高中数学典型例题解析导数及其应用

1、高中数学典型例题分析第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1 .瞬时变化率：设函数y=f（x）在X。附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为k时,函数值相应地改变少=/0）+*）-/（工），如果当&趋近于0时，平均变化率=/*+&"/（%）趋近于一个常数。（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝zkvzkv对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数C称为函数/（X）在点X。的瞬时变化率。2 .导数：当煮趋近于零时，AD/心。）趋近于常数可用符号记作：Ax当笏0时，/史&"一或记作lim./鬼+里I（W=c,符号“T”Ax

2、av-mjAv读作“趋近于”。函数在心的瞬时变化率，通常称作在工=X。处的导数,并记作/Vo）o3. 导函数：如果/'（X）在开区间（",）内每一点x都是可导的，则称/在区间（劣幻可导。这样，对开区间色,。）内每个值X,都对应一个确定的导数/'（X）。于是，在区间（。,幻内，广（X）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=fix）的导函数。记为广（X）或矿（或义）。4. 导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f（x）,g（x）是可导的，则（/（x）±g（x）'=/'（x）±g'（x）即，两个函数的和（或差）

3、的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设f（x）,g（x）是可导的，则fMg（x）,=fx）g（x）+即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设/（X）,g（x）是可导的，g（x）#O,则fM/W(x)LsM5.复合函数的导数:设函数h=w（x）在点无处有导数矿="'3）,函数），=/'（“）在点x的对应点处有导数）匕=/'（"）,则复合函数y=f（x）在点工处有导数，且y；=）匕6.几种常见函数的导数:C=0(C为常数)（必）'=广（心。

4、）(3)(sinx)9=cosx(4) (cos"=-sinx(Inx=x(exY=ex(8)(/)'=axIna二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则兄=兄比，应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数，层层求导.（2）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后,常出现如下错误，如（cos2x）'=-sin2x实际上应是一2sin2xa（3）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如V=T选成y=»U=v4.V=-W.W=3x计算

5、起来就复杂了O(l-3x)'u3 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度.对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4./'（X。）与的关系广3。）表示/在x=x（）处的导数，即广（心）是函数在某一点的导数：/'（x）表示函数/（X）在某给定区间（",3）内的导函数，此时是在（。寸）上尤的函数，即广（X）是在（。,力）内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数y=/（x）在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数），=/（X）在点X。处连续，未必

6、在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6,可以利用导数求曲线的切线方程由于函数y=/（x）在x=x°处的导数，表示曲线在点P（x°,/（x。）处切线的斜率，因此，曲线），=/在点户（如/（工。）处的切线方程可如下求得：（1）求出函数），=S在点X=xo处的导数，即曲线），=/（X）在点PCW3。）处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：），=）%+/'（互）3-工0），如果曲线y=/（X）在点P（x°,/（x。）的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为X=X°.

7、三、经典例题导讲例1已知>*=（l+cos2x）2，则y'=.错因：复合函数求导数计算不熟练，其2a与x系数不一样也是一个复合的过程，有的同学忽视了，导致错解为:/=-2sin2x（1+cos2x）.正解：设y=u2,w=1+cos2x,则y；=兄矿=2(l+cos2.x)'=2”(-sin2x)(2x)'=2u(-sin2x)2=-4sin2x(1+cos2x)/.yf=-4sin2x(1+cos2x)+i）（x<1）例2己知函数/=；判断f（x）在x=l处是否可导？121 719-（1+Ax）2+1-（12+1）错解：.lim?=1,.广（1）=1。kt

8、oAx分析：分段函数在“分界点”处的导数.须根据定义来判断是否可导1919、-(l+zkv)2+l-(l2+l)做r3r221解：hm=Inn=1项T。-AxAv-K)'AvAy|0+Aa+1)-|(12+1)lim=lim=-,广&版项，Ax2f（x）在X。处不可导.注：AxtO+,指蚩逐渐减小趋近于0：蚩->0一，指k逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即liin/E+W'。）,x-o,包括*项Arx-O',与左x。-,因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定

