电大工程数学(本科)期末复习资料及答案

1、 可被该向量组内其余向量线性表出. A.至少有一个向量 0 0 0 ,00a 1.若 0 2 0 1 0 0 1 1 10 3 3.乘积矩阵 | | 中元素 3 = (10) 2 2 45 2 1_ 4 .设A, B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是 (AB)=BA) 5 .设A, B均为n阶方阵，k 0且k #1,则下列等式正确 的是(D). D. kA =(k)n A 6 .下列结论正确的是(A.若A是正交矩阵则 A也是正交矩 阵). 1 3 5 -3 7 .矩阵b 的伴随矩阵为( C. | ). 8 .方阵A可逆的充分必要条件是( A =0) 9 .设A, B, C均为n阶可逆矩阵

2、，则(ACB)= (D ) D. (B)CA io.设A, B, C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 (A ) . A. (A B)2 = A2 2AB B2 X1 +2x2 4x3 =1 X1 1 .用消元法得 x2 +x3=0的解 x2为(C. 、 x3 = 2 x3 _ -11,2,-2*). x1 +2x2 +3x3 =2 2 .线性方程组d x1 _x3 = 6(有唯一解) -3x2 3x3 =4 j11 一0 一01 一11 31 3 .向量组0 , 1 , 0 1 2 |, 0的秩为(3) -0J .01Jj A 5 5 A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵, 若

3、这个方程组无解，则 D.秩(A)=秩(A) -1 6.若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解， 则该线性 方程组(A ) . A.可能无解 7.以下结论正确的是(D ) . D.齐次线性方程组一定有解 9 .设A, B为 n 阶矩阵，九既是A又是B的特征值， x 既是A 又是 B 的属于 的特征向量，则结论( A )成立. A.上是AB的特征值 10.设A, B, P为 n 阶矩阵，若等式(C )成立，则称A 和B相似.c. PAP二 B 1 . A, B为两个事件，则( B)成 立. B. (A B) - B A 2 .如果(C)成立，则事件 A与B互为对立事件. C. AB=0 且

4、AB=U 3 . 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买 1张，则前3个 购买者中恰有1人中奖的概率为(D. 3父0.72 X 0.3). 4 .对于事件 A, B ,命题(C )是正确的. C.如果A, B对立，则A, B对立 5 .某随机试验的成功率为 p(0 p1),则在3次重复试验中至 少失败 1 次的概率为(D. (1 _ p)3 + p(1 _ p)2 + p2(1_ p) 6.设随机变量X B(n, p),且 E(X) =4.8, D(X) = 0.96,则参数 n 与 p分别是(6, 0.8). 7.设f (x)为连续型随机变量 X的密度函数，则对任意的 a , b (a b

5、) , E (X) = ( A). A. xf (x)dx * -JOO 8 .在下列函数中可以作为分布密度函数的是( B ). . sinx , 0 : x : 一 8. f(x) = 2 0, 其它 9 .设连续型随机变量 X的密度函数为f ( x),分布函数为 F(x),则对任意的区间(a, b),则 P(a X b)= b D. f(x)dx) . a 10 .设X为随机变量， E(X) = R,D(X)=62,当(C ) X 一 时，有 E(Y) = 0, D(Y) = 1 . C. Y = CT 1 .A是3父4矩阵，B是5父2矩阵，当C为(B 2父4) 矩阵时，乘积AC B有意义

6、。 2 .设A,B是n阶方阵，则下列命题正确的是( A AB = A B ) 8.若向量组 % , % ,，(线性相关，则向量组内( A ) 、单项选择题 1 0=1,则 a = 0 a 21) 4.设向量(I, =2, 10 11 3 .设 A A, B B 为n阶矩阵，则下列等式成立的是 (A. |AB |AB = = BA BA ) ). . ；3 57_ , 一 7 -51 、 !4 7- J-4 3J 5 .若A是对称矩阵，则等式(B. A = A )成立. 1x1 -x2 = a1 6 .方程组4 x2 + x3 = a2相容的充分必要条件是 、x1 + x3 = a3 (B .

