交点曲线系解题例谈

1、交点曲线系解题例谈浙江省永康一中(321300)颜书平面解析几何(必修)P110习题7的题目是：如果两条曲线的方程是f1(x,y)=0和f2(x,y)=0,它们的交点是P(xo,y°)；证明方程fi(x,y)=0，2(x,y)=0(1)的曲线也是经过点P(九是任意实数).由于题中兀是任意实数，故随着九的取值变化，方程(1)也随之变化,但方程所表示的曲线都是过两曲线f(x,y)=0和f2(x,y)=0的交点P(x0,y°).这就构成了由无数多条曲线组成的曲线系(不包括曲线f2(x,y)=0)，称为交战曲线系.特别地，当f(x,y)=0和f2(x,y)=0表示两条直线日，方程(

2、1)成为：a1xnyc1，(a2xb2yc2)=0(2)表示经过两直线l：ax+biy=0和12:a?x+b?y+C2=0的交点P(x°,y°)的交点直线系(不包括版).凡是求经过两条曲线(包括直线)的交点的有关曲线问题，均可应用交点曲线系解题.下面试举几例说明.例1求经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程(解几课本P43习题三、4(3)解：应用交点直线系方程(2),可设所求的直线方程为:2x-3y10=0+'(3x4y-2)=0(3)因为所求直线与已知直线3x_2y+4=0垂直，故有：(23)3(4，一

3、3)(一2)=0得&=-12，代入方程(3)，整理得所求的直线方程为：2x3y-2=0.例2判断方程x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k是参数)表示何种曲线.解:将原方程按k整理得：22x2y210y20k(2x4y10)=0则由曲线系方程可知，原方程表示过两曲线：x2+y2十10y+20=0(圆)和2x+4y十10=0(直线)的交点(可求得为M(1,3)的曲线系.又把原方程左边配方得：(xk2y(么5)Fk5(21)方程表示圆心为(A,-(2k+5)，半径为r=V5，|k+1|的圆.所以，原方程表示过圆x2十y2十10y十20=0与直线2x十4y十10=0的交点

4、M(1,-3)，且圆心在直线y=2x-5上移动的一介圆系.例3求圆心在直线x-y-4=0上，且过两圆x2+y2-4x-3=0和x2+y24y-3=0的交点的圆方程.解:应用交点曲线系方程(1),可设所求的圆方程为：22一22-_-xy_4x-3，(xy_4y-3)=0整理得：(1)x2(1，)y2-4x-4，y-3(1，)=0(4)圆心坐标为(W-,兰-),代入直线方程xy4=0得舄=_1，回代方程(4),、1.,1.，八3并整理得所求的圆的方程为：22xy-6x2y_3=0.评注:当方程(1)表示过两相交圆的交点的曲线系时，表示为：2222xyDiXEyFi(xyD?xE?yF2)=0上面的

5、方程中，若丸尹-1,则表示过两已知圆的交点的圆系；若兀=_1，则方程表示两已知圆的公共弦的方程.用此法来求两已知圆的公共弦很方便.如:求两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2-x=0的公共弦所在的直线方程，只要-,即得所求的公共弦所在的直线方程为:5x-4y=0.例4已知四边形ABCD的四条边所在的直线方程为：Iab:x_y+6=0,Iad:x+y-2=0,Ibc:x_3y+2=0,扁：2x-y+3=0,求此四边形的两对角线所在的直线方程.分析:本题可先求出四个交点，再由两点式求出对角线方程，但可应用交点直线系方程求解如下.解:因为对角线AC过两直线AB、AD的交点，故可设其方程为：x+y

6、2+扁(x_y+6)=0即(1)x(1-)y6,2=0同时，对角线AC又过直线BC与直线CD的交点，故还可设为：2xy+3+-2(x3y+2)=0即(22)x(132)y322=0根据两直线重合的条件有1 1_1-1_-2612一13,2一322解得2=（或=,两者求其一即可）代入方程并整理得对角1211线AC所在的直线方程为：lAC:19x3y26=0同理可求得对角线BD所在的直线方程为lBD:13x-23y58=0.例5求过圆x2+y2+2x-4y-5=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积为最小的圆的方程.解:由题意可设所求的圆方程为：22xy2x_4y5-，M2xy4）=0即x2y2（22,）x（，4）y-5（4，-5）=0其半径r=1,5（，-8）2136255欲使圆面积为最小，当且仅当半径r为最小.由上式可知，当且仅