苏教版高中数学必修4-2.4《平面向量的数量积：定义与运算律》参考课件

1、定义与运算律已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量

2、已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90

3、时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| cos| cosabababab 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例1 1：已知：已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a

4、与与b b的夹的夹角角=120=120，求，求a ab b。例例2：已知：已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积。的乘积。注：投影有正，有负，有0.随堂练习：随堂练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则

5、，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacba 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .

6、ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例4、2 ) (3 )2 ) (3 )abababab求求（。|6,|4,|6,|4,abababab已已知知与与60 ,60 ,o o 的夹角为的夹角为解解:例例5：用向量方法证明：直径所对的圆：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ，由此可得：由此可得：, ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A