非线性微分方程

1、高阶微分方程的降价技巧作者：陈思指导老师：张海摘要：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降价，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来，低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些，特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降价求得与它线性无关的另一特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需运用常系数变异法求出它的一个特解，就能求通解。本文总结了一些基本的降价技巧并举例说明。关键词：方程，降阶，技巧，解，特解，通解，微分方程1引言：价微分方程的求解比高阶微分方程方便，通常，高阶微分方程的求解方法是先进行降阶

2、，将其降为低阶微分方程再求其解。本文先介绍了三类基本的二阶微分方程的降价技巧，然后又总结了一些更高阶的微分方程的降阶及求解。2形如y*=f（x理2.1 降阶技巧；设y“=f（x）两端积分，即有：y'=f（x）dx=fi（x）+Ci再积分一次，得y二fixdx=f2xCixC2函数为方程的通解2.2 例：求解二阶微分方程y解：两端积分，得：y=x=arctanxC1再积分彳导y=arctanxCidx=xarctanx-1xdxC1x,1I,2=xarctanx-In1xC1xC2总结小语：同样的方法可以求出形如y（n）=f（x）的通解3形如y“=f(x,yj型3.1设二阶微分方程为”=

3、f（x,y）,方程中不显含未知函数y'=p,则y”小dx故原方程变为p'=f（x,p）,设其通解为p=f1（x）+C1：的原函数为f2x则原方程的通解为：y=f2xGxC22.3 求解xy"+y'=Inx解：令p=y则原方程变形为：p：R=xInx此方程为一阶线性微分方程:x11dxexdx十C1=Inx-1C1x所以原方程的通解为：y=Inx-1C1dxx=xInx。2厂C1xC24形如y"=f（y,y，）型对于y*=f（y,y）这种类型的方程，不显含x,做变换：y=p则：dpdpdydpy二二二pdxdydxdy则原方程变为：pdp=fy,pdy

4、从而化为一阶微分方程例：求二阶微分方程y“十二-旷2=01-y解：令y=p,则原方程变为：pdp=乂pdyy-1消去：p即：曳=3,p即曳=2.dydyy-1py12二p=C1y-1故原方程的通解为：=C1XC2-y5形如F（x,y（n）=0型（3）3）等价的参对于F（x,y（n）=0的n阶方程，将x,y（n）表示为参数的t函数，得到与（x=：t数方程«,、（4）yn=1't积分（4）的第二个方程：dyD=y（nXx=V（tF'（t）dt,yfL4（t，G）继续下去，求得：y='、t,C1,.Cn于是，方程的解为:X=；ty='-nt,Ci,(5)Cn

5、例;解x=ey+y"解：令y*=p,则x=ep+p则，dy'=y'dx=p(ep+1)dp12_y'=：ip-1e2PCiy=ydx=p-1e2p1p22+p1+C1ep+1p2+C1dpJ222p<2一p13一一-1+C1e十p十C1P+C2若将视为参数，则上式与x=ep十p一起给出原方程的解。6形如F（y（n）y（n,）=0型对于F（yC）y（n,）=0（6）,若可以解出yf）=f（y"）,令z=y(nA),彳#z=f(z),积分可得：xC1=若解得：znxC）即：y（n"）=（x，G）积分可得：y=.:x,C1dx.dxC2xn

6、.CnxCn若从（6）中解不出y（n）,用参数t表示y（n）,y（n"）y（n）=巴t）,y（n）3（t）Cn经过积分可得（6）的参数形式的解为：x=4（t）+C1,y=中（t,C2,.Cn3'22例2解万程：ayy=1+by33dp22apdp解：令p=y,得至kap一=V1+bp，即dx=（dx1b2p231积分可得：x=%1b2p22-C1b所以：y,=pdx二32,apdp11b2p2dp=a31221b21bp2bbdp,1b2p2喉.Edp*.dp1b2p2,：p1b2p2-1lnbp1b2p2C2所以:y=ydx=6石bp2-=p221nbp_1b2p2C2dx

7、1b2p2f!bp2-,p22ln(bp+71+b2p2Jdp+aCj_j1+bppdp11b2p2又因:pdp1b2p2Inbp,1b2pMp=J+b2p2ln(bp+j1+b2p2bb3.aC2pdp1b2p2*C21b2P"故：y2p6ba3C2b2；1b2p26a2b5.1b2p2Inbp,1b2p2C33上式与表达式：x=-2b21-b2p2-G一起为原方程参数形式的解，其中p为参数。若从它们中消去参数p,得到显示解:1y:33.56abb4(x+G2-a6I2-6a2b3(x+C1)lnib2(x+C1)+b4(x+C1"a63a2b54xC12-a6C2xC3

8、3其中C2=C2+-arlna3,2b3C3=GC2+C3+a-C-lna3)2b36形如F(x,y(k)yW).y(n)=0型对于F（x,y（k）y"）.y（n）=0（8）白n阶方程，在令y（k）=z以后，将（8）化成（n-k）阶的方程F(x,z,z：.z(n")=0若方程(9)可以积分，求得：z-7x,C1,.CnJ,即：yk=x,Cd连续积分k次，可求得(8)的解：y=g(x,C1,.Cn)例3:求方程5dt5tdt4=0的解解：令d4xr=y,则方程化为:dtdy1y=0dtt、一*、一，一dx这是一阶方程，积分可得：y=ct,即工x=ctdt4于是：x=Gt5+C