7、a + a2 a3 = 0 ),其中 ai # 0 , 7 . n元线性方程组AX=b有接的充分必要条件是 （A r（A）=r（A ： b） 8若线性方程组的增广矩阵A1 2 2 21则当九二 I2 141 （D 6 ）时有无穷多解。 2 9 .若（A 秩（A） =n ）成立时，n元线性方 程组AX=0有唯一解 -11 -1 一。 一21 10 .向量组0 , -1 , 2,4的秩是（B 3 ） P_L。J ?J 7 J 11 .向量组 %= （0,0,0） , 4= （1,0,0） ,%= （1,2,0） , %= （1,2,3）的极大线性无关组是 （A %, a3, a4 ） 12 .下列

8、命题中不正确 的是（D . A的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 ）. 13 .若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是 （ A. ）. 14 .设XI,X2，Xn是来自正态总体N（5,1）的样本, 则检验假设H。： N =5采用统计量U = （C.注）. 1八n 15 .若条件（C. AB =。且A + B=U ）成立, 则随机事件A, B互为对立事件. 16 .掷两颗均匀的骰子，事件点数之和是 4的 1 概率 C 一 ） 12 17 .袋中有3个红球2个白球，第一次取出一球 后放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概 、9 9 率是（D 一 ） 25 18 .对来自正态总体XN（N,。

9、2） （N未知） 1 3 一一 的一个样本XI , X2 , X3,记X = Xi ,则下列 3T 1 3 各式中（C. -Z （Xi -N）2 ）不是统计量. 3 id 19.对单个正态总体N（N,。2）的假设检验问题中， T检验法解决的问题是（B未知方差，检验均值） 1 .设X1 , X2，Xn是来自正态总体 N（巴仃2）（也仃2均未 知）的样本，则（X1）是统计量. 2 .设XI , X2 , X3是来自正态总体 N（N,O2）（七仃2 6 .统计量就是不含未知参数的样本函数. 均未知） 的样本，则统计量（D）不是N的无偏估计. -1 1 1 2. 1 _1 X是关于X的一个一次多项式，

10、 则该多项式一次 1 1 -1 项的系数是2 3 .若A为3父4矩阵，B为2父5矩阵，切乘积AC旧有意义, 则C为5X4矩阵. 4 .二阶矩阵A=11 =f 5. 0 1 |（0 1 72 _ 7.设A, B均为3阶矩阵，且 A = 1, B = 3,则 -3（A 旧）2 = -3 . 一1 al、m &若A i 为正交矩阵，则 a= 0 . 1。1J 2 -1 21 9.矢巨阵 1 4 0 2的秩为2 。 0 -3 3_ io设 A1 , :AIA2是两个可逆矩阵，则 N。1 = . JO A2 1 J。一 X1 + X2 = 0 1.当 z = _ 1 时,齐次线性方程组1 有非零 1 儿

11、X1 + X2 = 0 2 .向量组% = lo,0,0,a2 =1,1,1】线性 相关 . 3 .向量组1, 2,3，1,2,0，1, 0,01, 10, 0,01的秩是 S 4 .设齐次线性方程组 0（1x1 +2x2 +n3X3 =0的系数行列 式1a 2 c3 = 0，则这个方程组有 无穷多 解、且系数 列向量支支2 ,支3是线性相关 的 5 .向量组巴=【1,0,a2 = Q,1,a3 = b,0的极大线 D. XI - X2 - X3 5.设 A = 2 0 ,B o o 5,5, I .1 6 6 - - 6.设A, B均为3阶矩阵，且 A = B = 3,则-2AB = 2 -

12、1 性无关组是a1,a2. 6 .向量组口 1 ,口2，口,的秩与矩阵1 2， p的秩 I , , 1 , s , , 1 , s 相同. 7 .设线性方程组 AX = 0中有5个未知量，且秩（A） = 3 ,则 其基础解系中线性无关的解向量有 2 个. 8 .设线性方程组 AX =b有解，X0是它的一个特解，且 AX = 0的基础解系为 X1 , X2 ,则AX = b的通解为 X0 +k1X1 +k2X2 . 9.若，一是 A 的特征值,则K是方程|?J -A =0 的根. 10 .若矩阵A满足 A=A ，则称A为正交矩阵. 1 1 1 .设 | A = 1 1 2 x1 7 +1 7 .

