22春“数学与应用数学”专业《常微分方程》在线作业答案参考5VIP

1、22春“数学与应用数学”专业常微分方程在线作业答案参考1. 设曲线y=e-x(x0)， (1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋设曲线y=e-x(x0)，(1)把曲线y=e-x，x轴，y轴和直线x=(0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V()；求满足的a(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积这是微分学与积分学的综合题，按步骤逐个求解便可 (1)如下图所示， 易知 ，故从 解出 (2)如下图所示，设A为曲线y=e-x上的切点，则因y(a)=-e-a，可以求出切线方程为

2、 y-e-a=-e-a(x-a) 令x=0，得切线与y轴交点为(0，(1+a)e-a)；令y=0，得切线与x轴交点为(1+a，0)，从而切线与坐标轴所围图形面积为 令，得驻点a=1(a=-1舍去)分析S(a)的符号可知，S(a)在0a1时单调增，在a1时单调减，故是所求的最大面积 2. 有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质有两台用来充装净容量为16.0(盎司)的塑料瓶的机器充装过程假定为正态的，其标准差为1=0.015和2=0.018质量管理部门怀疑那两台机器是否充装同样的16.0盎司净容量从机器的产品中各取一个随

3、机样本机器1：16.0316.0416.0516.0516.0216.0115.9615.9816.0215.99机器2：16.02 15.9715.9616.0115.99 16.03 16.04 16.02 16.0116.00在显著水平=0.05下，质量管理部门的怀疑是正确的吗?3. 对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( ) A离散型分布对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为()A离散型分布B连续型分布C只能为正态分布D任何类型分布D4. 设f(x)=10x2，试按定义求f&39;(-1)设f(x

4、)=10x2，试按定义求f(-1)f(-1)=-205. 设原问题为 min f=5x1-6x2+7x3+4x4， stx1+2x2-x3-x4=-7， 6x1-3x2+x3-7x414， -28x1-17x2+4x3+2x4-3,设原问题为minf=5x1-6x2+7x3+4x4，stx1+2x2-x3-x4=-7，6x1-3x2+x3-7x414，-28x1-17x2+4x3+2x4-3,x1，x20，x3，x4无符号限制把不等式约束统一成的形式为清楚起见，列出表格，如表3-4所示 表3-4 于是可写出它的对偶规划为 max g=-7u1+14u2+3u3， s.t u1+6u2+28u3

5、5, 2u1-3u2+17u3-6， -u1+u2-4u3=7， -u1-7u2-2u3=4， u1无符号限制，u20，u30 6. 若数列收敛，则该数列的极限惟一。( )A.正确B.错误参考答案：A7. 导数又可视为因变量的微分和自变量微分的商。( )A.正确B.错误参考答案：A8. 据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?正确答案：9.

6、设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关10. 重排级数，使它成为发散级数重排级数，使它成为发散级数将原级数展开，引用括号且适当重排为 这样，取时有 即这样重排后级数发散 11. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 12. 某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2问：至少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概率为0.95?某人钓鱼平均每次钓到2kg，方差2.25kg2问：至少钓多少次鱼，才能使总重量不少于200kg的概

7、率为0.95?13. 函数定义的5个要素中，最重要的是掌握变量间的依存关系和定义域。( )A.正确B.错误参考答案：A14. 设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：设H是Hilbert空间，若Y与M都是闭线性子空间，PY，PM分别为从H到Y，M的正交投影算子，证明：证明必要性 设YM则x，yH有PMxM，PY(PMx)Y注意到正交投影算子是自共轭幂等的，故有 PYPMx2=PYPMx，PYPMx=PMx，PMx =PMx，PYPMx=0，因此PYPM= 充分性 设PYPM=由于PM是H到M的正交投影，xM，有x=PMx，于是=PY

8、PMx=PYx由于PY是H到Y的正交投影，此式表明xY因此MY$必要性 设PY+PM是正交投影算子由 PY+PM=(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+ =PY+PYPM+PMPY+PM得到PYPM+PMPY=将此式分别左乘PY与右乘PY，有 PYPM=-PYPMPY，PMPY=-PYPMPY 因此PYPM=PMPY= 充分性 设PYPM=，则PYPMPY=于是xH有 PMPYx2=PMPYx，PMPYx=PYx，PYx =x，PYPMPYx=0 这表明PMPY=由此得(PY+PM)2=+PYPM+PMPY+=PY+PM，即PY+PM是幂等的，且x，yH有 (PY+PM)x，y=PYx，y+

9、PMx，y=x，PYy+x，PMy =x，(PY+PM)y， 即PY+PM是自共轭的因此PY+PM是正交投影算子$必要性 设PY-PM是正交投影算子，xM，则PMx=z，且 x2PYx2=PYx，x=(PY-PM)x，x+PMx，x =(PY-PM)x2+PMx2 =PYx-x2+x2 因此PYx-x=，即PYx=x，xY因此 充分性 设对任意xH有PMx故PYPMx=PMx，即PYPM=PM另一方面，设x=PYx+y，yY；且x=PMx+m，mM则由yM可知(y-m)M，即(PY-PM)x=m-y与M正交注意到PYx=PMx+(PY-PM)x为PYx关于M的正交分解，从而有PMPYx=PMx

10、，即PMPY=PM于是 (PY-PM)2=-PYPM-PMPY+ =PY-PM-PM+PM=PY-PM， 即PY-PM是幂等的又对任意x，yH有 (PY-PM)x，y=PYx，y-PMx，y=x，PYy-x，PMy =x，(PY-PM)y， 即PY-PM是自共轭的因此PY-PM是正交投影算子$必要性 设PYPM是正交投影算子，则PYPM是自共轭的，于是有 PYPM=(PYPM)*=PMPY 充分性 设PYPM=PMPY，则(PYPM)*=PMPY=PYPM，PYPM是自共轭的又有(PYPM)2=PYPMPYPM=PYPM，即PYPM是幂等的因此PYPM是正交投影算子$记Qn=Pi，则由(2)利

11、用数学归纳法可知Qn是正交投影算子由于对任意xH有(Pix，Pjx)=PjPix，x=0(ij)，故 = 令n可知又因(m，n)，故Pix是Cauchy列由H的完备性，可令Px=则由此式定义的算子P是线性的由于Qn是逐点有界的利用共鸣定理可知Qn一致有界于是P是有界的由于x，yH有 故P是自共轭的；又有 (P2-P)x=(P2-QnP+QnP-+Qn-P)x (P-Qn)(Px)+Qn(P-Qn)x +(Qn-P)x0(n)，故P2=P，即P是幂等的因此P是正交投影算子 15. 求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定直线为两条共轭直线，考虑对偶命题求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定

12、直线为两条共轭直线，考虑对偶命题正确答案：设两复点a、b所定复直线为l则共轭复点应在l的共轭复直线上同理也在上故确定复直线rn 对偶命题：两复直线所交之复点及这两直线的共轭复直线所交之复点为两共轭复点设两复点a、b所定复直线为l,则共轭复点应在l的共轭复直线上,同理也在上,故确定复直线对偶命题：两复直线所交之复点,及这两直线的共轭复直线所交之复点,为两共轭复点16. 试证明： 设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)试证明：设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)证明 因为我们有 ，所以在0，a上几乎处处绝对收敛，由于以x+a代替x，上述级数不变，故它在R1上也就几乎处处绝对收敛又有 17. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格18. 设A是n(n1)阶矩阵，满足Ak=2E(k2，kZ+)，则(A+)k=( )A(1/2)EB2EC2k-1ED2n-1E设A是n(n1)阶矩阵，满足Ak=2E(k2，kZ+)，则(