9、这点存在导数，否则不存在导数.例3求y=2/+3在点P（l,5）和02,9）处的切线方程。错因：直接将P,。看作曲线上的点用导数求解°分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是），'在x=l处的函数值;点。不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.解：.y=2a2+3,./=4x./.y'"=i=4即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y=4x+l.设过点。的切线的切点为（心"。），则切线的斜率为4心，又40=里=尤。一2一p62H=4工0,2a?o8工0+6=0.Xq=1,3©工0一2即切线。的斜率为4

10、或12,从而过点。的切线为:y=4x_1,y=12x_15点评：要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标.例4求证：函数y=x+-图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0x的切线方程.分析：由导数的几何意义知，要证函数y=x+-的图象上各点处切线的斜率都小于1,只x要证它的导函数的函数值都小于1,因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.解：(1)y=x+.矿=1一二<1，即对函数y=x+-定义域内的任一X,其导数值XX"X都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数y=x+-图象上各点处切线的斜率都小于LX(2)令1一-L=0,得x

11、=±l,当x=时，、=1+!=2：当x=-1时，)，=一2,1二曲线y=X+L的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(-1,一2),切线方程分别X为)，=2或y=-20点评：在已知曲线y=f(x)切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)，=/«)的导数值为k时的解，即方程f'(x)=k的解，将方程f'(x)=k的解代入y=/(x)就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程，(x)=k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.例5(02年高考试题)已知a>0,函数f(x)=x3-a,xeO

12、,-k),设巧>0,记曲线y=/(a)在点处的切线为I.(1) 求/的方程；(2) 设I与x轴交点为(巧,0),求证： X2>:若玉>(尸，则“3<x2<%i分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程g,1、E、1r(x+Sxy-a-x3+a解：(1)f(x)=liin=Inn0SxAvr3”&+3x(zU)2+(Ax)3=limAv-H)&=lim3x2+3x*+(Ax)?=3x2no/Vi)=3Xi2.切线/的方程为J-f(xl)=fxx)(xM)即y（玉3-«）=3xl2（x-xl）.（2）依题意，切线方程中令y

13、=0得,麻一q2x?+tzX2=X11 11相=j（2元+a-3*孩）1L2=（i-6T3r（2xi+zz3）>03麻11A2>当而=口3时,“=”成立.3 3/-、1xxx-a 由q）知X2=Xj一_,.X2-%!=-3x3x1L由气云:.JCj>a（此时x2>a）1/.而一而<0,/.拱<xb例6求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.分析：可设P（x,/）为抛物线上任意一点，则可把点P到直线的距离表示为自变量尤的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线工-y-2=0的距离即为本题所

14、求.解：根据题意可知，与直线x-y-2=0平行的抛物线y瑚的切线对应的切点到直线x-y-2二0的距离最短，设切点坐标为（0，好）,那么），|,土=2x1,=2xo=1,/x（）=-211I211-jy切点坐标为（一,一），切点到直线x-y2=0的距离d=一=2 4yl28抛物线上的点到直线的最短距离为一8四、典型习题导练1. 函数y=/（乂）在工=%处不可导，则过点P（x0,/（x0）处，曲线），=fx）的切线（）A.必不存在B.必定存在C.必与x轴垂直D.不同于上面结论2. y=三二在点x=3处的导数是.'/+33. 已知f(x)=axy+3x2+2,若广(1)=4,则。的值为.4.

