椭圆大题题型汇总例题+练习

1、椭圆大题题型解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（ 1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （ 2）联立直线和曲线的方程组；（ 3）讨论类一元二次方程（ 4）一元二次方程的判别式（ 5）韦达定理，同类坐标变换（ 6）同点纵横坐标变换（ 7） x,y ，k( 斜率 ) 的取值范围（ 8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：xx1 x2,yy1y2 ，其中 x, y 是点 A( x1 , y1)，B(x2 , y2 ) 的中点坐22标。2、弦长公式：若点A( x1 , y1)，B(x2 , y2 ) 在直线 ykxb( k0) 上，则 y1kx1b，

2、 y2kx2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x1x2 )2( y1y2 )2( x1x2 )2(kx1kx2 )2(1 k 2 )( x1x2 )2(1k 2 )( x1 x2 )24x1x2 或者22112212AB( x1x2 )( y1y2 )( k x1k x2 )( y1y2 )(1k2 )( y1y2 )(112 )( y1y2 )24 y1 y2 。k3、两条直线 l1 : yk1xb1,l 2 : yk2 xb2 垂直：则 k1k21rr0两条直线垂直，则直线所在的向量v1gv24、韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有两个不同的根x1

3、, x2 ，则x1 x2b , x1 x2c 。aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1 ）和平分（中点坐标公式）。例题1、过点T(-1,0) 作直线l与曲线N： y2x 交于A 、B两点，在x 轴上是否存在一点E( x0 ,0)，使得ABE 是等边三角形，若存在，求出x0 ；若不存在，请说明理由。例题 2、已知椭圆 x2y21 的左焦点为 F，O为坐标原点。2（）求过点O、F，并且与 x2 相切的圆的方程；（）设过点F 且不

4、与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、 B两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴交于点 ，求点 横坐标的取值范围。GG练习 1：已知椭圆 C : x2y 21( a b 0) 过点 (1, 3 ) ，且离心率 e1 。22ab22（）求椭圆方程；（）若直线 l : ykxm(k0) 与椭圆交于不同的两点M 、N，且线段 MN 的垂1直平分线过定点G (,0) ，求 k 的取值范围。练习 2、设 F1、 F2分别是椭圆 x2y21 的左右焦点是否存在过点A ( 5 , 0) 的直线 l 与椭54圆交于不同的两点C、D，使得 F 2CF 2D ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由题型三：动弦过

5、定点的问题例题 3、已知椭圆 C： x2y2 1(a b 0) 的离心率为3 ，且在 x 轴上的顶点分别为a2b22A 1(-2,0),A 2(2,0)。（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线 l : x t (t2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点，直线PA 1,PA 2 分别与椭圆交于M 、 N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。例题4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l：ykxm与椭圆C 相交于A ，B两点（A ， B不是左右顶点）

6、，且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。练习 ：直线 l ：ykxm和抛物线 y22 px 相交于 A 、 B，以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线l：ykxm过定点，并求定点的坐标。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例题 6、已知点 A 、 B、 C 是椭圆 E： x2y21(ab0) 上的三点，其中点 Aa2b2(2 3,0)uuuruuur0uuuruuur是椭

7、圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O，且AC BC，gBC2 AC如图。(I) 求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II) 若椭圆 E 上存在两点P、Q，使得直线PC 与直线 QC 关于直线 x3 对称，求直线PQ的斜率。练习：已知，椭圆C以过点 A（ 1， 3 ），两个焦点为（1， 0）（ 1， 0）。2（ 1） 求椭圆 C的方程；（ 2） E, F 是椭圆 C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与 AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值。题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理-同类坐标变换，将问题解决。M

8、： x2y2uuuruuur例题 7、设过点 D(0,3) 的直线交曲线1于 P、Q 两点，且 DP =l DQ ,求实数94l 的取值范围。例题 8：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y1 x2 的焦点，离心率为2 5 45（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点，交 y 轴于 M 点，若MA1AF ， MB2BF ，求12的值练习： 设椭圆 C : x2y221 (a 0) 的左、右焦点分别为F1、 F2 ，A 是椭圆 C 上的a2一点，且 AF2 F1F20 ，坐标原点 O 到直线 AF

9、1 的距离为1|OF1 |3（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设 Q 是椭圆 C 上的一点，过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P( 1 , 0) ，较 y 轴于点 M，若MQ2QP ，求直线 l 的方程题型六：面积问题例题 9、已知椭圆 C： x2y2622 1 （ a b0）的离心率为, 短轴一个端点到右焦ab3点的距离为 3 。（）求椭圆C 的方程；（）设直线l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为3 ，求2AOB 面积的最大值。练习、如图，直线 ykxb 与椭圆 x2y21交于 A 、 B 两点，记ABC 的面积为 S 。4（）求在 k0 ， 0b 1 的条件下， S 的最大值；（）当 AB2，S1时，求直线 AB 的方程。练习 1、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。() 求椭圆的方程；() 直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A 、 B 两点，当 AOB 面积取得最大值时，求直线 l 的方程。练习2、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为22， F1 ,F2 为其焦点，一直线过点F1 与椭圆相交于A, B 两点，且F 2 AB的最大面积为2 ，求椭圆的方程。题型七：弦或弦长为定值问题例题x2y21（ a,b>0