9、2t3+C3F+C2t+C(其中G,C2,C5为任意常数)，这就是原方程的通解。形如F(y,y：.yC)=0型若令y'=z,并以它为新未知函数，而视y为新自变量，则方程可以降低一阶。对于：F（y,y：y（n）=0（10）的n阶方程(12)令y'=z（11）dydzdzy=z-dxdxdyd2zJdz）yzdy9yJjy（n）=wz/dz1dy1n、dz,n1dyJJ将(11)(12)代入(10),得到一个关于函数z和自变量y的n-1阶方程，若此方程可以积分，最后可得到关于y的一阶方程例：解方程2yy,=y2,y2解：令：y'=p,yIr=p-dp化原方程为2ypdp=p

10、2+y2,dydy再令：p2=z得y包二zy2dy解得：z=C1yy2即：p2=C1y+y2,y，=土Jgy+y2积分可得：InyC+Jc1y+y2=±x+C22y用y除两边，假定y#0；另一方面，验算知y=0为一特解形如F(x,y,y：.y(n)=0型，对于F(x,y,y：.y(n)=0(13)的n阶方程，若左端关于yy'y(n)是m次的齐次函数即：F(x,ky,ky.ky(n)=kmF(x,y,y：yC)zdxy=ze2.zdx令：yzdxy=zze(14)e,(13)则：y(n)=w(z,z：.z(n，)e'将(4),(5)代入(13),得到关于未知函数z的n1

11、阶方程F(x,1,z,z2+z：.,w(z,z：.zD)=0若求得(16)的通解z=：x,C1,CnF即y=x,1,.Cn4y积分(17),得到y=Cne陟G"C1dx2卜.2例5：解万程：xyy=(,y-xyzdxzdx2zdx解：令y=e-,y'=ze,y"=(z+z')e化原方程为x2z：2xz=1解得：zCxx,Cl.-Cizdxln|x-lnCi-则：y=e=exC2xex当约去因子e*dx时，假定y#0,经核验，y=0仍为一特解，但此解可以包含在通解之中。9形如F(x,y,dx,dy,d2y,.,dny)=0型的方程对于F(x,y,dx,dy,d

12、2y,.,dny)=0(18)的n阶方程，若左端关于x,y,dx,dy,d2y,.,dny是m次的齐次函数，即；Fkx,ky,kdx,kdy,kd2y,.,kdny=kmFx,y,dx,dy,d2y,.,dnydx=ed,dy=eduud；._LU*T七T令x=ey=ue-；(19)则：d2y=e(d2u+dud-),d3y=e_(d3u-dud-2(20)将(19)(20)代入(18),由齐次性得知：F(1,u,dUdu+ud"d2u+dud匕.，dnu+.)=0方程(21)不显含自变数的阶方程，可用6的方法求解。例6解方程：x4y"x3y3+3x2yy'2-(3

13、xy2+2x3)y，+2x2y+y3=0_2d2u+du解：这是左端关于x,y,dx,dy,d2y的三次齐次函数代入原方程，消去公因子e3得到:令x=e：y=ue'则:/=当+u,y"=edd2ududTdu<d-用入dp/曰dpd2再令：u(t)=p,u=p，得：p1-1-pdudu由曲=1+p2,得出dudu-p=F=tg(u+C1)再积分得:dsin(u+C1尸C2e-；即：y=xarcsinC2x)C1x由p=0得：u=C,y=Cx,但此解不包含在通解中。10形如F(x,y,dx,dy,d2y,.,dny)=0型的方程对于F（xydxdd,y.n,dy（02）的

14、n阶方程，若将x,dx算作一次，y,dy,d2y,.dny算作m次，即y'为m1次，y"为m2次，y（n）为mn次时，（22）的左端是齐次函数。令x=e.y=uem"（23）亚=em4曳+mu±=ebM曲+m；dxdUdx'd七(24)Jdu小”、du,丁T2+(2m-1)+m<m-1)u品2d)ndydxn=e3前(u,u：.,u(n)将（23）和（24）代入（22）,得到一个不显含自变量的方程，可用4的方法求解。例7解方程x4y"（x3+2xy）y'+4y2=02解：将x,dx算作一次，y,dy,dy算作两次时，所给方程

15、的左端为四次齐次函数令x=ey=ue2：贝Uy'+2u,y*=Jd2udu232ud2dd2udu代入原方程，消去因子e4-后，得出二4+2（1u）”=0d2d人dud2udp令p=-=p-Pd,d2pdu上式化为：pdp21-u=0_du由dp=2(1u)。得p=u2-2u+C,即=d-duu-1C-1当C>1时，由du=d：,得出u=1+C1tg(C/+C2)u-1C-1即：y=x2|1C1tgC11nxC2当C<1时，同理由p=0,可得：y=Cx211恰当导数方程定义：假如方程F（x,y,y；.y2）=0（1.8）的左端恰为某一函数网x,y,y',.y（n,）