13、参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计.常 用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估计 两种方 法. 2 x2 -2 ,则A = 0的根是1, 4 1.从数字1,2,3,4,5 中任取3个，组成没有重复数字的三位数, 则这个三位数是偶数的概率为 2/5 2 .已知P(A) =0.3, P(B)=05 ,则当事件 A, B互不相容 时，P(A+B)=08, P(AB)= 0.3 . 3 . A, B 为两个事件，且 Bu A,则 P(A + B) = P(A). 4 .已知 P(AB) = P(AB), P(A) = p，则 P(B) =1 P. 5 .若事件A, B相互独立，且 P(A)

14、= p, P(B) = q，则 P( A + B) = p +q - pq . 6 .已知P(A) =03, P(B) =05 ,则当事件A, B相互独立 时，P(A+B) = 0.65 , P(AB)= 0.3 . 7 .设随机变量 XU (0,1),则X的分布函取 工 0 x ,0 F(x)=x 0 x 1 10 0 1 11 12 2 1 11 11 12 2 3 3 一1 （过程略）1 1 0 0 1 上工 0 1-10 1-1-1 0 0 0 1 1 -1 0 p 0 0 0 0 0 0 X1 3x2 - 2x3 -x4 =6=6 3x1 8X2 + x3 + 5x4 二0 -2x1

15、 十X-4x3 =-12 X1 +4x2 -x3 3x4 二2 1.用消元法解线性方程组 解: 一1 A -1 -1 8 2 3r4 T3 1 /4 一1 ,0 -2 -1 6 ar1 -3 1 5 0 工 0 1 -4 1 -12 0 -5 -1 -3 2 |0 1 0 19 23 -48 1 0 1 7 8 -18 义 0 1 0 3 -3 12 00 0 5 6 -13. |0 0 -2 7 -8 -3 19 7 1 5 I I 1 1- -0 00 0 1 11 11 1 1 1 - - - - - - o o 1 1 1 1 1 1 1 1 o o 1 1 1 1 0 0 1 11

16、12 2 1 1 o o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - o o - - _1 6 I 3、比 1 0 19 23 48 8 -18 2 . 1 5r2+3 -r1 +4 、 0 1 7 8 18 1 0 0 0 27 39 -90 4 8 I0 0 -10 -12 26 23 -48 - -19r3 尢 1 0 0 42 -124 8 -18 ,全 -5r3 +4 J 0 1 0 15 - 46 -1 4 0 0 1 -1 4 6 -13 1 L 0 0 0 11 -33 R(A)=3 一 1 0 0 42 -124| 42 _1T 0 1 0 15 -46 _r 3 0 0

17、 1-1 4 0001 -3 2 .设有线性方程组 当九#1 且九 -2 时，R(A)=R(A)=3,方程组有唯一解 当九=1 时，R(A) =R(A) =1 ,方程组有无穷多解 R(A)-二 R(A) 二方程组无解 二P不能由向量叫,久2。3线性表出 4 .计算下列向量组的秩，并且(1)判断该向量组是否线性相关 ，该向量组线性相关 解: 九为何值时，方程组有唯一解 九 1 -1 一1 0 .0 九 1 1 1/X一1 九1 y =九 2 1 1九一三1 1九一 ?或有无穷多解 13 一1 1 1 -1 0 1 - (2 )(1 -) 2 1 2 1 1 1 (1 - ) 2 (1 , )(1

18、 -)2 1 -1 1 - 1 - 2 1 - P = -8 1 -3 7 产1 -21 ，口2 -31 -5 0 -2_ ,3 -51 7 1 3 _ -6 3 1 1 向量 A = P能否由向量组 I 。外, P L %,也,%线性表出， -2 3 -5 -8 - 7 -5 -6 -3 10 3 7 3 -2 1 -10- 当且仅当方程组 - y . . 1X1+C(2X2 一 1 0 3 0 1 -3 0 0 10 ,00 &X3 = 7 一 41 -117 571 _ P有解 3.判断向量P能否由向量组311243线性表出，若能，写出一种表出方式.其中 解: 这里 X1 =2 ,方程组

19、解为Jx2 =-1 x3 =1 X4 - -3 解: 一 1 -1 卜 1,二2,。3,。4 L 2 3 14 3 -7 8 9 13 1 -1 、 = 2 3 ,4 -1 1 -3 9 0 6 - -3 3 -3 6 一31 7 1 2 = 8 , = 9 -1 3 0 -3 31 9 仪4 = 6 3 且 o o O o o O 1 1 o O o O 1 1 O O O O 1 1 o O o O 1 1 o o Oo o O 5 .求齐次线性方程组 的一个基础解系. 解： 一 1 -5 -3 -2 -2 5。 2 r1 r3 J2R T4 -3 -14 1-1 3 -11 5 -5 4

