22春“数学与应用数学”专业《近世代数》在线作业答案参考4

1、22春“数学与应用数学”专业近世代数在线作业答案参考1. 直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和 (1) (2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和  (1)  (2)  (3)  (4),m1  (5)，a,bR+(1)因为，所以                于是因此级数收敛，且其和为    (2)因为    所以  

2、;  于是          因此级数收敛，且其和为    (3)因为 ，所以                因为不存在，所以不存在，故级数发散    (4)因为            而m1，所以，于是因此级数收敛，且其和为m    (5)因为，所以和均收敛，且    ，    根据收敛级数的性质

3、得知收敛，且其和为 2. 设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。，并设对于t0，1，2，有 (1)St2Pt1 (2)设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。，并设对于t0，1，2，有 (1)St2Pt1 (2)Dt4Pt15 (3)StDt ()求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt12Pt2； ()已知P。时，求上述方程的解正确答案：3. 9某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的9某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话

4、的概率是多少?若记得最后一位是奇数，则此概率又是多少?此人必定在十次之内接通此号码，将此十次看做是10个箱子，编号为1，2，10把正确的号码看做一个球，此球置于第n号箱子中，表示此人拨n次才能接通电话，球的放置方法共10种以4表示“不超过三次就能接通电话”这一事件，则A的有利场合就是将球置入前三个箱子中，共有三种，故P(A) =3/10=0.3    若记得最后一位是奇数，则多只需拨五次就能接通电话。故样本点总数为5，P(A) =3/5=0.6 4. 函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足( ) AA0，B任意 BA0，B0 CA0，B任意 DA0，B

5、=0函数y=Ax2+B在区间(-，0)内单调增加，则A，B应满足(  )  AA0，B任意  BA0，B0  CA0，B任意  DA0，B=0C5. 列出多重集S=2·a，1·b，3·c的所有3-组合和4-组合。列出多重集S=2·a，1·b，3·c的所有3-组合和4-组合。3-组合包括：2·a，1·b，2·a，1·c，1·a，1·b，1·c，1·a，2

6、83;c，1·b，2·c，3·c。    4-组合包括：2·a，1·b，1·c，2·a，2·c，1·b，3·c，1·a，1·b，2·c，1·a，3·c。 6. 设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=_，|a×b+b×c+c×a|=_。&lt设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=_，|

7、a×b+b×c+c×a|=_。  77. 求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?设ARn×n，且A有完备的特征向量组如果A的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的Ak本质收敛于分块上三角矩阵(对角块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个2×2子块给出A的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出A的实特征值，即        其中m+2l=n，BI(i=1，2，l

8、)为2×2子块，它给出A的一对共轭特征值 8. 试证明： 设fn(x)是0，1上的递增函数(n=1，2，)，且fn(x)在0，1上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上试证明：  设fn(x)是0，1上的递增函数(n=1，2，)，且fn(x)在0，1上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上，必有  fn(x0)f(x0)(n)证明 反证法，假定fn(x0)当n时不收敛于f(x0)，则存在00，以及fnk(x0)，使得    fnk(x0)f(x0)+0  或  fnk(x0)f

9、(x0)-0.    若前一情形成立，则由x0是f的连续点可知，存在0，使得    f(x)f(x0)+0/2  (x0xx0+)    由于fnk(x)fnk(x0)f(x0)+0f(x)，故得    m(x0,1:fnk(x)f(x)  (kN).    但这与fn(x)在0，1上依测度收敛于f(x)矛盾 9. 证明f-gf-g证明f-gf-g证明  f=(f-g)+gf-g+g    所以f-gf-g 10. 设f(x)在0，1上连续，取正

10、值且单调减少，证明设f(x)在0，1上连续，取正值且单调减少，证明作        (因f(x)单调减少，f(t)-f(x)0，0tx)要证，作辅助函数只要证F()0，证F(x)0即可，这种函数不等式的证明可用微分学方法 11. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。置换群为    G=I，2，3，4，1，2，3，4，5    G的循环指数为        故由定理可得     12.

11、0n|sinx|dx (n是自然数)0n|sinx|dx (n是自然数)0n|sinx|dx    k=0n-1k(k+1)|sinx|dx    令  x=k+t    则  k(k-1)|sinx|dx=0(k+t)sinxtdt    =(2k+1)    原式=k=0n-1(2k+1)=n2    解2  令x=n-t，则    0n|sinx|dx=0n(n-t)|sint|dt    

12、=n0n|sint|dt-0nt|sint|dt    从而有     13. 计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk计算：(1)div(ugradv)；(2)divr，其中r=xi+yj+zk(1)div(ugradv)=·(uv)=u·v+u(·v)=gradu·gradv+uv    (2)r=(x,y,z),divr=·(x,y,z)=3 14. 试证明： 设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)试证明： &

13、#160;设fn(x)是定义在R1上的实值函数列，则  (i);  (ii)证明 (i)记En,=xR1：fn(x)若x0属于左端，即，则存在：，以及n0，使得fn(x0)(nn0)，即，x0属于右端；若x0属于右端，即存在：，使得.这说明存在n0，x0En,(nn0)，即fn(x0)(nn0)从而有，x0属于左端    (ii)若x0属于右端，则存在k0N，使得x0属于En,k0中的无穷多个(En,k0=xR1：fn(x)1/k0)，即存在nj，使得fnj(x0)1/k0，故.反向证略 15. 验证下列函数满足波动方程utta2ux

14、x： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat)正确答案：(1)uxkcos(kx)sin(akt) uxxk2sin(kx)sin(akt) utaksin(kx)cos(akt)rnutta2k2sin(kx)sin(akt)rn综上utta2uxx成立；rnrn综上utta2uuxx成立；rn(3)uxcos(xat)uxxasin(xat) utacos(xat) utta2sin(xat)rn综上utt

15、a2uxx成立(1)uxkcos(kx)sin(akt)uxxk2sin(kx)sin(akt)utaksin(kx)cos(akt)utta2k2sin(kx)sin(akt)综上,utta2uxx成立；综上,utta2uuxx成立；(3)uxcos(xat)uxxasin(xat)utacos(xat)utta2sin(xat)综上,utta2uxx成立16. 一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间为_。参考答案r,w,b,r

16、w,rb,wb,rwb17. 设A是数域K上s×矩阵证明：如果对于Kn中任一列向量，都有A=0，则A=0设A是数域K上s×矩阵证明：如果对于Kn中任一列向量，都有A=0，则A=0正确答案：假设A0则A中必有一元素不为零不妨设为aij0取为第j个元素为1其余元素为零的列向量则Aj第i个元素aij0从而A0与已知矛盾所以A=0假设A0,则A中必有一元素不为零,不妨设为aij0,取为第j个元素为1,其余元素为零的列向量,则Aj第i个元素aij0,从而A0与已知矛盾所以A=018. 甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b

17、)若乙获亚军，甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下：  前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军；  (b)若乙获亚军，则甲不能获冠军；  (c)若丁获亚军，则丙不能获亚军；  事实是：(d)甲获冠军；  结论是：(e)丁没有获亚军。  请证明此结论是有效结论。证明如果令    P：甲获冠军；    Q：乙获亚军；    R：丙获亚军；    S：丁获亚军。    

18、由题意可知，需证明    P(QR)，QP，SR，    用间接证明法：    S    P(附加前提)    SR    P    R    T，    P    P    P(QR)    P    QR    T，    (QR)(RQ)    T    QR    T    QP    P    Q    T，    (11)R    T，    (12)RR(矛盾)    T，(11) 19. 设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处( )。A、必须取得极大值B、设f (x) 和g (x) 都