平面向量专题VIP

1、向量专题零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量向量加法=向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：，但这时必须“首尾相连”实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量

2、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量的坐标运算：(1) 若，则，(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则，向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积） 规定向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积向量的模与平方的关系：乘法公式成立： ；向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的

3、夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题补充：线段的定比分点 平面向量常见题型类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量，满足且满足，则的夹角为 2.已知非零向量满足，则的夹角为 3.已知平面向量满足且，则的夹角为 4.设非零向量、满足，则 5.已知6.若非零向量满足则的夹角为 类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量，平面向量若，则实数 2. 设向量若向量与向量共线，则 3.已知向量若平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D25已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4共线，求实数k的值；6已知，是同一平

4、面内的两个向量，其中=（1，2）若，且，求的坐标类型（三）: 向量的垂直问题1已知向量，则实数的值为 2已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值3已知求与垂直的单位向量的坐标。4. 已知向量 5. 6. ，类型（四）投影问题1 已知，的夹角，则向量在向量上的投影为 2 在中， 3关于且，有下列几种说法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正确的个数是 （ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个类型（五）求向量的模的问题1. 已知零向量 2. 已知向量满足 3. 已知向量， 4已知向量的最大值为 6. 设向量，满足及，求的值类型（六）平面向量基

5、本定理的应用问题1若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于 （ ）(A) (B)(C) (D)2.已知3.设是平面向量的一组基底，则当时，4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）(A) (B) (C) (D) 5. (A) (B) (C) (D) 类型（七）平面向量与三角函数结合题1.已知向量，设函数 求函数的解析式（2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值2. 已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量 （I）如果求a的值； （II）若请判断的形状.3. 已知向量,函数(1)求的周期和单调增区间；(2)若在中，角所对的边分别是，求的取值范

6、围。 向量与三角形内心、外心、重心、垂心一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,

7、)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示，分别为边的中点./点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0点的轨迹

8、一定通过的垂心，即选.空间向量  空间直角坐标系的原则：              规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。       一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。        

9、0;  设，           则：   空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：；      空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：；1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2：利用空间向量求线线角、线面角（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线的方向向量，是平面的法向量，则3：利用空间向量求二面角其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 操作方法：1空间

10、中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。（1）异面直线所成的角的范围是。转化为共面问题。（2）直线与平面所成的角的范围是。射影转化法。（3）二面角的范围一般是指，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：面上一点三垂线法：空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。2空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是

11、对应图形上两点间的最短距离。abEF3空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点Ea，Fb，则异面直线 a与b之间的距离是 ；（2）用法向量求点到平面的距离ABC如右图所示，已知AB是平面的 一条斜线，为平面的法向量，则 A到平面的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。（5）用法向量求二面角如图，有两个平面与

12、，分别作这两个平面的法向量与，则平面与所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。（6）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量与直线a的夹角的余弦，易知=或者。向量的应用1.在四边形ABCD中，·=0，=，则四边形ABCD是A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由·=0知.由=知BCAD.四边形ABCD是矩形. 答案：C2. 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（tR）的模取最小值时，（1）求t的值； （2）求证：b（a+tb）.解：（1）设a与b的夹角为，则 |a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+

13、t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a|b|cos=|b|2（t+cos）2+|a|2sin2，所以当t=cos=时，|a+tb|有最小值.（2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a·b）=a·ba·b=0，所以b（atb）.已知=a，=b，a·b=|ab|=2，当AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.解：因为|ab|2=4，所以a22a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，SAOB=·sin=|a|b|=，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）所以当

14、|a|=|b|=2时，AOB的面积取最大值，这时，cos=，所以=60°.3.如图，ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）. 证明：设=m，=b，=c，则m=，m·m=·=b2+b·c+c2=AB2+AC2+AB·AC·cosBAC=AB2+AC2+AB·AC·=AB2+AC2+（AB2+AC2BC2）. AM2=AB2+AC2BC2.又BC2=4BM2，AB2+AC2=2（AM2+BM2）.4.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足·=6|.（1）求点P的轨迹方

15、程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）求|的取值范围；（3）若M（1，0），求MPN在0，上的取值范围.解：（1）设P（x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），·=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.P点的轨迹是以（1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4x0，=e=，|PN|=d=.2x02，1|PN|3. 当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（2，0）.（3）令|PN|=t（1t3），则|PM|=4t，|MN|=2，cosMPN=1+.由1t3，得3t（4t）4， cosMPN1. 0MPN.5.如图，已知ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把ABC分成面积相等的两部分.解：设P分的比为1，则4=1=3，即=3，=.又=·=， =，即=2.设2=，则2=2.xQ=5， yQ=.Q（5，）.6