20、 -14 14 1 .12 74 14 5 14 3 14 0 0 _ _1 11 1 2 1 2 3 0 r X1 1 3r3 方程组的一般解为 一14 3 X3 X4 =一 X3 14 3 =0 6 .求下列线性方程组的全部解. x1 -5x2 +2X3 -3x1 +x2 -4x3 一x _9x2 5x1 +3x2 +6x3 解： -3x4 =11 2x4 = -5 -4x4 =17 -X4 一1 -3 1-1 -4 0 2 -4 11 -5 17 312 1 3 01 r4 一5 1 一 2 14 X1 -5X1 一X1 3X1 3 -3 5 14 3 一14 0 0 -5 -14 -1

21、4 28 X3 -4 X4 一一 X2 X3 X4 -3x2 , X3 - 2 X4 - 0 x2 -2x3 3x4 = 0 - 11x2 2x3 -5X4 = 0 5X2 -2 -7 -7 10 1 -2 1 2 1 0 二1 4x4 = 0 3 12 5 14 ,2飞 -12 14 1 2 r311 1 -213 2 -14 0 0 5 14 3 0 0 1 一万 -7 0 3 5 14 3 一 14 0 0 -3 14 得基础解系 5 14 3 14 0 11 28 28 -56 5 一 2 q 14 上3 224 -14 1 2 -7 1 28 0 0 9 7 1 7 0 1 2 1

22、2 0 -2 X1 ，方程组一般解为 X2 7 -x 9， 1 -x 7 1X4 1 2 1 X4 f2 2 =k2 ,这里 k1, 7 1 -k1 k2 1 9 2 1 k1 7 1 一 一 k2 - 2 2 k1 k2 *1 k2为任意常数，得方程组通解 9 1 7 1 -0 k2 一1 2 1 2 0 一 1 -2 7 .试证：任一 4维向量 B 1, a2 ,a3, a41都可由向量组 任一 4维向量可唯一表示为 (a2 -a3)-：2 (a3 -a4 )-：3，a4-：4 线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解. 证明：设AX =B为含n个未知量的

23、线性方程组 该方程组有解，即 R(A)=R(A)=n 从而AX =B 有唯一解当且仅当 R(A) =n 而相应齐次线性方程组 AX =0 只有零解的充分必要条件是 R(A) = n 二AX=B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 AX=0只有零解 9 .设，是可逆矩阵A的特征值，且 九 0,试证：工是矩阵A的特征值. % 证明：:九是可逆矩阵A的特征值 , 存在向量,使 A ：=正 产=(AA);二 A(A )=A,(-)二汕，二： .A1=- 九 即工是矩阵 A的特征值 10 .用配方法将二次型 f =x12 +x；2 +x2 +x2 +2x1x2 -2x2x4 -2x2x3 +2

24、x3x4 化为标准型. 解： f =(x1 x2)2 x2 x2 -2x2x4 -2x?x3 2x3x4 =(x1 x2)2 x2 2x3(-% x4) x2 -2x2x4 二(x1 x2)2 (x3 -x2 x4)2 -xf 二 令 y1 =x1 *x2 , y2 =x3 x2 *x4 , y3 =x2 , x4 = y4 x1 二 y y3 即广=y3 x3 刊2 y3 -y4 x4 = y4 则将二次型化为标准型 f =y12 y2 -y2 1.设A, B,C为三个事件，试用A, B,C的运算分别表示下列事件： A, B,C中至少有一个发生； A, B,C中只有一个发生； A, B,C中

25、至多有一个发生； A, B,C中至少有两个发生； 一11 0 0 - 2 = -11 1 0 里 - 3 - -11 1 1 -4 - -11 1 1 上 线性表示, 且表示方式唯一，写出这种表示方式. 证明：n -11 0 0 0101 1 0 :3 ：2 可 0 1 P1 一。1 0 0 上 a2 a3 =a1 a2 0101 1 0 a4 二a1a2(： 2 - I) - a3(： 3 - - 2) a4(- 4 一： 3) -a4 1 二 (a1 -a2)、*1 8.试证: A, B,C中不多于两个发生； A, B,C中只有C发生. 解：(1) ABC (2) ABC ABC ABC

