高三高考平面向量题型总结-经典

1、平面向量一、平面向量的根本概念：1 .向量：既有大小又有方向的量叫做.我们这里的向量是自由向量,即不改变大小和方向可以平行移动.向量可以用来表示.向量的符号表示.2 .向量的长度：向量的大小也是向量的长度(或),记作.3 .零向量：长度为0的向量叫做零向量,记作.4 .单位向量：.5 .平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合,那么向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反记作规定：.注意：理解好共线(平行)向量.6 .相等向量：.例：以下说法正确的选项是有向线段就是向量,向量就是有向线段；fffffffa=b,b=c,那么A=c；a/b,b/c,ac假设AB=CD,那么A,b,C,d四点

2、是平行四边形的四个顶点；所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：(一)向量的加法：1 .向量的加法的运算法那么：、和.(1)向量求和的三角形法那么：适用于任何两个向量的加法,不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系；首是首,尾是尾,首尾相连例1.AB=&AC=5那么BC的取值范围例2.化简以下向量(1) NQ+MN+QP+PM-(2)(BP+BC)+(Cd+AB)+(PlM+MB)(2)平行四边形法那么：适用不共线的两个向量,当两个向量是同一始点时,用平行四边形法那么;a+b是以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线,如图：例1.(09山东)设P是三角形ABC所在平面内一点,BC+BA=2B

3、P,那么A.PAPB=0B.PAPC=0C.PCPB=0D.PAPBPC=0例2.(13四川)在平行四边形ABCDK对角线AC与BD交于点O,AB+AD=7AO,那么.九=(3)多边形法那么2 .向量的加法运算律：交换律与结合律(二)向量的减法：减法是加法的逆运算,a.bA=oA-oB=pApb(终点向量减始点向量)在平行四边形中,以a、b为邻边的平行四边形中,a+b,a-b分别为平行四边形的两条对角线,当a+b=a-b时,此时平行四边形是矩形.例i.同=6,1bl=8,且a+bHa-bL那么a+bl=la-b=.AR+AC=AR-ACAM=例2.设点M是RC的中点,点A在线段RC#,RC=1

4、6,那么向量的加减运算：例1.08辽宁O、A、R是平面内的三个点,直线AR上有一点C,满足C92AC=0,那么OGA2OAORR.OA+2ORC.2OA-ORD.OA+2OR3 333例2.15课标全国I设D是三角形ARC所在平面内一点,RC=3CD,那么一1一4AD=ARAC3341ADAR-AC33一1-4-AD=ARACA.33R.一41八ADAR-ACC.33D.例3.12全国在AARC中,AR边上的高为CD,CR=a,CA=b,a*b=0,a=1,b=2,那么AD例4.10全国在AARC中,点D在边AR上,CD平分/ACR,假设CR=a,CA=b,a=1,b=2,那么CD=例5.在A

5、ARC中,设D为边RC的中点,E为边AD的中点,假设RE=mAE+nAC那么m+n=例6.15北京理在AARC中,点M,N满足AM=2MC,RN=NC,假设MN=xAR+yAC,那么x=y=12例7.13江苏设D、E分别是AARC的边AR、RC上的点,假设AD=AR,RE=RC,假设DE=“1AB23+九2AC%,九2为实数5那么九1+五2二-一例8.12东北四市一摸在AARC中,设P为边RC的中点,内角A,R,C的对边a,b,c,假设cAGaPA+bPR=0,那么AARC的形状为三实数与向量的积：1 .定义：实数九与非零向量a的乘积,a是一个向量,它的长度是,它的方向是.当九=0时,2 .数

6、乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小.3 .运算律：设a、b是任意向量,九,N是实数,那么实数与向量的积适合以下运算:4 .向量共线的判断：平行向量的根本定理如果a=九6,那么ab；假设ab,b#.,那么存在唯一的实数九,使得a=?b.假设a、b是两个不共线的非零向量,那么它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数li_-1假设a=兀3+丹62上=,ei+%e2,ei,e2不共线,ab,那么在有意义的前提下,九2匕例1.15课标全国II设向量假设a、b是两个不平行的向量,向量九a+b与a+2b平行,那么九=44*404例2.09湖南对于非零向量a,b,“a+b=0是“a/b的A.充

7、分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件例3.12四川设a,b都是非零向量,以下四个条件中,使成立的充分条件是Ia|b|A.a=-bB.a/bC.a=2bD.a/b且|a|=|b|5 .单位向量给定一个向量了,与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量,即AABC,O为定点,P为平面内任意一点.PA+P9PC=0=二假设Op=oArOOC那么P为&ABC3假设OP=OA+九AB+AC,九三0,十元,那么P点的轨迹假设OP=OA+儿,九W0,收,那么P点的轨迹通过ABC的内心假设,那么P点的轨迹是MBC的外心假设,那么P点的轨迹是MBC的垂心例1.10湖北在AABC

