辅助角公式的推导

1、辅助角公式asin bcos a2 b2 sin()的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式asi n bcos = a2 b2 s in( )或 a sin bcosa2 b2 cos( ),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用 .但事与愿违,半个 学期不到，大局部学生都忘了，教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习，再次忘 记,教师还得重推！本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导，表达一种解决 问题的过程与方法，减轻学生的记忆负担；同时说明

2、“辅助角的范围和常见的取 角方法,帮助学生澄清一些认识；另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化 解题过程与方法；最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用，让学生把握辅助 角与原生角的范围关系，以更好地掌握和使用公式一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例 1 求证：3 sin +cos =2sin+=2cos- 一.63其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑，使等式得到证明，并得出 结论：可见，3si n +cos 可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin +bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢 ？解:asin+bcos72亠ab、(. a2 b

3、2v a2 b2ab令=cos-sin , a2 b2，a2 b2例2化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式贝U asin+bcosb2 (sincos +cos sin )= a2 b2 sin(+),(其中 tana令=sinb2=cos ,那么、ab2asin+bcos =、，a2 b2 (sinsin+cos cos)=i a2b2 cos(-),(其中 tan =a)b其中的大小可以由sin 、cos的符号确定的象限，再由tan=a和(a,b)所在的象限来确定.推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令ab=cos ,=sin ?让学生费

4、解.二是这种“规定式的推xa2b2,a2b2导,学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式a sin bcos =、a2b2 sin()来得更自然能2022级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推 导方法.首先要说明，假设a=0或b=0时，asin 角函数的形式工0.1.在平面直角坐标系中，以a为横坐 标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示， 那么总有一个角，它的终边经过点P.设OP=r,r=笃a2b2 ,由三角函数的定义知b cos已经是一个角的一个三o I n=b_bsinrJ a2 b2=aacosr，a2 b2 .所以asin+bcos = t a2b2 cos si

5、ny/rO图1x的终边b2 sincos=、,a2b2 sin(b).(其中 tan =)aasIn+bcos=、,a2b2sin sinb2 coscos a2 b2cos().(其中 tan =)b例 3 化' 3sin cos为一个角的一个三角函数的形式解：在坐标系中描点p( 3 ,i),设角 的终边过点p,那么OP=r= i 、31=-,cos22.假设在平面直角坐标系中，以b 为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a), 如图2所示,那么总有一个角的终边经过点 P(b,a),设 OP=r,那么 r= i a2b2 .由三角函数的定义知a aSI n =,rVa2b2b bco

6、s = 3sincos=2cos sin+2s incos=2s in().ta ncos =2si n( 2k ,、3sin6经过屡次的运用，同学们可以在教师的指导下asin +bcos= a2 b2a.a2 b26,总结出辅助角公式+ b+/a2 b2sincos)=,a2b2 sin(),(其中tanb).或者aasin +bcos=a2 b2a asin+ bJ a2 b2cos)=、a2 b2 cos(),(其中tanr4ab2我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解+ 一 cos )的道理,以 a2b2asin +bcos 凑成b2 ( a = sin4ab2及为什

7、么只有两种形式的结果解法一：点(i,-,3sin,cos2-.满足条件的最小正角为2例4化sin 、3cos 为一个角的一个三角函数的形式.2k ,ksin2si n()2sin(2(-sin253cos22k )解法二:点P(-在第二象限，0P=2,设角)2(sin2si n(sincos).1,cos2cos sin )5足条件的最小正角为一62k ,ksin2(-sin2.3 cos22(s insincoscos )sco2Sco22k5- 6Sco2由asin bcos a2 b2 sin()中，点P(a,b)的位置可知，终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第

8、三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1,那么 1 2k .由诱导公式(一)知asin bcos、a2b2 sin() a2b2 sin( -) 其中-(0,2 ), tan -,的具体位置由sin 1与cos 1决定，的大 a小由tan 1决定.a类似地，asincos a2 2 cos( ), 的终边过点pb,a，设满足条件的最小正角为 2，那么 2 2k .由诱导公式有a sin cos a22 cos( ) a22 cos( 2)，其a中2 (0,2 )，tan 2 -， 2的位置由sin 2和cos 2确定，2的大小由tan 2 a确定.注意：一般地，12 :以后没有特别说明时，

9、角1或2是所求的辅助角.四.关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式. 在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为a sincos a22 sin(i)的形式或a sin cos.a22 cos(2)的形式.可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理.例5 化以下三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.1 3 sin cos ；2sin()63¥ cos(_3).6373 si ncos2( sin1 cos)解：1222(s incoscos sin )6 62s in(7)们可以取卩a ,就更加方便.sin(

10、)636cos()3Hsi n(:)cos(-)3 2323s in ()coscos()si n 33333c sin()33小题中，a J3，b1，我们并没有取点pV3，灵,1也就是说，当a、b中至少有一个是负值时.我b，或者p t儿W3.这样确定的角或 2:是锐角，1,而取的是点p在本例第1例6向量a (cos(x ),1), b31(cos(x -), 2),c (sin(x ),0),求函数 h(x) =a3b b c 2的最大值及相应的 x的值.解:h(x) cos2(x -)sin(x严(x -) 21 cos(2x 2 )3-sin(2x -)231 cos(2x2.2 J2 cos(2x2 2& - cos(2x2lsin(2x22)J) -2sin(2x 22) 2h(x)max 2口 )12血这时2x11122k , x k1124.k Z.此处，假设转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错，请读者一试.与辅助角有关的应用题在实际中也比拟常见,而且涉及辅角的范围，在相应pq=oq-opossinl2 MQ2PQ2=sin2(cos sin )2图3范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例7如图3,记扇OAB的中心角为45 ,半径为1,矩形PQMh内接于这个扇形,求矩形的对角线I的最小