26、(3) ABC ABC ABC ABC (4) AB AC BC (5) ABC (6) ABC 2 .袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取 2个球，求下列事件的概率: 2球恰好同色； 2球中至少有1红球. 解：设A= 2球恰好同色，B= 2球中至少有1红球 3 .加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%如果第一道工序出次品则此零件为次品； 如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%求加工出来的零件是正品 的概率. 解：设 Ai = 第i道工序出正品 (i=1,2 ) P(A1A2) =P(A1)P(A2 | A1) =(1 0.02)(1 - 0.0

27、3) =0.9506 4 .市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%乙厂产品占30%内厂产品占20%甲、乙、丙厂产品的合 格率分别为90%,85%,80%求买到一个热水瓶是合格品的概率. 解：设A 士产品由甲厂生产A2a产品由乙厂生产A3 =产品由丙厂生产 B金产品合格 P(B) =P(A1)P(B| A。P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B|A3) =0.5 0.9 0.3 0.85 0.2 0.80 =0.865 5 .某射手连续向一目标射击，直到命中为止.已知他每发命中的概率是 p,求所需设计次数X的概率 分布. 解：P(X =1) =P P(X =2) =(1 -P)P P(X

28、=3) =(1 -P)6 7P k 1 P(X =k) =(1 -P) P 故X的概率分布是 1 2 3 . k 2 k UP (1 - p)p (1 - p) p (1 -p) p - 6 .设随机变量X的概率分布为 0 1 2 3 4 5 6 b1 015 0.2 0.3 0.12 01 0.031 试求 P(X 4), P(2 EX 5), P(X 3). 解： P(X -4) =P(X =0) P(X =1) P(X =2) P(X =3)P(X =4) =0.1 0.15 0.2 0.3 0.12=0.87 P(2 -X -5) =P(X =2) P(X =3) P(X =4) P(

29、X =5) =0.2 0.3 0.12 0.1 =0.72 P(X =3) =1 -P(X =3) =1 -0.3 =0.7 7 .设随机变量X具有概率密度 . . 1 _ 1 试求 P(X -), P(- X 2). 2 4 6 一 1 二 1 2 1 1 解：P(X W3)=以 (x)dx =12xdx = x 0 =- P(A)= C2 C； C52 3 1 2 70 =5 P(B)= C3c2 +C； 6+3 9 C52 10 10 f (x) ,0, 其它 d1 1 1 .设对总体X得到一个容量为10的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.

30、0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x和样本方差s2 . _ _ 1 10 1 解： x xi 36 =3.6 10 i4 10 10 s2 = - (xi -x，=- 25.9 =2.878 10 -1 ia 9 2 .设总体X的概率密度函数为 Q1)x1,0 f (x; R = 0, 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 0 . 解：提示教材第214页例3 ? =2x :8 1 - x 最大似然估计: n 8 0 0 P( 2 :二 X ：二 2) = 1 f (x)dx = 15 16 2x , 0 x 1 t 8 .设X f (x)= ，求 E(X), D(X). 0, 其它

31、 y 1 2 3 1 2 解：E(X)= f xf (x)dx = x ,2xdx= x 0 = 0 3 3 2 .8 2 , ,1 2 2 4 1 1 E(X )=x f(x)dx = x 2xdx = x 0 = 2 2 1 2 2 1 D(X) =E(X ) -E(x)=-(-)=一 2 3 18 9 .设 X N(1,0.62),计算 P(0,2 X 0). 解： X -1 P(0.2 二 X 1.8) =P(2.33;1.33 =中(1.33 - ： 1.96 ,所以拒绝HO 5 .某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0,现换了新材料，从产品中随机抽取 8个样 品，测得的长度

32、为(单位：cm): 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(a=O05). 解：由已知条件可求得： x =20.0125 s2 = 0.0671 =t(n -1,0.05) =t(9,0.05) =2.62 v | T | 010-5-3 1 0 0 1 6 4 -1_ I 4 3 1 I A，= -5 -3 1 6 4 1_ 由矩阵乘法得 一1 T 0 00 1 -1 -1 2 _2 2 -1 0 1 1 1 1 0 11 -6 0 10 0 1 -1 10 10T 0 1 3 0 0 1 1 j0