8、中,点M满足MGMRMG0,假设存在实数m,使得AbAGmAM那么m=例2.在AABC中,重心为G假设2sinAGA+T3sinBGB十3sinCGC=0,那么cosB=一二3-aGAbGBGC=0例3.在AABC中,重心为G假设3,那么A=三、平面向量的根本定理(一)平面向量根本定理内容：如果储、e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数均,九2,使,其中el、e2是一组基底,记作.叫做向量a关于基底的分解式.平面向量根本定理是向量正交分解的依据,是向量坐标运算的根底.注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底,由于零向量与任一向量都平行,所以零向量一

9、定不能作为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示,但表示方法是唯一的.例1.(14福建)在以下向量组中,可以把向量5=(3,2)表示出来的是A.e1=(0,0)=(1,2)b.ei=(-1,2)伫=(5,-2)C.e=(3,5)=(6,10)D.e1=(2,3),e=(-2,3)例2.(09安徽)在平行四边形ABCM,E,F分别是CDBC的中点,假设AC=?uAE十RAF,那么九十R=_(二)平面向量根本定理与向量共线条件的综合应用设A,B是直线l上两点,.是直线外一点,对于直线上任意一点P,存在t三R,使成立.反之,满足上式的点P在直线l上.特别地,当P为A,B的中点时,那么.例1.

10、O、A、B是平面内的三个点,线段BA的延长线上有一点C,满足3AGC&0那么OCA30A2OBB.20A+3OBC.-0A-10BD.-0A+-0B2222例2.数列In)是等差数列,其前n项和为Sn,假设平面上的三个不共线的向量0AOB0(W足OB=a1OA+a2006一0C且A,B,C三点共线,那么S2006=例3.向量i,j不共线,且aB=i+mj,AD=ni+j,假设A,B,D三点共线,那么实数m,n应满足的条件A.mn=1B.mn-TC.mn=1D.mn-1例4.(07江西)如图,在ABC中,设.为边BC的中点,过点0的直线交直线AB、AC于不同两点M,N.假设AB=mAMAC=nA

11、N,那么m+n=mn的最大值为例5.在&ABC中,设M为边BC的任意点,N为AM中点,ANuAbRAC,那么九+艮=例6.在AABC中,设M为边BC的中点,N为AM中点,AN=,AB+NAC那么九+N=.例7.如图,在AABC中,设D为边BC的中点,G为AD中点,过G任作一条直线MN分别交AB、AC于M,N两点,假设AMhxAB,一之11.AN=yAC,试问一+是否为定值?四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算：(一)向量的正交分解与向量的直角坐标1 .向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直,那么这两个向量互相垂直；2 .向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直,那么称这个基底为正交基

12、底,在正交基底下分解向量,叫做正交分解.3 .在平面直角坐标系下,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内任一向量有且只有一对实数x,y,使得a=xe+ye2.有序数对(x,y)叫做a的坐标,记作a=(x,y)注意：(1)每一个向量都可以用一对有序实数对来表示,向量有代数法和几何法两种表示.(2)符号(x,y)有了双重的意义,既可以表示固定的点,又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终点坐标有关,只有点始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等.(二)向量的坐标运算1 .假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=.2 .假设A=(x1,yj,B=(X2,y2)

13、,贝UAB=|AB|=3 .假设a=(x,y),九wr,那么心=4 .假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),5/b,那么有.5 .三角形ABC的重心坐标公式为五、平面向量的数量积：1 .平面向量数量积的定义向量a,b的夹角两个非零向量a,b,过点O作OA=a,OB=b,那么NAOB=6(工叫作向量a,b的夹角.当时,a与b垂直,记作.当时,a与b平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角以及两向量夹角的范围.向量a,b的数量积两个非零向量a与b,它们的夹角为e,那么把叫做向量a,b的数量积(内积),记作.规定0a=0向量数量积的几何意义.2 .向量数量积的性质设a,b是非零向量,e是与b方

14、向相同的单位向量,日是a与e的夹角,那么 ea=a,e=acosQ a_Lbu当a,b同向时,a,b=.当a,b反向时,ab=特别地,a*a= cos9=a,bab3 .向量的数量积的运算律：注意：向量的数量积无律,无律.4 .数量积的坐标运算假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a,b=假设a=(x,y),那么aa=a2=2=目=假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab的充要条件为a=(Xi,yjb=(X2,y2),那么ab的充要条件为求角问题：假设非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,日是a,b的夹角,那么cos6=注意：向量有几何法和坐标法两种表示,它的运算也有两

15、种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法.典型例题一向量数量积的几何运算,注意两个向量的夹角,利用平面向量的根本定理选好基底例1.对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立的是B.C.-2=a+bD.aba-b=a2-b2例2.向量a,b,c,满足a=1,b|=2,C=a+b,且6,3,那么向量a与b的夹角为例3.(11江西)a=b=2,(a+2b)*(ab)=2,那么a,b的夹角为例4.13全国两个单位向量a,b的夹角为60:C=ta+1tb,假设b*C=0那么1=例5.13江西设自、e2为单位向量,储与4的夹角为,假设5=3+3弓力=23,那么向量a在b方向3的射影为222例6.向重