15、 已知P(1,1),Q(2,4)是曲线y=x2±的两点，则与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程是.5. 如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程.6. 若过两抛物线y=一2x+2和y=-x2+5+b的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线y=-x2+ax+h过定点Q,并求出定点。的坐标.§10.2导数的应用一、知识导学1. 可导函数的极值(1) 极值的概念设函数/(X)在点X。附近有定义，且若对孔附近的所有的点都有/U)</(x0)(或f(x)>/(X。)，则称/(%)为函数的一个极大(小)值，称X。为极大(小)值

16、点.(2) 求可导函数/(x)极值的步骤： 求导数o求方程广(x)=0的根. 求方程/?(x)=O的根. 检验广在方程广=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极小值.2. 函数的最大值和最小值(1)设y=f(x)是定义在区间。,可上的函数，y=/(x)在色寸)内有导数，求函数)，=/'(X)在劣可上的最大值与最小值，可分两步进行. 求)，=/'(X)在(",)内的极值. 将），=/（、）在各极值点的极值与f（a）./（）比较，其中最大

17、的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数/（X）在上单调增加，则/（“）为函数的最小值，了（b）为函数的最大值；若函数/（x）在金/上单调递减，则/（“）为函数的最大值，/'（）为函数的最小值.二、疑难知识导析1. 在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数广（X）取值为o的点称为函数/3）的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数y=lxl在点x=0处有极小值/（0）=0,可是这里的广（0）根本不存在，所以点x=0不是/（x）的驻点.（1）可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数/（X）=x3的导数fx）=3x2,在点x=0处有广

18、（0）=0,即点x=0是/=?的驻点，但从在（-8,*0）上为增函数可知，点x=0不是/'的极值点.（2）求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.（3）在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域

19、内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.2. 极大（小）值与最大（小）值的区别与联系极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间（“，幻内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.三、经典例题导讲例1己知曲线S'.y=-xi+x1+4x及点P（0,0）,求过点P的曲线S的切线方程.错

20、解：/=-2a-2+2x+4,过点P的切线斜率#=），工=4,二过点户的曲线S的切线方程为y=4x.错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P,上述解法对求过点P的切线方程和求曲线在点F处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.正解：设过点F的切线与曲线S切于点。（孔,无），则过点P的曲线S的切线斜率k=yftt=-2x（+2x0+4,又kPQ=.:.-2x02+2x0+4=<>.点.°孔心Q在曲线S上，22r二光=-x（；+x+4%.，代入得2 3，4-v+V+4

21、ao+2xg+4=4 13化简，得一-工0=0,二x（）=0或与=一.若x（）=0,则4=4,过点P的切线3 43 3535方程为y=4x；若与=：,则k=M，过点P的切线方程为），=芹尤.二过点F的曲线S35的切线方程为y=4x或y=例2已知函数/（a）=,疽+3尸_工+1在R上是减函数，求。的取值范围.错解：/z（x）=3ar+6x-l,vf（x）在R上是减函数，二广（x）v。在R上恒成立，3eix2+6x-lv0对一切xe/?恒成立，A<0,即36+1&vO,a<3.正解:fx)=3ax2+6x-,v/(a)在R上是减函数，./'(x)<0在R上恒成立，

22、A<0且“<0,即36+127<0且。v0,/.a<-3.x例3当x>0,证明不等式<hi(l+x)<x.1+xXX证明：y(x)=ln(x+l)一一,g(x)=ln(x+l)x,则/'(x)=；,当x>0时。1+x(1+*)/.f(x)在(0,+oo)内是增函数，.(x)>f(0),BPln(l+x)->0,又gf(x)=f1+x+x当x>0时，g'(x)vO,/.g(x)在(0,e)内是减函数，g(x)vg(0),即ln(l+x)-xvO,因此，当x>0时，不等式一<ln(l+x)vx成立.+xX

23、点评：由题意构造出两个函数/(x)=ln(x+l)一一，g(x)=InCx+l)u利用导数求1+x函数的单调区间，从而导出/(x)>/(0)及g(x)vg(0)是解决本题的关键.例4设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？解：设BD之间的距离为xkm,则AD=Vx解得一二vx<l+202,CD=100-x.如果公路运费为。元/km,3a那么铁路运费

