定积分在物理学中的应用

1、1定积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用，我们看到，在利用定积分解决几面的应用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、旋转体的体积等何上诸如平面图形的面积、旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求量的微元问题时，关键在于写出所求量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元如此，希望大家注意如何写出所求量的微元微功、微压力、微引力等微功、微压力、微引力等2 由物理学知道，如果一个物体在由物理学知道，如果一个物体在常力常力F作用下，使得物体

2、沿力的方向作直线运动作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ，物体有位移物体有位移 s 时，力时，力F对物体所作的功为：对物体所作的功为：W=F*s 这个公式只有在力这个公式只有在力F是是不变不变的情况下才的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们来说明如何所受到的力是变化的。下面我们来说明如何利用微元法来求变力所作的功。利用微元法来求变力所作的功。一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功3我们仍采用微元法，所求功 对区间 具有可加性。设变力 是连续变化的，分割区间 ，任取一小区间 由 的连续性，物体在 这一小段路径上移动时，

3、的变化很小，可近似看作 是不变的，则变力 在小段路径 上所做的功可近似看作恒力做功问题，于是得功的微元为将微元从 到 求定积分，得整个区间所做的功W,ba)(xF,ba,dxxx)(xFdx)(xF)(xF)(xFdxdxxFdW)(abbadxxFW)(4【例【例1010】将弹簧一端固定，另一端连一个小球，放在光滑面上，点 为小球的平衡位置。若将小球从点 拉到点 ，求克服弹性力所做的功。解解 如图所示，建立数轴 ，由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度 成正比，方向指向平衡位置 ，即： OO)(sOMMoxxOkxFxOM其中k是比例常数，负号表示小球运动 方向与弹性力F方向相反。

4、若把小球从点 拉到点 克服弹性力F，所用外力的大小与F相等，但方向相反， 即： ，它随小球位置 的变化而变化。在 的变化区间0，S上任取一小区间 ，则力 所做功的微元 于是功)0(xO)(sOMMfkxf xx,dxxxfkxdxdW skxdxW022sk5【例【例1111】某空气压缩机，其活塞的面积为S，在等温压缩过程中，活塞由 压缩到 处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功？解解 如图所示建立数轴 ，由物理学知 1x2xoxxOx2 x1道，一定量的气体在等温条件下，压强 与体积 的乘积为常数 ，即由已知，体积 是活塞面积S与任一点位置 的乘积，即 因此 于是气体作用于活塞上的力活塞所用

5、力则力 所做功的微元pVkkpV VxSxV SxkVkpxkSSxkpSFxkFffdxxkdW6于是所求功21xxdxxkW12lnxxxk21lnxxk二、液体压力二、液体压力现有一面积为S的平板，水平置于比重为 ，深度为 的液体中，则平板一侧所受的压力值： F = 压强面积如若将平板垂直于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么，平板所受压力应如何求解呢？hPS)(处的压强值为水深hShOaxx+dxby=f(x)xy如图所示建立直角坐标系，设平板边缘曲线方程为则 )(),(bxaxfy所求压力F对区间 具有可加性，现用微元法来求解。,ba7在 上任取一小区间 ，其对应的小横条

6、上各点液面深度均近似看成 ，且液体对它的压力近似看成长为 、宽为 的小矩形所受的压力，即压力的微元为 于是所求压力,ba,dxxxx)(xfdxdxxfxdF)(dxxfx)(badxxfxF)(8OX+dx2m1mxx【例【例1212】 有一底面半径为1米，高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水。求水对桶壁的压力。解解 如图如图所示建立直角坐标系,则积分变量的变化区间为0，2在其上任取一小区间 ，高为 的小圆柱面所受压力值的近似值，即压力的微元为于是所求压力,dxxxdx面积压强dFdxx12xdx2202xdxF将 牛顿/米3代入得 牛顿20222x43108 . 9431092. 3108

7、. 94F9【例【例1313】 有一半径 米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力？ 解解 如果水位为3米，如图所示，3RxOx+dxxyy= R2-x2 建立直角坐标系，积分变量 的变化区间为 ，在其中任取一小区间 ，所对应的小窄条上所受压力的近似值，即压力微元x, 0R,dxxx面积压强dFydxx2dxxRx222dxxRx222dxxRxFR2202)(21222220 xRdxRRRxR0232232332R将米代入得米牛顿3,/108 . 933R牛顿510764. 1F10解解取取 ox 轴竖直向上轴竖直向上xoRR+H地球半径设为地球半径设为R 质量为质量为M，由万有

8、引力定律，由万有引力定律，即即 x =R 时时火箭所受的引力就是火箭的重力火箭所受的引力就是火箭的重力mg 2xmMkf 火箭所受地球的引力火箭所受地球的引力随火箭发射的高度随火箭发射的高度 x 而变化而变化当火箭在地面上当火箭在地面上22,gRkMmgRmMk 代入上式代入上式221xmgRf 为了发射火箭，必须克服地球引力，为了发射火箭，必须克服地球引力， 克服地球引力的外力克服地球引力的外力F与与 f 大小相等大小相等 11221)(xmgRxF 下面用微元法来求变力所作的功。下面用微元法来求变力所作的功。 ,HRRx dxxmgRdxxFdW221)( dxxmgRWHRRH 221)

9、11(2HRRmgR 取取 x 为积分变量为积分变量mgRHRRmgRwwHHH )11(2limlim H所须作的功所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处就是说要把火箭发射到无穷远处120v则动能为则动能为2021mv因此要使火箭脱离地球引力范围，须有因此要使火箭脱离地球引力范围，须有mgRmv 2021gRv20 kmRskmg6371,108 . 923 代入上式得代入上式得skmv2 .110 第二宇宙速度第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为离开地面时的

