4.3单位圆与诱导公式

1、 单位圆与诱导公式 在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即sin(2k+)sin (kZ ) 对于任意角的三角函数求值，如何转化为锐对于任意角的三角函数求值，如何转化为锐角三角函数求值，本课就来讨论这一问题角三角函数求值，本课就来讨论这一问题探究点探究点1 1 角角与角与角-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，的终边与的终边与的的终边有什么关系？终边有什么关系？ y y的终边的终边xO-

2、-的终边的终边关键看两关键看两角的对称角的对称关系关系关于关于X轴对称轴对称思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点 P（x，y），）， 则则-的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？y的终边的终边xO-的终边的终边 P( (x,y) ) P( (x,-y) ) 公式：公式： sin()sincos()cos 思考思考3 3：根据三角函数定义根据三角函数定义，的正弦函数、余弦的正弦函数、余弦函数与函数与的正弦函数、余弦函数有什么关系？的正弦函数、余弦函数有什么关系？y的终边的终边xO-的终边的终边 P( (x,y) ) P( (x,-y) )的终边的

3、终边xy yO的终边的终边探究点探究点2 2 角角与角与角的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系思考思考1 1：对于任意给定的一个角对于任意给定的一个角，角，角的终边与角的终边与角的终边有什么关系？的终边有什么关系？关于原点对称关于原点对称思考思考2 2：设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P（x，y），则），则角角的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边与单位圆的交点坐标如何？的终边的终边xyO的终边的终边P(x，y)Q(-x，-y)思考思考3 3：根据三角函数定义，根据三角函数定义，sinsin（ ） ，coscos（ ）的值分别是什么？）的值分别是什么？的终边的终边xy

4、 yO 的终边的终边P(x，y)Q(-x，-y)sin()=-ycos()=-xsin()sincos()cos sin()sincos()cos 探究点探究点3 3 角角与与-的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系 sinsin coscos 提示：提示：- -， ，的三角函数值，等的三角函数值，等于于的同名函数值，再放上原函数的象限符号的同名函数值，再放上原函数的象限符号. . 简化成简化成“函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀的口诀 以上公式都叫作以上公式都叫作诱导公式诱导公式，它们分别反映了，它们分别反映了， ，的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的

5、三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？ 诱导公式作用：转化为诱导公式作用：转化为 090的角的角例例1 1求下列各角的三角函数值：求下列各角的三角函数值：7(1)sin().42(2)cos.331(3)cos().67(1)sin()47sin4sin(2)4( sin)4 2sin.422(2)cos3cos()31cos.32 解：解：3131(3)cos()coscos(4)6663cos()cos.662 探究点探究点4 4 角角与与 的正弦函数、余弦函数关系的正弦函数、余弦函数关系如图，利用单位圆作出任意锐角如图，利

6、用单位圆作出任意锐角与单位圆相交与单位圆相交于点于点 角角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点PP，由平面几何知识可知由平面几何知识可知, ,2 2RtOPMRtP OM ,Pb,a .不难证明 坐标为sin()cos2cos()sin2 (),P ab，思考：思考：如何得到如何得到 的正余弦函数值的正余弦函数值sin()2cos()2 sin()2 cos()2 sincoscos()sin() sin()cos2cos()sin2 以上两组诱导公式口诀以上两组诱导公式口诀:“:“函数名改变函数名改变, ,符号看象限符号看象限.”.”提示提示: :2对于任意角对于任意角，下列关系式成立

7、：，下列关系式成立：sin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin()sin,cos()cossin()cos,cos()sin22sin()cos,cos()s22kk in （1.81.8）（1.91.9）（1.101.10）（1.111.11）（1.121.12）（1.131.13）（1.141.14）例例2 2 求下列函数值：求下列函数值：5(1)sin().2455(2)sin().6.555555557 7(2)sin(-)= -sin= -sin(8(2)sin(-)= -si

8、n= -sin(8+)+)6666667 71 1= -sin= -sin(= -sin= -sin(+)=sin=+)=sin=66626662.5 5 2 2(1)sin(+)=sin(+)= cos(1)sin(+)=sin(+)= cos = =242442242442解解： 1111(1)cos=(1)cos=3 3cos(4cos(4-)-)3 3= cos= cos3 3.1 1= =2 21010(2)sin(-)=(2)sin(-)=3 31010-sin-sin3 3= -sin(3= -sin(3+)+)3 3= -(-sin)= -(-sin)3 3.3 3= =2 2

9、1.1.求下列三角函数值：求下列三角函数值：解：解：sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210=-sin60=-sin60+cos(180+cos(180-60-60)+sin(360)+sin(360+30+30) )+cos(180+cos(180+30+30) )=-sin60=-sin60-cos60-cos60+sin30+sin30-cos30-cos30= =31133.2222 2.2.求求sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210. .1.1.理解正