函数、极限、连续重要概念公式定理精品

1、一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列xn,如果存在常数A,对任给&A0,存在正整数N,使当nN时，恒有K-A<8,则称A是数列xn的当n趋于无穷时的极限，或称数列xn收敛于A，记为limxn=A.若n0冷的极限不存在，则称数列Ln发散.收敛数列的性质：(1) 唯一性：若数列冷收敛，即limxn=A,则极限是唯一的.n"(2) 有界性：若limxn=A，则数列xn有界，即存在MA0,使得对/n均有xj壬M.n(3) 局部保号性：设nimxn=A，且A>0(或A<0)则存在正整数N,当n>N时，有

2、天>0(或xn<0).(4) 若数列收敛于A，则它的任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当xjx0时，f(x户A为极限limffxfxtS>0d>00<jx<6|f(x)*8当xt(时，f(x户A为极限limf(x户S>0X>0|x|：>X|f(x)*&当xf书时，f(x)以A为右极限醇5deff(x0布)S>0d>0x0<x<x°怀|f(x)*&当xf-0时，f(x)以A为左极限limffxy=Adeff(%-0)S>0d>0x0<x&l

3、t;/°lf(xT<&当xT时，f(x)以A为极限lif丝产)S>0XA0xAXlf(x)*&当乂1边寸，f(x户A为极限li%f(xAdeff(皿)S>0X0x|f(x)+&(三)函数极限存在判别法(了解记忆)1.海涅定理：jmf(x)=AU对任意一串x°(为#x),n=1,2|都有|if(*)=A2. 充要条件:(1)Jimf(x)=Au哽+f(x)=Jjm_f(x)=A;(2) lim一f(x)=A:二lim_f(x)=lim._f(x)=A.3. 柯西准则：£mf(X)=Au对任意给定的耳>0,存在&

4、0,当0<Xi-X00<X2-X0<&时，有f(Xi)_f(X2)<矿4. 夹逼准则：若存在&>0,当0<|xx0|<5时,有B(x)4f(x)<0(x),且lim%x)=lim*(x)=A,则xX0xwlimf(x)=A.XX常数M,使f5. 单调有界准则：若对于任意两个充分大的X,X2,X<X2,有f(X)<f(X2)(或f(%)>f(x2),且存在(x)<M(或f(x)>M)，则li务f(x预在.(四)无穷小量的比较(重点记忆)1.无穷小量阶的定义，设lima(x)=0,limE(x)=0.(1

5、)若limW(X)=0,则称a(x)是比E(x)高阶的无穷小量若lim=",则a(x)是比艮x)低阶的无穷小量-(x)(3)若lim籍会=c(c#0),则称ct(x)与Rx)是同阶无穷小量(x)(4)若lim落)=1,则称o(x)与傍x)是等价的无穷小量，记为o(x)-E(x).：(x)(5)若lim源告=c(c,0),kA0,则称«(x)是*x)的k阶无穷小量2.常用的等价无穷小量当XT0时，(命题重点，历年必考)sinx121-co)sX2(1+x-1(x(ct是实常数)(必记内容，理解掌握)arcsinxtanxx,arctanxln(1+x)eX-1(五)重要定理定

6、理1limf(x)=A=f_(x0)=f(X0)=A.XT一定理2!imf(x)=Auf(x)=A+a(x),其中Jima(x0.定理3(保号定理)：设Jjmf(x)=A,又AA0(或A<0),则三一个5>0,当xE(Xd-6,为+8),且xIxd时,f(x)A0(或f(x)<0).定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限定理5(夹逼定理)：设在X的领域内，恒有甲(X)苴f(x)(x)，且Jim卬(x)=Jim©(x)=A，则Jimf(x)=A.定理6无穷小量的性质：(1) 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；(2) 有限个无穷小量的

7、乘积为无穷小量；(3) 无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7在同一变化趋势下，无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量.定理8极限的运算法则：设limfx=A,limgx=B，则lim(f(x)二g(x)=A二Blimf(x)g(x)=ABf(x)A(3) lim(B-0)g(x)b定理9数列的极限存在，则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限.定理10初等函数在其定义域的区间内连续.定理11设f(x涯续，则f(x)也连续.(六)重要公式(重点记忆内容，应考必备)sinxlim1x0x=e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设11n观1x)x.e，nim(1