16、对x的导数，即（1.8）可化为：_d"x,y,y：.yL）=0dx则（1.8）称为恰当导数方程。降阶技巧：这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为：x,y,y；.ynl=C之后再设法求解这个方程。例5求解yy"+y”=0d-解：易知可将方程写为yy'；=0dx故有yy'=G:即：ydy=C1dx积分后即得通解y2=C1xC2：例6求解yy"-ya=01vvM-v*2dv*解：先将两端同乘不为0的因子-2,则有：W2V=一上=0yydxkyJ故y'=Cy,从而通解为y=C1eCx评析：这一段解法的技巧性较高，关键是配导数的

17、方法。12形如F（x,y,y；.y（n）=0型对于F（x,y,y：.y（n）=0（25）的n阶方程，若F（x,y,y：.y（n）=旦"x,y,y：.y（n/）,dx则欠x,y,y；.yL）=C1（26）为方程（25）的首次积分。这样就把方程降低一阶。有时方程（25）的左端虽不是恰当导数，但乘以因子U（x,y,y；.y（n，）后求得首次积分例8解方程L=工%y1y解：因为匕_22y_=iny-ln1y2y1y-所以iny-in1y2=C1,y=C11y2积分可得y=tgC1x-C213齐次线性微分方程:dnxdnxn-+21（t）H+.+an（t）X=0（4.2）万程（4.2）的求解问

18、题dtndtn可归结为寻求方程的n个线性无关的特解思路：若知道方程的k个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，并且新得到的阶方程，也是齐次线性的。降阶技巧：设X1,X2,.,Xk是方程（4.2）的k个线性无关解，（x#0,i=1,2,.,k玲x=xkyx'=Xky'+xyxIr=xky'*+2xy+xy直接解得：«（*）xp）=xky（n）+nxk'yC）+'11xk*y（n_2）+xk（n%22（*）式代入（4.2）,得到xkyC）十px/十a（t）xklyC，）+-xk（n）十31人）+十anxkIy=0令，用除方程各

19、项，得到：-1阶齐次线性微分方程由知方程（4.67）有n-1阶齐次线性微分方程由z=y'=|,即x=xkjzdt<xk）方程（4.67）有k-1个线性无关解zi='上，（i=1,2,.,k1）<XkJ令".二2Z2.+Sk4Zk=三0,即«1上+«2fX21Xk<Xk+其中1,与，：k.a常数。那么，就有：0fl二十也至十.十队迎=7k<xkJ<xk）即：-iXi12X2二kXk二kXk=0又因：x1,.xk线性无关，所以：%=a2=.=ak=0从而乙，Z2,.,zk线性无关对方程（4.67）仿以上做法，令z=zkju

20、dt,可将方程化为关于u的n2阶齐次线性微分方程ul）+C1（t）u（n"）+.+CnN（t）u=0评析：由此讨论知：利用k个线性无关特解当中的一个解xk,可以把方程（4.2）降低一阶，成为阶齐次线性微分方程（4.67）,并且知道它的k-1个线性无关解，而利用两个线性无关解，则可把方程（4.2）降低两阶，成为n-2阶齐次线性微分方程（4.68）,同时知道它的k-2个线性无关解4.2）降低了k阶依此类推，继续上面的做法，若利用了方程的k个线性无关解x1,x2.xko则最后我们就得到一个n-k阶的齐次线性微分方程，这就是说把方程（d2xdx14二阶齐次线性彳分万程7F+p(tq+q(t)

21、x=0(4.69)降阶技巧：只要知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降一阶,作此变换：xxiydt方程化为：x1包十一：dt-2x1+p（t）x1ly=0（一阶线性微分方程）解得:y=Ce.ptdtxi因而x=x1GC这里C,&为任意常数检验：取Ci=0,C=1,得方程（4.69）的一个特解：x=x/1-Ptdt-e2xi出，显然它与x1线性无关所以（4.70）为（4.69）的通解，包含了方程（4.69）的所有解例4已知x=Sint是方程x*+2x'+x=0的解，试求方程的通解tt一、一2解：这里pt=-t1,.dtt2Jsint八八1八八GCcott=-C1sintCcostsintt2由（4.70）得到：x=sC1+Ctsin2t其中是g,c任意常数，这就是方程的通解非齐次线性微分方程：设有线性n阶方程：x）+PixC，）+.+pnx'+pnx=q（t）（39）其中p,p2，pn,q都是t在某一区间（a,b）中的连续函数方程：x）+px（n,）+.+pn/x'+pnx=0（40）称为与（39）对应的线性齐次方程，而（39）称为齐次的。定理2设x（t）42。）,.,xn（t）是方程（40）的n个线性无关解，称为基本解组，则（40）n的通解是CCixi（t）其中Ci,C2,.,Cn为任意常数i4定理3。如果已知方程（40）的k个线性无关