10、初速度为 13 半径为半径为R，高为，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水，的圆柱形贮水桶，盛满了水，问将水桶中的水全部吸出须作多少功？问将水桶中的水全部吸出须作多少功？解解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的被吸到桶口的在区间在区间 y ,y + dy 上对应一小薄柱体上对应一小薄柱体该水柱重为该水柱重为 dyR2 将这一小水柱提到桶口所经过的距离将这一小水柱提到桶

11、口所经过的距离yH 例例314dyyHRdw)(2 22022)(HRdyyHRwH 将以上几例的解法一般化将以上几例的解法一般化 可得可得若一物体在变力若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿的作用下，沿力的方向（力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到移到 x = b 时，变力时，变力 F ( x ) badxxFw)(对物体所作的功为对物体所作的功为15 由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为其面积为A，距液面的深度为，距液面的深度为 h ，则该薄板的一，则该薄板的一侧所受的压力侧所受的压力P

12、等于液体的压强等于液体的压强 p 与受力面积的与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是hApAP 但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。算，需要采用微元法，利用定积分来计算。例例4 设半径为设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，求闸门一侧所受的压力。求闸门一侧所受的压

13、力。 二、液体的侧压力二、液体的侧压力16取坐标系如图取坐标系如图oxyy+dy2Ry ,dyyy2 , 0RxdyydP2 dyRyRyPR 2022)( dttRRtRytRR 22)(2)( 令dttRdttRtRRRR 222222 奇函数奇函数 偶函数偶函数dttRR 0224 3R 四分之一圆面积四分之一圆面积x解解17 边长为边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成的矩形薄板，与液面成 角角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处处，设，设 a b 液体的比重为液体的比重为 ，求板的一侧，求板的一侧所受的压力。所受的压力。 解解如图建立坐标

14、系如图建立坐标系 sin,sin00hxxh 坐标为坐标为 x 处液体的深度为处液体的深度为 sinxadxxdF sin0 xxx+dxbx 0ab例例518 bxxxdxaF00sin )(sin212020 xbxa )sin2(21 bhab 得液体的侧压力的计算公式得液体的侧压力的计算公式 badxxgxfxP)()( oxyabx)(xfy )(xgy 将以上几例的解法一般化将以上几例的解法一般化19由万有引力定律：两个质量分别为由万有引力定律：两个质量分别为 21,mm相距为相距为 r 的质点间的引力的质点间的引力221rmmkF 若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由若要计算一

15、细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算。能直接利用上述公式计算。例例6 设有一长为设有一长为 l 质量为质量为 M 的均匀细杆，另的均匀细杆，另有一质量为有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为到杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。，求细杆对质点的引力。三、引力三、引力20取取 x 为积分变量为积分变量, 0,ldxxx 该小段细杆的质量为该小段细杆的质量为 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把问题改

16、为求细杆对位于它的一端垂线上距若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆杆 a 处的质量为处的质量为 m 质点的引力。质点的引力。 21解解 取坐标系如图取坐标系如图0lmaxdxx 取取 x 为积分变量为积分变量, 0,ldxxx 该小段细杆的质量为该小段细杆的质量为 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆杆 a 处的质量为处的质量为 m 质点的引力。质点的引力。 22解解如图建立坐标系如图建立坐标系2F1F, 0,ldxxx dxaxlmMkdF)(22 dxa

17、xxaxlmMkdFx2222)()( dxaxaaxlmMkdFy2222)()( )(2222023221alalaalkmMdxaxxlmMkFl 22023222)(1laakmMdxaxlkmMaFl 23 尤其是如何在具体问题中取尤其是如何在具体问题中取“微元微元”微微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束

18、手无策，不知如何下手。无策，不知如何下手。四、平均值和均方根四、平均值和均方根 badxxfaby)(1 badxxfabs)(12 关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程各个公式的结果外，还须了解其推导过程24关于定积分的应用说明三点：关于定积分的应用说明三点：1。选择合适的坐标系。选择合适的坐标系2。善于根据问题的性质和要求构造积。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限，确地确定出积分限，3。具体计算定积分时，要特别注意和。具体计算定积分时，要特

19、别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。分有益的。25利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系

20、？ 五、小结五、小结26该球面所受的总压力方向向上（下半球面该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关力与球浸没的深度无关思考题解答思考题解答27练练 习习 题题一一、 直直径径为为20厘厘米米， 高高为为80厘厘米米的的圆圆柱柱体体内内充充满满压压强强为为310厘厘米米牛牛的的蒸蒸汽汽，设设温温度度保保持持不不变变，要要使使蒸蒸汽汽体体积积缩缩小小一一半半，问问需需要要作作多多少少功功？ 二二、 一一物物体体按按规规律律3tcx 作作直直线线运运动动， 媒媒质质的的阻阻力力与与速速度度的的平平方方成成正正比比，计计算算物物体体由由0 x移移至至ax 时时，克克服服媒媒质质阻阻力力所所作作的的功功 . . 三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门，它它的的两两条条底底边边各各长长610米米和和米米，高高为为20米米，较较长长的的底底边边与与水水面面相相齐齐. .计计算算闸闸门门的的一一侧侧所所受受的的水水压压力力 . . 28四、四、 半径为半径为的的球球沉沉r入水中，球的上部与水面相切，球入水中，球的