浙师大高数C卷试题2015年1月

1、高数C2014级2014年12月20日浙江师范大学高等数学C(一)试卷(C卷)考试类别：闭卷使用学生:考试时间：120分钟出卷时间:说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.1.2.3.、选择题(每小题2分，共12分)sinx，f(x)1x2，贝U(x)的定义域为()B.2,2C.J.2D.-，22axb,若limxf(x)0,贝卩(a,b)=()B.(4,4)C.(4,4)D.(4,4)CDACBA设函数f(x)A.1,1(4,4)x1设f(x)也4x0时，与(sin2x)2等价的无穷小量是(B.2x2C.2x4.设f(x)二阶可导，且f'(a)0,f''

2、(a)0,则A.最大值点D.4x2B.最小值点C.极大值点a是f(x)的()D.极小值点5.函数f(x)A.单调增加ex在区间(B.有增有减1,1)内()C.不增不减D.单调减少b6.bcos(x)sin3xdx(B.sin4b2C.sin4b4D.-sin4b2、填空题(每小题3分，共18分)0出dx詈(，2)知2xC，-ln(12x).4lim7sin.x05x3x设函数曲线yax2与ylnx相切，则a3.设方程exy3.设方程exyxy确定函数yf(x)，则微分dyx14.设yln，贝Vy(_)v14x455.函数f(x)(x2)3的凸区间为6.设sinx为f(x)的一个原函数，贝Uf(

3、x)sinxdx=三、计算题(每小题8分，共48分)11.求极限lim(1x)x.【解】lim(1x)x2.设y(sinx)【解】lnyln(1x)ln(1x)limlimexexxxf(COSX),其中f(u)为可导函数,求y(x).lim1ex1x因此y(x)x3.设yf(cosx)lnsinx，两边对x求导，得ysinxf(cosx)lnsinxcotxyf(cosx)(sinx)f(t)f(e3tsinxf(cosx)Insinx'其中f(t)可导且f'(0)01),f(cosx)cotxf(cosx)dydtdxdt4.利用变换t解矽dxd2y1dx22代入原方程4t

4、23e3tf'(e3t1)、x将4x-2dxdt1dydtf'(t)2d记1dydydx2、xdtdtdyt2dxdt1dy1(2t3dt化简得d2ydt25.求鱼6ydt1dxln3x2tdt6ye3x(x0)化成以t为自变量的方程。1dytdt2dxdt)1(丄32t3dt1d2y2t2dt2)1d)2(12t2dt23te12xlnx_xln21【解】竺lnxxlnx因此，原式-(-dxlnx1xd()lnx2菖ln3x2lnxt)xlnx2_dy2tdt6y3tedx(lnx)26.求【解】原式4xdx.01xx令xt2，则2322t"22d(1t)dt01t

5、3301t32ln(1t3)34-ln33四、应用题(每小题8分，共16分)1.设曲线yx3ax2【解】y'3x22axbxc有拐点(1,1)，且在x0处有最大值1,试求a,b,c.y''x162ax0处有最大值,b,y''6xy'y2上有两点得三角形ABP的面积最大.【解】设抛物线上与直线2.已知抛物线x形的底边AB不变，所以当点41AB的斜率为kAB2(1)11因此，所求点为卩(丄丄)。422a。因为(1,1)是函数的拐点,c，故a3且bc1。而函数0，故b0。从而，c1°A(4,2)和B(1,1),在弧段AB上求一点P(x,y)，使AB平行的切线的切点为R(X1,yJ。PR时，三角形ABP的面积最大。而1，故2y11，即y11，从而2X1由于三角直线五、(6分)证明等式2arctan2xxarcsin21x2(x【证】设f(x)2arctanxf(1)2arctan1arcsin1arcsin-1，且因而f(x)f(1)21