文科立体几何知识点方法总结高三复习

1、立体几何知识点整理（文科）3.面面平行:.直线和平面的三种位置关系:l方法一：用线线平行实现。1.线面平行l/l'm/m'l,m符号表木:2.线面相交l',m'且相交且相交/方法二：用线面平行实现。三.垂直关系:1.线面垂直:符号表木:3.线在面内方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。2.面面垂直:符号表木:方法一：用线面垂直实现。二.平行关系:方法二：计算所成二面角为直角。1.线线平行:方法一：用线面平行实现。方:用线方法二：用面面平行实现。3.线线垂直:方法一：用线面垂直实现。现。若l,m方法四：用向量方法:面垂直实若向量l和向量m共线且l、m不重

2、合，则l/m。2.线面平行:方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，nl且l，则方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向量方法:若向量l和向量三.夹角问题。（2）求法:l/m的数量积为0,则l（一）异面直线所成的角:(1)范围:(0,90方法一：定义法。步骤1:平移，使它们相交,步骤2:解三角形求出角。余弦定理:找到夹角。（常用到余弦定理）（计算结果可能是其补角b方法二：向量法。转化为向量的夹角步骤1:如图，若平面POA同时垂直于平面和（计算结果可能是其补角）：（二）线面角（1）定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结A

3、O,则AO为斜线PA在面内的射影，PAO（图中）为直线l与面所成的角。（2）范围：0,90当0时，l或l/当90时，l（3）求法：方法一：定义法。步骤1:作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。（三）二面角及其平面角（1）定义：在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹角为面角一l一的平面角。（2）范围：0,180（3）求法：方法一：定义法。步骤1:作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。步骤2:解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。高考题典例则交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。步骤2:解三角形，求出二面角。方法三：坐标法（计算结果可

4、能与二面角互补）。步骤一：计算cos步骤二：判断与者互补。四.距离问题。1 .点面距。方法一：几何法。步骤1:过点P作PO于O,线段PO即为所求。步骤2:计算线段PO的长度。（直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法）2 .线面距、面面距均可转化为点面距。3 .异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，n且m/,则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，m/m',则异面直线m和n之间的距离为:所有棱长都为2,DAADB的大小；考点1点到平面的距离例1如图，正

5、三棱柱ABCABC的为CCi中点.（I）求证：AB1，平面ABD；（n）求二面角（出）求点C到平面A1BD的距离.一考点2异面直线的距离B例2已知三棱锥SABC,底面是边长为4J2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.考点3直线到平面的距离例3.如图，在棱长为2的正方体ACi中，G是AAi的中点，求平面GBiDi的距离考点4异面直线所成的角例4如图，在RtAOB中,0AB斜边AB4.RtAAOC6过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面AB的中点.(I)求证：平面COD平面AOB；(II)求异面直线AO与CD所成角的大

6、小.BD到C可以通AC角.D是考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知/ABC451,BC22,SA(I)证明SABC；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考点6二面角例6.如图，已知直二面角PQ,APQ,B,C,CACB,BAP45、平面所成的角为30：.(I)证明BC±PQ(II)求二面角BACP的大小.考点7利用空间向量求空间距离和角例7.如图，已知ABCDAB1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E,B,F,D1四点共面;2若点G在BC上，BG-,3点M在B

7、Bi上，GM±BF,证:EM±平面BCC向;(3)用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小,tan一常用结论1.证明直线与直线的平行的思考途径:平行；(3)转化为线面平行；】:(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.面平行.3 .证明平面与平面平行的思考途径：垂直.4 .证明直线与直线的垂直的思考途径:7 .夹角公式：设a=(a1，a2,a3),b=(bi,b2,b3),则cosa,b=Wba2b2a3t38 .异面直线所成角:（其中（0Lcos|cos90：）为异面直线a,b所成角,2

8、2222y14X2y2Z2分别表示异面直线a,b的方向向量）IX1X2yiY2Z1Z2I9 .直线AB与平面所成角:arcsinA10、空间四点A、BCP共面11 .二面角l的平面角|AB|OPxOajm为平面的法向量).yOBzOC,且x+y+z=1arccos或|m|n|arccos-|m|n|的法向量）.12 .三余弦定理：设AC是a内的任一条直线，且BOLAC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为1,AB与AC所2.证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面（1

9、）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5 .证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直6 .证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.成的角为2,AO与AC所成的角为.贝Ucoscos1cos13.空间两点间的距离公式方A(X1,认),B(X2,y2,Z2),则dA,B=|AB|%ABA1