33、 4 0 0 1 -1 0 1 0 T 0 1 0 4 1_ _0 0 1 0 10 0 1110 3-201 1 0 0 -5 -3 1 6 4-1 1 -1 3 -2 -2 2 1 1 -1 1 3 -2 11 -2 2 10 0 2 t 0 0 1 1 0-111 一1 2.设矩阵A = 1 -2 利用初等行变换得 -1 0 2 2 1 , B = 0 2 3_ _0 A% = I 4 -5 1616 -3 -3 4 1 2 0 1 0 5 - 1-0 0 0 -8 -15 0 = -10 -15 5_ J2 20 51 5 5 2 3 3.设 A = 1 2 2 3 4 1 3 ,B=

34、 1 1 J 2 2 1 1 1 1，那么A-B可逆吗？若可逆，求（A-B） 3 0 2x1 -4x2 5x3 3x4 = 5 *3x1 -6x2 +5x3 +2x4 =5 4 x1 一 8x2 + 15x3 +11x4 =15 解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 2 -4 5 3 3-652 工4 T 15 11 -4 5 3 5 -2 0-10 0 5 5 5, /1 -2 0-10 1 t 0 0 555T 0 、0 0 5 5 5 j 10 -2 0-10 0 111 0 0 0 0, 方程组的一般解为：!x1 =2x2 ，其中x2 , M是自由未知量. x

35、3 =1 令x2 =x4 =0,得方程组的一个特解 X。=(0, 0, 1, 0) . 方程组的导出组的一般解为: 2 4 ,其中x2,人是自由未知量. x3 二 一 x 令x2=1,人=0,得导出组的解向量XI=(2, 1 0, 0)； 令x2=0, x4=1,得导出组的解向量 X2=(1, 0, -1, 1). 所以方程组的通解为： X =X0 +k*1 +k2X2 =(0, 0, 1 0) + k1(2, 1 0, 0) + k2(1, 0, 1, 1)r, 其中k1, k2是任意实数. 4.当兀取何值时，线性方程组 XI x2 - 2x3 - x4 - -2 2x1 x2 7x3 3x

36、4 = 6 9x1 7x2 4x3 x4 - 1 有解，在有解的情况下求方程组的全部解. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 11-2-1 2 17 3 ：9 7 4 1 -2 1 1 -2 -1 6 T 0 1 11 5 九十1j -0 -2 22 10 -2 I 10 19 2 3 4 1 1 1 1 解：AB = 1 2 3 - 1 1 1=0 2 3 1_ _2 3 0 _ p 所以AB可逆。 1 2 3 1 0 0 1 2 0 1 0 012 010T 01001 p0100 1j p0100 1 -2 1 故(A B)=0 1 -2 0 0 1 _ 3 .求下列线性方程组的通解. 3

37、1 2 ,；A B = 0 2 3 1 2=1#0, 0 1 与 10 0 1-21 _2 T 0 1 0 0 1 -2 1 J 0 0 1 0 0 1 J 2 15； 1 1 -2 -1 -2 1 0 9 4 8 t 0 1 11 5 10 T 0 1 11 5 -10 0 0 0 0 人1 0 0 0 0 九一1 由此可知当九#1时，方程组无解。当九=1时，方程组有解。 此时齐次方程组化为 x1 = -9x3 -4x4 x2 = 11x3 5x4 分别令x3 = 1, x4 = 0及x3 =0, x4 =1 ,得齐次方程组的一个基础解系 X1 - 1-9 11 1 0 1 , X2 - 1

38、-4 5 0 11 令x3 =0,x4 = 0,得非齐次方程组的一个特解 X0 = 8 -10 0 01 由此得原方程组的全部解为 X =X十kX1 +k2X2 （其中（&2为任意常数） J_x1 -3x2 2x3 =0 12x1 -5x2 +3x3 =0,有非零解，并求其通解。 3x1 -8x2/.x3 =0 1 -3 2 1 -3 2 1 -3 2 解：A= 2 -5 3 t 0 1 -1-)0 1 -1 , 3 4 九1_0 1 九一6_ _0 0 九一5_ =5时，方程组有非零解； 1-3210-1 0 1 _1 T 0 1 1 ,方程组一般解为：=x3(其中x3是自由未知量)， 9

