椭圆中的最值问题与定点、定值问题

1、椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法(1)利用定义转化为几何问题处理；(2)利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x、y的取值范围；精品财会，给生活赋能(3)(4)利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理。一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c (远日点)、最小值a-c (近日点)。22推导：设点P(x0,y0)为椭圆x2+与=1 (a >b A0)上的任意一点，左

2、焦点为F1(c,0),a b 222| PFi |=寸& +c)2 +y2 ,由空 +与=1 得 yo =b2(1-X2),将其代入 a ba| PFi |=/& +c)2 +y2并化简得| PFi |=cXo+a。所以，当点 P(x0, y0)为长轴的右端点aA2(a,0)重合时，|PFi|max = £，a+a=c + a；当点 P(x°, y°)为长轴的左端点 A(a,0)重 ac合时。|PF11min = (a)+a=ac。当焦点为右焦点 F2(c,0)时，可类似推出。a2X 2.1. (2015浙江卷)如图，已知椭圆-2 y =11不同的

3、点A、B关于直线y=mx + 一对称。2(1)求实数m的取值范围；(2)求 MOB面积的最大值(O为坐标原点)。解：(1)由题意知m#0,可设直线 AB的方程为-2x . 2.1 22）x m2b /x + b 1=0。 m+ y =112彳 ，消y去，得（1十1. .2y= - x +bl. m1.，一 x 2.因为直线有两个不同的交点,y = 一x +b 与椭圆+ y = 1m2一,o4-所以 A = -2b2 +2 + > 0。4mbm设 A（Xi，Yi）,B（X2，Y2）,线段 AB 的中点 M （Xm , Ym ）,则 Xi +x2XM所以yM2mbXi X2 _2_ m2 2

4、1 um2b二 一 Xm b =2mm 2将线段AB的中点M2, 2mb m b2 Z，2 Zm 2 m 2)代入直线1 m 2 个y = mx 十一，解得 b = -2。2 2m由得m :二一-6或m 6 。3 3(2)令 t =则 |AB". 1m1 . 2t4 2t2 3X2)2 -4X2 1= t2 1 12 ,t212t2 1且O到直线AB的距离为d = I 2,t2 1设 MOB 的面积为 S(t),所以 S(t) =-| AB| d =1J-2(t2 -1)2 +2 <2 , 22 .2221. 2当且仅当t2=时，等号成立。故 AAOB面积的最大值为 。 222

5、.已知椭圆4X2 + y2=1及直线y=X+ m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.4X2+y2=1,22解(1)由得 5X+2mX+ m1 = 0,、y= x+ m因为直线与椭圆有公共点，所以 A= 4m220(m2 1)>0,解得一当&m&*.(2)设直线与椭圆交于 A(X1, y1), B(X2, y2)两点, 由(1)知：5X2 + 2mX+ m21=0,-1),2m所以 X1+X2= l , X1X2 =5所以 AB|=q(xi X2j +(yi : V2x1 _ X2 j = U2(Xl+X2：4X1X

6、2224m- -(m2 -1 J =2710-8m2.Y I255 一 5,所以当m=0时，AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y=X.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或 函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件22跟踪训练2如图，点A是椭圆C：壬十3=1但色0）的短轴位于y轴下方的端点，过点 Aa bAB AP=9.且斜率为1的直线交椭圆于点 B,若P在y轴上，

7、且BP/X轴,若点P的坐标为（0,1）,求椭圆C的标准方程;（2）若点P的坐标为（0, t）,求t的取值范围.解 二.直线AB的斜率为1, ；/BAP= 45°,即 BAP是等腰直角三角形，|AB|= /2|AP|.,.Ab AP=9,AB|AP|cos 45=也APfcos 45 = 9, |AP| = 3.(0,1), .|OP|=i, |OA|=2,即 b=2,且 B(3,1).B 在椭圆上，；02 + 1=1，得 a2 = 12,22椭圆c的标准方程为12+4=1.由点P的坐标为（0, t）及点A位于X轴下方，得点A的坐标为（0, t 3）, - t3= b,即 b = 3

8、t.显然点B的坐标是(3, t),将它代入椭圆方程得: 22l *=1，解得'口七手.2,- a2>b2>0,g ；>(3-1)2>0.3 - 2t332t.一>1 即一一1=t>03-2t'3-2t3-2t'一一一 一一一3所求t的取值沱围是0<t<.二、椭圆中的定点和定值问题解决时应用数形结合、分类讨论、几何法等方法。解决此类问题的方法有两种：(1)进行一般计算、推理求出结果；(2)通过检查特殊位置，探索出“定点”“定值”，然后再进行一般性证明或计算。2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 X轴上，椭圆C上的点到焦点距

9、离的最大值为3,最小值为1。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l : y =kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标。22解：(1)根据题意可设椭圆方程 与+4=1 (a Ab >0), a2 b2a +c =3 a = 222由已知得,解得二b2=221=3,a -c =1c =122所以椭圆的标准方程为 +-=1 o43y = kx + m(2)设 A(x1, y),B(x2, y2),联立 ,；x2y2得(3 + 4k2)x2+8mkx+4(m2 -3) = 0,143则由题意得 =64

10、m2k2 -16(3+4k2)(m2-3)>0,即 3+4k2-m2 >0,且 4xi x2xi x2 二8mk3 4k24(m2 -3)'3 4k2一一 、22 3(m2 -4k2)又 V1 y2 = (k +m)(kx2 + m) = k x1x2 + mk(x + x2) +m =2，3 4k设椭圆的右顶点为 D 丁以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，二 kADkBD= -1,即 1 =一1y1y2* xix2- 2(K+ x2)+4=0,X1 - 2 X2 -22 2、23(m -4k ) 4(m -3)16mk22/.二 + /+2 + 4 = 0,化简整理得 7m +16mk +4k =0,3 4k 3 4k 3 4k 2k 22斛得 m1 =2k,m2 =7-,且均满足 3+4k -m >0。当5=2k时。l的方程为y = k(x2),直线过定点 D(