，当x违(0,+ ), | f(x)- g(x)|= g(x)- f (x) = x- ln(1 +x),2-1-2x -x令 M(x) =xln(1+x)x2,x0, 户)，则有 M (x)=12x =

20、,1 x1 x当x>0时，M铉)<0,所以M(x)在0,+00)上单调递减，故 M(x)<M(0) =0,故当x>0时，恒有| f( x) - g(x)|<x2,此时，任意实数t满足题意综上，k=1.考点：导数的综合应用.mx。4. (15年新课标2理科)设函数f(x)=emx+x2(1)证明：f(x)在(_吟0)单调递减，在(0,依)单调递增；(2)若对于任意x42可,1,都有| f (xj -f (x2)|<e-1 ,求m的取值范围。解( I )因为/(X)=七七 / 一 JMX ,所以f W -网上口 + 2工-阳M=时、时-2占。在R上愎成立J所以/

21、CO 料+2苒册在及上笔明通增.而F(0)*0 ,所以。时.f(x) > 0 i 所以工 亡0时，/(X)< 0所以外外在(F单调通感，在9,一里调递增一(11)由 L )知 f = 。)= 1, a当审=0时，外工)-1 + 1,此时,00在卜1上的最大值是2所以此时| f()-八七)£ e -1成立公当二。时,/(1) =* 1 -树,(T)=二 + 1 * 桁 *令官(加) /小，/，-2胞 > 所以 tf-1 - 2 3 0 e所以虱崂=/ffl - /(-I) =-小"- 2谕在N上单调递塔而贝0, o,所以惘,。时，g(m)> o, n/a)>所以用 < 0 时.g(m) < 0 ,即 /0) < /(-I) a当切 A 0