8、-)limf(x)=0，且f(x)#0则有limS：fx=1,lim|1.fxrT=e)aoxf/flfKanj=m.(3)limmm1x2°xpx川bmj_xbm(4) 函数f(x)在x=冷处连续Uf_(x0)=f+(x0)=f(x0).(5) 当xt士冷时，以下各函数趋于七c的速度lnx,xaa0,ax(a1),xx速度由慢到快lnn,naa0,an(a1),n!,nn°r-jC速度由慢到快(6)几个常用极限ljm，Va(a>0)=1,!imn=1，JIlimarctanxx.二231limarctanx=一x；二2limarccotx=0,x.二，limarcc

9、otx如x.limex；二=0limxx=1.x0连续函数的概念1.f(x辰x=x0处连续，需满足三个条件: f(x点X0的某个领域内有定义 f(X产XTX时的极限存在(x产(X)-5,X)构有定义，且limf(x尸:f(x) 四f(x)=f5村胞0匈=!理。(冷+*尸(冷)=0.产Xo左连续：f2. fX3. f(x声Xo右连续：f(x走X),x)懦户有定义，且lim(x)=f(Xo)4. f(x忙(a,b)内连续:如果f(x)在(a,b)内点点连续.5. f(x博&,b内连续：如果f(x)在(a,b)内连续，且左端点x=a处右连续，右端点x=b处左连续.(八) 连续函数在闭区间上的

10、性质(重点记忆内容)1 .有界性定理：设函数f(x)在Eb上连续，则f(x)在ia,b上有界，即三常数M0,对任意的XE&,b,恒有f(<M.2 .最大最小值定理：设函数f(x)在la,b上连续，则在la,b上f(x)至少取得最大值与最小值各一次，即苹,n使得：)=嘎*(对，'崩，心fL)=mf(对，心【a，】b3 .介值定理：若函数f(x)在fe,b上连续，H是介于f(a)与f(b)(或最大值M与最小值m)之间的任一实数，则在fe,b上至少三一个&使得f(勺K.(a展<b).4.零点定理：设函数f(x)在la,b上连续，且f(a)，f(b)<0,则在

11、(a,b)内至少一个-,使得f=0a：:b.(九) 连续函数有关定理1.连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数.2. 反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数，其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续.3. 复合函数的连续性：u=%x)在点冷连续，平(Xo)=Uo,而函数y=f(u推点u0连续，则复合函数y=f中(x)在点Xo连续.4. 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数.X=Xo处间(十)间断点的定义及分类若在x=为处，lif(X开存在，或f(X)尹定义，或理f(X/f任)则称f(x)在断，X=Xo称为f(

12、X)的间断点.2.间断点的分类间断点的类型条件例子可去,sinx,第一型间f(Xo0)=f(Xo+0)/f(Xo)x=0是f(x)=的可'*X类间断点去型间断点跳跃-1,断点型间f(X。0)壬f(Xo+0)x=0是f(xparctan的断点跳跃型间断点无穷一1.第一型间f(X0-0)f(X0+0尚一是无穷大x=0是f(x)=的无为类间断点型间断点振荡-一1,一断点型间f(x00)f(x0+0)之一不存在且x=0是f(x)=sin的振断点不是无穷大荡型间断点一、函数、极限、连续(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列«，,如果存在常数A,对任给60,存在正整

13、数N,使当nN时，恒有XnA8,则称A是数列xJ的当n趋于无穷时的极限，或称数列x。收敛于A，记为limXn=A.若n冷的极限不存在，则称数列Ln发散.收敛数列的性质：(1) 唯一性：若数列冷收敛，即pm、=A,则极限是唯一的.(2) 有界性：若nXn=A，则数列"有界，即存在MA0,使得对协均有|xjM.(3) 局部保号性：设nimXn=A，且A0(或A0)则存在正整数N,当nAN时，有天0(或0).(4) 若数列收敛于A，则它的任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当xTXo时，f(x户A为极限limf(xjAS>0d>00中一对6|f

14、(x)*&当xT时，f(xA为极限limf(x泠x_斗fS>0XA0|x|X|f(x)+#名称表达式任给存在当时恒有当xt；书时，f(x)以A为右极限limf。J=Adeff(x040)S>0d>0x。<x<x。+5|f(x)3遂当xm_0时，f(x)以A为左极限limfq=Adeff奂_0)。d>0x。<x<x。|f(x)3|当xt时，f(x)以A为极限li*f(xAdeff(bc)S>0X>0xX|f(x)*&当xtM寸,f(x火A为极限limf(xJ=Adeff(皿)S>0X0x<_X|f(xT<

