曲线的凹凸性

1、课时教案授课章节第四章曲线的凹凸性及题目授课时间第15周周二第1、2节课次1学时2( 分掌握、熟悉、了解三个层次)教学目标曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。与要求教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法教学重点与难点教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。教学用具无教学过程环节、时间授课内容教学方法课程导入中值定理提问（ 10 分钟）一、曲线的凹凸与拐点1. 凹凸性的概念yf ( x1 ) f ( x2 )新课讲解2f x1x2（ 70 分钟）2f( x1)f(x2 )Ox1x1 x2x 2讲解x2新课讲解（ 70 分钟）钟）yf (x1 )f ( x2 )

2、2fx1 x22f(x1)f(x2)Ox1x1 x2x 2x2定义设 f (x)在区间 I 上连续如果对 I 上任意两点 x1 , x2恒有f ( x1 x2 )f (x1) f (x2)22那么称 f (x)在 I上的图形是 (向上 )凹的 ( 或凹弧 )如果恒有f ( x1 x2 )f ( x1)f ( x2)22那么称 f (x)在 I上的图形是 (向上 )凸的 ( 或凸弧 )定义设函数 yf(x)在区间 I 上连续如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的2.曲线凹凸性的判定定理 设

3、 f (x)在 a,b上连续在 (a b)内具有一阶和二阶导数那么讲解则 f (x)在 a,b上的图形是凹的(1)若在 (a, b)内 f (x)0启发(2)若在 (a, b)内 f (x)0则 f (x)在 a,b上的图形是凸的证明 只证 (1)(2) 的证明类似 )设 x1 , x2 a,b , ( x1 x2 )记 x0x1 x22由拉格朗日中值公式得f (x1) f (x0) f ( 1)( x1 x0) f ( 1) x1 x2x1x210f (x2 ) f (x0 ) f ( 2 )( x2 x0) f ( 2 ) x2 x1x2x220两式相加并应用拉格朗日中值公式得单调性、极值

4、、最值f (x ) f (x) 2 f (x ) f (2) f ( ) x2 x112012f ( )(2) x2 x101212即 f (x1)2f (x2)f ( x12x2 )所以 f(x)在 a,b上的图形是凹的拐点连续曲线 yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线 yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数 yf (x)的定义域(2)求出在二阶导数f (x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况（ 1）、（ 3）步有时省略例 1 判断曲线 yln x 的凹凸性解y1y1xx2因为在函数 yln x

5、 的定义域 (0,) 内y 0所以曲线 yln x是凸的例 2判断曲线 yx3 的凹凸性解 因为 y3x 2y 6x 令 y0 得 x 0当 x0时y0所以曲线在 (,0内为凸的当 x0时 y0所以曲线在 0,) 内为凹的例 3求曲线 yx3x2x的拐点231214解y6x26x12y12x66(2x1)，令 y0得 x12因为当 x1 时 y0当 x1时y0 所以点(120 1 )是曲2222线的拐点单调性、极值、最值例 4求曲线 y3x44x31的拐点及凹、凸的区间解(1)函数 y 3x4 4x31的定义域为 (,)(2)y12x312x2y36x224x36x(x2)3(3)解方程 y0

6、 得 x10 x223(4)列表判断(0)0(02/3)2/3(2/3)f (x)00f (x)111/27在区间 (,0 和2,) 上曲线是凹的在区间0,2 上曲线是凸的点33(0,1) 和 ( 2 , 11 ) 是曲线的拐点3 27例 5问曲线 yx4 是否有拐点？解y4x3 y 12x2当 x0 时y0 在区间( ,) 内曲线是凹的因此曲线无拐点例 6 求曲线 y3x 的拐点解(1)函数的定义域为(,)(2) y1y23 x23 x 239x(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x0(4)判断 当 x0时 y0当 x0 时y0因此点 (0,0) 是曲线的拐点环节、时间授课内容教学方法单调性、极值、最值课堂小结：曲线的弯曲方向曲线的凹凸性; 凹凸性的判定.改变弯曲方向的点拐点; 拐点的求法1,