10、4.异面直线间的距离:d222x)0yJ(Z24).（i1/2是两异面直线，其公垂向量为n,c、d分别是11,12上任一点,d为l1,l2间的距离）.15 .点B到平面的距离:16 .三个向量和的平方公式:1ABn|(I为平面的法向量,|n|2屯屯(abc)abAB是经过面的一条斜线，A）17.2，cIa2JrcJra17c2长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为22222222l11l2l3cos1cos2cos31sin111、.2sin212、 l3,.2sin夹角分别为1、2、3,则有18.19.,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的球与正四面体的组合体：

11、棱长为a的正四面体的内切球的半径体积法）（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）S面积射影定理S.（平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平面所成锐二面角的）.cos球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）为:fa,外接球的半径为a.20.?求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、二温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义?异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次

12、Of-也小0I）£直线的倾斜角、?i到%的角、"与乙的夹角的取值范围依次是反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是三解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：段各。川-英）线面平行的判定:a/b,b面,aa/面线面平行的性质：三垂线定理（及逆定理）：线面垂直：面面垂直：2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角0,0°<0<90°（2）直线与平面所成的角0,0°<0<90°（三垂线定理法：AC”作或证AB，3于B,作BO，棱于O,连AO,则AO，棱l,/AOB为所求。）三类角的求法：找出或作出有关

13、的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）高中数学立体几何空间距离1 .两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2 .点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3 .直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4 .两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行

14、平面间的公垂线段的员叫做这两个平行平面的距离题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是AB、CD的中点.求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；【规范解答】证明：连结AF,BF,由已知可得AF=BF.又因为AE=BE,所以FELAB交AB于E.同理EFLDC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在RtBEF中，BF=a,BE=1a,22所以EF2=BF2-BE2=-a2,即EF=_a.22例1题图2由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为a2【例2】如图，正四面体A

15、BCD的棱长为1,求异面直线AB、CD之间的距离.设AB中点为E,连CE、ED.AC=BC,AE=EB.CD±AB.同理DE±AB.AB，平面CED.设CD的中点为F,连EF,贝UABLEF.同理可证CD±EF./.EF是异面直线AB、CD的距离.例2题图CE=,CF=FD=1,/EFC=90°22,EF=Jg212立222.AB、CD的距离是2【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法:(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度(2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离(3)如果两条

16、异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离题型二：两条异面直线间的距离【例3】如图(1)，正四面体ABCD的棱长为1,求：A到平面BCD的距离;过A作AOL平面BCD于O,连BO并延长与CD相交于E,连AE.AB=AC=AD,.1.OB=OC=OD.OBCD的外心.又BD=BC=CD,例3题图22.O是BCD的中心，BO=-BE=-33又AB=1,且/AOB=90°,.AO=VAB2BO223_23、,61BCD的距离是.3【例4】在梯形ABCD中,AD/BC,/ABC=,AB=aAD=3a且sin/ADC=±5,又PAL平面ABCD,PA=a,求：(

17、1)二面角PCDA的大小；(2)点A到平面PBC的距离.【规范解答】(1)作AFLDC于F,连结PF,AP，平面ABCD,AF±DC,.,.PF±DC, /PFA就是二面角P-CD-A的平面角53a在4ADF中，/AFD=90，/ADF=arcsin',AD=3a,.AF=7,在RtPAF中tan/PFA=fA5,/.ZPFA=arctan走.AF3a33(2)PA，平面ABCD,，PABCXBC，AB, .BC,平面PAB,作AHPB,则BCXAH,.-.AH±WPBC,/PAXAB,PA=AB=a,PB=短a,，AH=i2a2【例5】如图，所示的多面体

18、是由底面为ABCD的长方体被截面AECiF所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=1.(I)求BF的长；(n)求点C到平面AECiF的距离.解法1:(I)过E作EH/BC交CCi于H,贝(JCH=BE=1,EH/AD,且EH=AD. .AF/ECi,./FAD=ZCiEH.RtAADFRtAEHC1.DF=CiH=2.BF.BD2DF226.(n)延长Cie与CB交于G,连AG,则平面AECiF与平面ABCD相交于AG.过C作CM±AG,垂足为M,连CiM,由三垂线定理可知AG±CiM.由于AG，面CiMC,且AG面AECiF,所以平面AECiF,面CiM

19、C.在RtAC1CM中，作CQXMCi,垂足为Q,则CQ的长即为C到面AECiF的距离.解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),Ci(0,4,3).设F(0,0,.AECiF为平行四边形，z).(II)设n1为面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面又CCi(0,0,3)，设CCi与n的夹角为a,则cos可设4,C到平面AECiF的距离为d|CCi|cos【例6】正三棱柱ABCAB1C1的底面边长为|CC；|n1|4、334.3333118,对角线BC10x,y,33n1D>AC的中点。B1D.BD2B1B22沟.A(1)求点