39、0 0 1g 0 0 1 、x2 =X3 其基础解系为X1 =（1,1,1）,通解为X =KX1（其中 为任意常数） 6.设随机变量 X N(3, 4) .求:(1) P(5 X7),(已知6(1)=0.8413 ,6(2) =0.9772 , 6(3) =0.9987). . _ 、一 ，9-3 5-3 解：(1)P(5X9)= ( -) - (-) = (3) -(1) = 0.9987 -0.8413 =0.1574; P(X 7) =1 -P(X -7) =1 -(7s3) =1 - (2) =1 -0.9772 =0.0228 2 7.设随机变量 X N(3,22).求：(1)P(X

40、 5), (2)P( x1 1),(已知小(0.5) =0.6915.中(1)=0.8413 , *(1.5) =0.9332 ,(2) =0.9772). 5-3 解：(1)P(X5)= (-2-) = (1) = 0.8413; & 2-3 工 0-3 P(X -1 1) = P(-1 X -1 1)=P(0 X 2)=4( - ) -*( - ) 2 2 0 -0.5) - (-1.5) =1 - (0.5) .1- 1 - (1.5) - (1.5) - (0.5) = 0.9332 -0.6915 =0.2417 8 .设随机变量 X N (3, 4).求：(1) P (1 X 7)

41、 ; (2)使 P (X a) =0.9 成立的常数 a .(已 知 领1.0) =0.8413,(1.28) =0.9, 6(2.0)=0.9773). 51为何值时，齐次线性方程组 解：(1) P(1 X 7)=p(13qL3)=p(_iAjl3M2) 2 2 2 2 = (2)(1) = 0.9773 + 0.8413 - 1 = 0.8186 (2)因为 P (X a) =PGX3a3) = (a3)= 0.9 2 2 2 a -3 所以 a 3=1.28, a = 3 + 2M1.28 = 5.56 2 9.设 X N(3,4),试求：(1) P(X 1) ; (2) P(5X 7)

42、. (已知 (1) =0.8413,0(2) =0.9772,9(3) =0.9987 ) X _3 1 _ 3 解： P(X ：二1) =P(-：-) X -3 =P( : -1) = ：,(-1) 2 二1 一。(1) =1 _08413 =01587 (2) P(5 :二 X :二 7) = P(胃:二 1 :二一)=P(1 :二 2) 2 2 2 2 二中(2) - 1) =0.9772 -08413 = 01359 10 .从正态总体N( 4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x= 2.5,求N的置信度为99% 的置信区间.(已知u0.995 =2.576) X 解：已知仃=2

43、, n = 625 ,且u= N(0,1) 二 n 一， a a _ 因为 x = 2.5, a =0.01, 1 =0.995, u =2.576 1 士 2 2 二 2 c u . 一 二2.576 - : 0.206 1 % n 625 所以置彳S度为99%勺口的置信区间为： X -u - , X u =2.294,2.706. 1 瓦.n 1 i n 11 .某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出 9个，测得直径 平均值为15.1mm若已知这批滚珠直径的方差为 0.062,试找出滚珠直径均值的置信度为 0.95的置信 区间仙.975 =196) . 解：由于已

44、知仃2,故选取样本函数 x - U =- N(0,1) 二 n 已知x =15.1 ,经计算得 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为x-u0975 % , x+u0975 g,又由已知条件u0975 = 1.96,故 - 9 . 9 此置信区间为15.0608, 15.1392 12 .据资料分析，某厂生产的一批砖，具抗断强度 XU N(32.5,1.21),今从这批砖中随机抽取9块, 测得抗断强二 _ 0.06 .9 3 -0.02 度(单位：kq/cm2)的平均值为31.12，问这批转的抗断强度是否合格(u=0.05/975 = 1.96) ? g 解：零假设H0 : J - 32.

45、5，由于:二2 =1.21已知，故选取样本函数 x- U= / L N(0,1); 二/ jn 由样本观测值计算统计量值 故拒绝零假设，即认为这批砖的抗断强度不合格。 13 .某一批零件重量X|_| N (巴0.04),随机抽取4个测量重量(单位：千克)为 14.7, 15.1, 14.8, 15.2 ,可否认为这批零件的平均重量为 15千克(a =0.05,uo.975 =1.96) ? 解：零假设H0 :二二15，由于-2 =0.04已知，故选取样本函数 x-. U=-y-nL N(0,1); 1 由样本观测值计算统计量值:x= 4(14.7 15.1 14.8 15.2) =14.95 故接受零假设，即认为这批零件的平均重量为 15千克。 14 .某钢厂生产了一批管材， 每根标