16、a,b,c,满足a+b+c=0,ab_Lc,a_Lb,右a=1,那么a|+|b+同=1,a,-AO=ABAC例7.14课标全国A,B,C为圆.上的三点,假设2,那么AB与AC的夹角为例8.10湖南在直角三角形ABC中,NC=90,AC=4,那么ABAC=例9.15湖北向量OA1AB,OA=3,那么OAOB=例10.如图,在平行四边形ABCD中,APXBD,垂足为P,且AP=3,那么APAC=例11.在三角形ABC中,/A=60：AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,那么AE*AF=例12.12天津三角形ABC为等边三角形,AB=2,点P,Q满足AP=AB3AQ=1-九AC,九wR,假设

17、BQCP=,那么儿=2例13.13山东向量A*ACE角120,AB=3,AC=2,AP=,*AbAC,且APBC=.那么实数九的值o例14.13天津在平行四边形ABCD中,AD=1,NBAD=60,E为边CD的中点,假设ACBE=1,那么AB的长为例15.后石夹角为,a=J3,bj=2,在三角形ABC中,AB=2m+2n,一AC=2m6n,D为边BC的中点,那么AD=例16.AD与BE分另1J是AABC的中线,假设AD=BE=1AD与BE的夹角为120n,贝UAB*AC=例17.15四川设四边形ABCD为平行四边形,AB=6,AD=4,假设M,N满足BM=3MC,DN=2NC,那么AM*而=例

18、18.12浙江在三角形ABC中,点M为BC的中点,AM=3,BC=10,那么AB.AOTTTTT例19.09陕西设M为AABC边BC的中点,AM=1,点P在AM上,满足AP=2PM那么PAPbP.=L例20.设O是三角形ABC的外心,OD_LBC,AB=d3,AC=1,那么AD,ABAC=例21.在三角形OAB中,OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上任一点,那么AB*OP=例22.O是三角形ABC的外心,假设AB=3,AC=5,那么AO*BC=TTTTT例23.假设三角形ABC内接于O以为圆心,1为半径的圆,3OA+4OB-5OO0,那么OC,AB=例24.非零向量a,b,a=“3,

19、fx=x3十ax2+2abx十1在R上有极值,那么a,b的取值范围为例25.10全国圆.的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,贝Upa*pB勺最小值为典型例题二：对于有明显的直角关系的向量问题几何法与代数法的转化建立平面直角坐标系与线性规划问题联系,向量的例1.(13湖北)点A(-1,1),B(1,2)C(-2,-1),D(3,4),那么向量ABCDT向上的投影为例2.(12重庆)设x,ywR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),a1b,b/c,那么a+b=V3x-y0/一_1_TT例3.点A(3,J3),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足xJ3y+2之0

20、,设z为OABOF的投影,y至0那么z的取值范围例4.(13福建)在四边形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),那么四边形的面积为例5.09湖南如图,两块斜边长相等的直角三角板在一起,假设_.2例6.OA|=1,OB=k,/AOB=兀,点C在/AOBOA=0,假设OC=2mOA+mOBOC=243,那么k=例7.09天津假设等边三角形的边长为2J3,平面上一点M,满足品1捣2cA63贝Uma.mb=例8.11天津直角梯形ABCD中,AD/BC,/ADC=90：AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,那么|PA+3PB的最小值为L-例9.12江苏如图,在矩形ABCD中,AB=J2,B

21、C=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,假设ABAF=,2,贝UAEBF=例10.在直角角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P是线段CD的中点,那么仔A十|PB2PC例11.13全国正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,那么AEbd=例12.13重庆在平面上,葩,丽,画=|同=1而=福+屉,假设阿V,那么15A的取值范围是例13.12北京正方形ABCD的边长为1,点E为AB边上的动点,那么DECB=de,dcM最大值为例14.平面上三个向量OAOBOC满足OA=1,OB=J3,OC=1,OAOB=0那么CAcB勺最大值为例15.三角形ABC中,/C=60：AC=2,BC=1,点M是AA

22、BC内部或边界上一动点,N是边BC的中点,那么AN.aM勺最大值为例16.15福建靠,记网假设点P是三角形ABC所在平面内一点,AP=AB4ACABAC那么PBPC的最大值为例17.09全国设是a,b,c单位向量,a,b=0,那么a-c,b-c的最小值为例18.13湖南a,b是单位向量,a*b=0,假设向量c满足|c-a-b|=1,那么|c|的取值范围例19.11辽宁假设a,b,c单位向量,a*b=0,a-c*b-c0,那么|a+b-c|的最大值为1例20.11全国设向重a,b,c,满足|a|=|b|=1,ab=-,=60,那么|c|的最大值为2例21.14安徽在平面直角坐标系xOy中,a,b是单位向量,a*b=0,假设Q点满足0Q=2a+b,曲