24、为=元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y为：y=*(00-x)+。h，+400,(0<x<100).对该式求导，得/=+,=纠，令矿=°,即得25尸二9(+400),解之得5 Vx2+4005J/+400M=15,x2=-15(不符合实际意义,舍去).且七二15是函数y在定义域内的唯一驻点，所以a-15是函数y的极小值点,而且也是函数y的最小值点.由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时，运费最省.点评：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧

25、.而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数，均可用导数法求其最值.由此也可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例5(2006年四川)函数f(x)=3x+3ax-1,g(x)=fx)-ax-59其中/(工)是/(x)的导函数.(1)对满足一lWoW1的一切。的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围：(2)设a=m2,当实数？在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3R有一个公共点.解：(1)由题意g(x

26、)=3f-0¥+知一5令0(工)=(3-工)“+3疽一5,-<a<对一1匕“<1,，恒有g(x)<0,即0(")vOp(l)vO3x2-x-2<0/Jv7即<).°(_l)v03x2+x-8<02,、故xe-一,1时，对满足一IWqW1的一切。的值，都有g(x)vO.<3j(2)f(x)=3x2-3/?r 当m=0时，/(x)=x3-l的图象与直线)，=3只有一个公共点 当m岸0时,列表：X(fgl)IM(T州，时)时+00+/极大极小/根小=f(W)=-2m2|m|-l<-l又f(x)的值域是R，且在(时,e

27、)上单调递增.当x>m时函数)，=/(x)的图象与直线y=3只有一个公共点当xv时时,恒有f(x)<f(-|m|)由题意得/(-|/n|)<3即2麻时一1=2时'一1<3解得隹(扳,0)U(。,扼)综上，川的取值范围是扳).例6若电灯B可在桌面上一点。的垂线上移动，桌面上有与点0距离为。的另一点A,问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？(ZBAO*BA=r,照度与sin。成正比，与/成反比)分析：如图，由光学知识，照度y与sin。成正比，与，二成反比，/日即y=C(C是与灯光强度有关的常数)要想点A处有最%I尸A<2：0大的照度，只需求y的极值就

28、可以了.解：设。到8的距离为X,贝Isin=-,r=ylx2+a2r99sin(pxx,c_2x-于是y=C=C=C(0<x<oc),y=Cr=0.厂尸99-O9-(r+(r)2(x-+，广)2当/=0时，即方程a2-2x2=0的根为不=a72(舍)与M一V2,在我们讨论的半闭区间0,+8)内，所以函数y=/(x)在点取极大值，也是最大值。即当电灯与。点距离为云时，点人的照度y为最大.(0,半)V2时/+y/X点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得/X)=O且在该点两侧，/'(')的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也

29、是最大(小)值点.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)=ax3+(2a-)x2+2.若x=-是y=/(x)的一个极值点，则。值为()A.2B.-2C.-D.472. 已知函数/(X)=x3+。疽+bx+a2/£x=处有极值为10,则/(2)=.3. 给出下列三对函数：/(x)=-,(x)=-x'求生产了50个单位时的总收入。/=5'(>0),g(x)=X /(-V)=-(-)v,g(x)=log(X);其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是广，g3=4. 已知函数/(工)=疽+3“/+3(“+2口+1

30、有极大值和极小值，求。的取值范围.情况下选那个不带常数的。因为£/(x)，/x=F(x)+cK=Fx=F(b)-F(u).3. 利用定积分来求面积时，特别是位于a轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算,然后求两部分的代数和.三、经典例题导讲例1求曲线)，=sinx与X轴在区间0,2仃上所围成阴影部分的面积S.错解：分两部分，在0/j：sinWx=2,在阮2狗|j：sinx=2,因此所求面积S为2+(-2)二0。分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。正解：S=£sinxdx+sinxdx=2+2=4例2用微积分基本定理证明f(x)dx=f(x)clx+f(x)dx(a<c<b)分析：即寻找/(a)的原函数代入进行运算。解；设矿3)=/(x