15、;&(三)函数极限存在判别法(了解记忆)1. 海涅定理：阻f(x)=Au对任意一串人tx0(为工为，n=1,2川)都有!i*f(*)=A2. 充要条件：(1)limf(x)=Aulimjf(x)=limf(x)=A;xX0xto'xx-(2)limf(x)=A：二limf(x)=limf(x)=A.x_x_Jx_：3. 柯西准则：limf(x)=Au对任意给定的耳>0,存在&:>0,当x：xo0<xix°|0<x2-xo|<&时，有fa)-f02)<矿4. 夹逼准则：若存在&>0,当0<|x-x0

16、|时,有8(x)4f(x)<0(x),且lim%x)=lim*(x)=A,则x*0x汗limf(x)=A.5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的xi,x2,x<x2,有f(x)<f(&)(或f(为)>f(x2),且存在常数M,使f(x)<M(或f(x)M)，则l%f(x怜在.(四)无穷小量的比较(重点记忆)1.无穷小量阶的定义，设limo(x)=0,limE(x)=0.(1) 若lim号=0,则称ct(x)是比E(x)高阶的无穷小量.(x)(2) 若lim祭也=°°,则ot(x)是比Rx)低阶的无穷小量.(x)(3) 若lim祟次=c

17、(c#0),则称o(x)与氏x)是同阶无穷小量.：(x)(4) 若响号号H,则称口(x)与Rx)是等价的无穷小量，记为o(x)2.0(x).(5) 若lim*(x)=c(c#0),k0,则称a(x)是Rx)的k阶无穷小量：(x)2.常用的等价无穷小量(命题重点，历年必考)arcsinxtanxIx,arctanxln(1+x)eX1(五)重要定理sinx121-Co)sX2(1+X平一1(X(0(是实常数)(必记内容，理解掌握)正理1limf(x)=A:二f(x0)=f"(X0)=A.xt定理2limf(x)=Auf(x)=A+a(x),其中lima(x)=0.X_X0XX。定理3(

18、保号定理)：设既f(x)=A,又A>0(或A<0),则三一个&>0,当X走(X。一&X。+6),且xIXd时,f(x)>0(或f(x)<0).定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限.定理5(夹逼定理)：设在X0的领域内，恒有甲(X)苴f(X)<P(X)，且lim野x)=lim©(x)=A，则limf(x)=A.XX0X_0X_0定理6无穷小量的性质：(1) 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；(2) 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；(3) 无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7在同一变化趋势下，无穷

19、大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量.定理8极限的运算法则：设limf(x)=A,limg(x)=B，则(1)lim(f(x)_g(x)=A_Blimf(x)g(x)=ABf(x)A(3)lim(B=0)：)B数列的极限存在，则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限.初等函数在其定义域的区间内连续.定理定理g(x)910定理11设f(X淮续，则f(X)也连续.(六)重要公式(重点记忆内容，应考必备)sinx(1)lim=1X0X1;1n!四(1十x)x=em(1十一)=e.(通过变量替换，这两个公式可与成更加一般的形式：设limf(x)=0，且f(x)。0则有limsinf

20、(X)=1,lim1+f(x亡=e)fx-0,n:：m(3)limaoX/aiXm：地0"+an=d史，n=m.xf'boxbiX一IIIbm1Xbmbo!-,n.m(4) 函数f(X)在X=X)处连续Uf_(Xo)=f+(Xo)=f(Xo).(5)当XTE时，以下各函数趋于七C的速度lnx,xaa.O,aX(a1),XX速度由慢到快'"速度由慢到快(6)几个常用极限nnT-Helimva(a乂)=1,n二lim布=1,nlimarctanx=x二23TlimarctanX-：X；：:2limarccotx=0,X.二limarccotx-：二xr:lime

21、Xlimex=：,XlimxX=1Xo连续函数的概念1.f(X沮X=Xo处连续，需满足三个条件:lnn,naaO,an(a1),n!,f(X走点Xo的某个领域内有定义 f(x严XTXo时的极限存在 limfx=f为=limLy=lim|f为x-fxo=o.2. f(x淮xo左连续：f(x沮(x)ex)，有定义，且limf(x)=f(X3)xk3. f(x帷xo右连续：f(x产M,为帮朴有定义，且limj(x)=f(X)4. f(x淮(a,b)内连续:如果f(x)在(a,b)内点点连续.5. f(x并ia,b内连续：如果f(x)在(a,b)内连续，且左端点x=a处右连续，右端点x=b处左连续.(八)连续函数在闭区间上的性质(重点记忆内容)1. 有界性定理：设函数f(x)在la,b上连续，则f(x)在fe,b上有界，即三常数MA。,对任意的x金h,b】,恒有f(x$至M2. 最大最小值定理：设函数f(x)在Rb】上连续，则在la,b】上f(x)至少取得最大值