巧用导数知识

1、巧用导数知识，妙解参数问题厦门市禾山中学林日平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。，甚至很多省份都安排在倒数第一、二题的位置上!现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为

2、求函数的最值或值域的问题a的范后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求围:结论一、不等式f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值).结论不等式f(x)g(a)存在解f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)式f(x)g(a)存在解f(X)ming(a)(即求解f(x)的最小值).结论方程f(x)g(a)有解g(a)的范围f(x)的值域(求解f(x)的值域).案例1、(2009福建卷)若曲线f(x)3axInx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是一一1，

3、分析：f(x)2ax(xx0)，、1依题意万程2ax0在0,内有解,去(X0)a(,0)案例2、(2008湖北卷)若f(x)bln(x2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是(A.1,B.1,C.(,1D.(分析：由题意可知f(x)0,x(1,)上恒成立,即bx(x2)(x1)21在x(1,)上恒成立，由于x1,所以b1,案例3、(2008广东卷)设aR,若函数yeax3x,xR有大于零的极值点，则()1A.a3B.a3C.aD.a33分析：f(x)3aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f(x)3aeax0有正根。当有f(x)3aeax0成立时，显然有a0,此时x-ln(),aa

4、由x0得a33案例4、(2008江苏卷)设函数f(x)ax3x1(xR),若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为解：当x0,则不论a取何值，fx0显然成立；31当0x1时，f(x)ax3x10可化为，a二一33xx令gx=3,则gx31产，xxx所以gx在区间0,1上单调递增，在区间1,1上单调递减，21因此gxg-4,从而a4;max2当1x。时，f(x)ax33x10可化为a24,g0xxxgx在区间1,0上单调递增，因此gxmang14,从而a4,综上a4分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；(2

5、)确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想，除了基础题目可以使用分离变量，很多压轴题也开可以用这种方法去求解。#*2案例5、(2005湖北卷)已知向重a=(x,x1),a=(1x,t),若f(x)a?b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.232解析：由向重的数重积th义，f(x)=x(1x)+(x1)t=x+x+tx+t、一2一-f(x)=3x+2x+t.若f(x)在区间(-1,1)上是增函数，则有f(x)0-2t3x-2x在(-1,1)上恒成立.若令g(x)=3x2-2x=-3(x1)2-13在区间-1,1上，g(x)=g(1)=5,故在区间

6、(-1,1)上使tg(x)恒成立，max只需tg(1)即可，即t5.即t的取值范围是5,8).利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。策略二：主次元变换法案例6、.(2009北京卷)设函数f(x)xekx(k0)(I)求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(川)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)(口)题略，对于题(m),若借助()的结论入手

7、，1,1一，一、，、八，一一须分11或11两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不kk妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。(ID)解:由题意f(x)(1kx)ekx0在x(1,1)上恒成立即1kxgx(1,1)上恒成立1k(1)0k11k10k1又k0k的取值范围是1,0U0,1.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例7、(07全国卷二)已知函数f(x)X3X.求曲线yf(x)在点M(t,f(t)处的切线方程；(2)设a0,如

8、果过点(a,b)可作曲线yf(x)的三条切线，证明：abf(a)解：(1)略y(3t21)x2t3.(1) 如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b(3t21)a2t3.若过点(a,b)可作曲线yf(x)的三条切线，则方程2t33at2ab0有三个相异的322头数根.记g(t)2t3atab,则g(t)6t6at6t(ta).当t变化时，g(t),g(t)变化情况如下表：t(,0)0(0,a)a(a,)g(t)00g(t)增函数极大值ab减函数极小值bf(a)增函数如果过(a,b)可作曲线yf(x)三条切线，即g(t)2t33at2ab=0有三个相异的实数根,rab0则有即abf(a).b

9、f(a)0.本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例8、(2009陕西卷)已知函数f(x)x33ax1,a0求f(x)的单调区间；若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：(1)略(2)因为f(x)在x1处取得极大值，2所以f(1)3(1)3a0,a1.所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0解得x11,x21。由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3。因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不

10、同的交点，由f(x)的单调性可知，m(3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点。(I)求a;(n)求函数f(x)的单调区间；(山)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。分析：(I)(H)略(山)由(H)知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增加，且当x1或x3时,fx0所以fx的极大值为f116ln29，极小值为f332ln221因此f16162101616ln29f1fe21321121f3所以在fx的三个单调区间1,1,1,3,3,直线yb有yfx的图象各有一个交点，当且仅当f3b

11、f1因此，b的取值范围为32ln221,16ln29。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法案例10、(2009浙江文)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR).(I) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值；(II) 若函数f(x)在区间(1,1)上不年调，求a的取值范围.解析：(I)略(n)f(x)3x22(1a)xa(a2)函数f(x)在区间(1,1)不单调，等价于导函数f(x)在(1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f(x)在(1,1)上存在零点，根据零

12、点存在定理，有f(1)f(1)0,即：32(1a)a(a2)32(1a)a(a2)0，,一2整理得：(a5)(a1)(a1)0,解得5a1案例11、(2004新课程卷)若函数y=lx3-ax2+(a-1)x+1在区间32(1,4)内为减函数，在区间(6,+00)内为增函数，试求实数a的取值范围.解：f(x)x2ax(a1)(x1)x(a1)令f(x)0,解得x=1或x=a-1，并且a乒2,否则f(x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+00)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-

13、1处取得极小值。4a-1M得52;(n)若对所有x0都有f(x)ax,求a的取值范围.解：(i)f(x)的导数f(x)exex.而exex2texex2,故f(x)2.(当且仅当x0时，等号成立).(n)法一：令g(x)f(x)ax,于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立.则g(x)f(x)aexexa,由(i)可知g(x)exexa2a,由2a0a2.当a2时，g(x)在(0,8)上为增函数，从而有x0时，g(x)g(0),即f(x)ax.案例13、(2006全国卷II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围.解：令g(

14、x)=(x+1)ln(x+1)-ax(x-1)于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立.对函数g(x)求导数：gx)=ln(x+1)+1a令gx)=0,解得xea11当xea11时，gx)0,g(x)为增函数，当1xea11,gx)v0,g(x)为减函数，所以要对所有x0都有g(x)g(0)等价条件为ea-1-K0.由此得av1,即a的取值范围是(一叫1.通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。案例14.(2008天津卷)已知函数f(x)x4ax3

15、2x2b(xR)，其中a,bR.10(i)当a一时，讨论函数f(x)的单倜性；3(n)若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围；(川)若对于任意的a2,2，不等式fx1在1,1上恒成立，求b的取值范围.分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)略(n)解：f(x)x(4x23ax4),显然x0不是方程4x23ax40的根.为使f(x)仅在x0处有极值，必须4x23ax40成立，即有9a2640.88解些不等式，得-a.这时，f(0)b是唯一极值.33因此满足条件的a的取值范围是8,8.(山)解：由条件a2,2，可知9a2640,从而4x23ax40恒成立.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因此函数f(x)在1,1上的最大值是f(1)与f(1)两者中的较大者.，_f(1)1为使对任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，当且仅当，即f(1)1b2a，在a2,2上恒成立.b2a所以b4,因此满足条件的b的取