(通用版)中考数学总复习优化考点强化练17《直角三角形与锐角三角函数》(教师版)

1、考点强化练17直角三角形与锐角三角函数基础达标一、选择题1.已知在ABC中,C=A+B,则ABC的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形D.钝角三角形答案C2.如图,在RtABC中,C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于()A.35B.45 C.34D.43答案A解析在RtABC中,AB=10,AC=8,BC=AB2-AC2=102-82=6,sinA=BCAB=610=35,故选A.二、填空3.如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan BAC=13,AC=6,则BD的长是. 答案2解析四边形ABCD是菱形,AC=6,ACBD

2、,OA=12AC=3,BD=2OB.在RtOAB中,AOD=90°,tanBAC=OBOA=13,OB=1,BD=2.4.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为米(结果保留根号). 答案1 200(3-1)解析由于CDHB,CAH=ACD=45°,B=BCD=30°,在RtACH中,CAH=45°AH=CH=1200米,在RtHCB中,tanB=CHHB,HB=C

3、HtanB=1200tan30°=120033=12003(米).AB=HB-HA=12003-1200=1200(3-1)米.三、解答题5.如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(精确到0.1 m)(参考数据:21.414,31.732)解如图所示,过点A,D分别作BC的垂线AE,DF交BC于点E,F,所以ABE,CDF均为直角三角形,又因为CD=14m,DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且FC=73(m)12.1(m)所以BC=7+6+12.1=25.1(m).6.计算:(1-2)2-1-220+sin 45°+12-1.解

4、原式=2-1-1+22+2=322.7.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°712,cos 35°56,tan 35°710)解作ADBC交CB的延长线于点D,设AD为xm,由题意得,ABD=45°,ACD=35°,在RtADB中,ABD=45°,DB=x.在RtADC中,ACD=35°,tanACD=ADCD.xx+100=7

5、10,解得,x233.答:热气球离地面的高度约为233m.能力提升一、选择题1.已知为锐角,且2cos (-10°)=1,则等于()A.50°B.60° C.70°D.80°答案C2.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan BAC的值为()A.12B.1C.33D.3答案B解析连接BC,由网格可得AB=BC=5,AC=10,即AB2+BC2=AC2,ABC为等腰直角三角形,BAC=45°,则tanBAC=1.3.一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行3

6、0海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,则海岛B离此航线的最近距离是()(结果保留小数点后两位)(参考数据:31.732,21.414)A.4.64海里B.5.49海里 C.6.12海里D.6.21海里答案B解析如图所示,由题意知,BAC=30°,ACB=15°,作BDAC于点D,以点B为顶点、BC为边,在ABC内部作CBE=ACB=15°,则BED=30°,BE=CE,设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=3x,AC=AD+DE+CE=23x+2x,AC=30,23x+2x=30,解得:x=15(3-1)25.49,

7、故选B.二、填空题4.在ABC中,C=90°,若tan A=12,则sin B=. 答案255解析如图所示,C=90°,tanA=12,设BC=x,则AC=2x,故AB=5x,则sinB=ACAB=2x5x=255.5.如图,在ABC中,AC=6,BC=10,tan C=34,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过点D作DEBC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为. 答案S=-325x2+32x解析(1)在RtCDE中,tanC=34,CD=xDE=35x,CE=45x,BE=10-45x,S

8、BED=12×10-45x·35x=-625x2+3x.DF=BF,S=12SBED=-325x2+32x.6.已知ABC中,AB=10,AC=27,B=30°,则ABC的面积等于. 答案153或103解析作ADBC交BC(或BC延长线)于点D,如图1,当AB,AC位于AD异侧时,图1在RtABD中,B=30°,AB=10,AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=53,在RtACD中,AC=27,CD=AC2-AD2=(27)2-52=3,则BC=BD+CD=63,SABC=12·BC·AD=12×63

9、5;5=153;如图2,当AB,AC在AD的同侧时,图2由知,BD=53,CD=3,则BC=BD-CD=43,SABC=12·BC·AD=12×43×5=103.综上,ABC的面积是153或103.三、解答题7.如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30°,C=45°,AC=2(3+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?解工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.理由是:过点B作BDAC于点D,AB>BD,BC>BD,AC>AB,求出DB长和2.1m比较即可,设BD=xm

10、,A=30°,C=45°,DC=BD=xm,AD=3BD=3xm,AC=2(3+1)m,x+3x=2(3+1),x=2,即BD=2m<2.1m,工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门.8.如图所示,在某海域,一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号,经确定,遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上,且BC=60海里;指挥船搜索发现,在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A,恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救,已知海监船A的航行速度为30海里/小时,则渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援?(参考数据:21.41,3=1.73,62.45,结果精确到0.1小时)解因为A在B的正西方,延长AB交南北轴于点D,则ABCD于点DBCD=45°,BDCD,BD=CD,在RtBDC中,cosBCD=CDBC,BC=60海里,即cos45°=CD60=22,解得CD=302海里,BD=CD=302海里.在