高等数学复习

1、第第九九章章 重积分重积分习题课习题课 (二二)三三 重重 积积 分分一、三重积分的概念一、三重积分的概念 1定义定义: niiiiivfdvzyxf10 ) , ,(lim) , ,(2物理意义物理意义: ) , ,(dvzyxM的空间物体的空间物体 的质量的质量。表示体密度为表示体密度为 ) , ,(zyx 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 1.线性性质：线性性质： dvzyxgzyxf) , ,() , ,( dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(2.可加性：可加性： 21) , ,(dvzyxf 21) , ,() , ,(dvzyxfdvzyxf dvV4. 单调性：单

2、调性：若若 在上，在上， ，则，则 ), ,(), ,(zyxgzyxf dvzyxgdvzyxf) , ,() , ,(5估值性质：估值性质：MVdvzyxfmV ) , ,(的体积，则在的体积，则在 上至少存在一点上至少存在一点 ，使得，使得 ), ,( Vfdvzyxf ),() , ,(3. 的体积：的体积： 7. 中值定理：中值定理：设函数设函数 在闭区域在闭区域 上连续，上连续， 是是 ), ,(zyxf V, 则则 ),(,),(zyxMzyxfm三、三重积分的计算方法三、三重积分的计算方法 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算 ) , ,() , ,(dxdydzzyxfdvzy

3、xf(1) “先一后二先一后二”法法 ) ,( ), ,() ,(| ) , ,(21Dyxyxzzyxzzyx 则则 ) ,( ) ,( 21) , ,() , ,(yxzyxzDdzzyxfdxdydxdydzzyxf(2) “先二后一先二后一”法法 其中其中 是竖坐标为是竖坐标为 的平面截的平面截 闭区域所得到的一个闭区域所得到的一个zDz 平面闭区域，则平面闭区域，则 zDccdxdyzyxfdzdxdydzzyxf ) , ,() , ,(21若若 为为 在在 面上的投影区域面上的投影区域 Dxoy) ,( ,| ) , ,(21zDyxczczyx 若若2利用柱面坐标计算利用柱面坐

4、标计算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 zzzz则则 ) ,sin ,cos() , ,(dzdrdzfdxdydzzyxf ),( ),( )( )( 2121) ,sin ,cos(zzdzzfdd3利用球面坐标计算利用球面坐标计算若若 ),()( ), ,() ,(| ) , ,(2121 rrrr ) , ,(dxdydzzyxf则则 2sin)cos ,sinsin ,cossin(ddrdrrrrf ),( ),( 2)( )( 2121sin)cos ,sinsin ,cossin(rrdrrrrrfdd四、三重积分的应用四、三重积分的应用 (1)质量

5、质量 ) , ,(dvzyxM(2)质心质心 ， ， 1dvxMx 1dvyMy 1dvzMz(3)转动惯量转动惯量 22)(dvzyIx 22)(dvzxIy 22)(dvyxIz1几何应用几何应用2物理应用物理应用 dvV空间立体空间立体 的体积的体积 五、三重积分的解题方法五、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标 三种坐标计算。通常要判别被积函数三种坐标计算。通常要判别被积函数 和积分区域和积分区域 ) , ,(zyxf 所具有的特点。如果被积函数所具有的特点。如果被积函数 222( , , )()f xyzg

6、 xyz 积分区域积分区域 的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果 被积函数被积函数 ，则可采用先二后一法计算；如果，则可采用先二后一法计算；如果 )() , ,(zgzyxf 被积函数被积函数 ，积分区域，积分区域 为柱或为柱或 的投影的投影 )() , ,(22yxgzyxf 是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备， 则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：则采用直角坐标计算。三重积分计算的解题方法流程图如下：( , , )DIf x y z dv 利用球面极坐标计算利用球面

7、极坐标计算先一后二的方法先一后二的方法1212:( )( )( , )( )( , )rrr 2sindvrd d dr ( , , )( )f x y zg z 21( ) ( )ccIg z S z dz YesNoNoYes 转化为三次积分转化为三次积分 先二后一的方法先二后一的方法求求D1及截面面积及截面面积( )S z 求求12,c c21( , )( , )xyhx yh x yDIdxdyfdz 确定确定xyD 上顶曲面上顶曲面 下顶曲面下顶曲面21( , )( , )z h x yz h x y 为柱为柱或或 投影为圆域投影为圆域22()fg xy 投影为圆域投影为圆域222(

8、)f gxy z 利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算 确定确定12( )( )xyD 21( , )( , )xyzzDIdxdyfdz 上顶曲面上顶曲面 下顶曲面下顶曲面21( , )( , )zzzz 利用直角坐标计算利用直角坐标计算YesNo1231112解题方法流程图解题方法流程图分析分析 由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应由于积分区域是由四个平面所围成的四面体，故本题应考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路考虑利用直角坐标计算；即按照框图中线路1 1 1111的方法计算。的方法计算。 解解: （如图）在平面（如图）在平面 上的投影域上的投影域 . xoyxyD10 ,10

9、 : xxyDxy的上顶曲面的上顶曲面 为为 ， 1 yxz 1即即 ： 。 10 ,10 ,10 xxyyxz【例【例1】 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 为平面为平面 ， 3)1(zyxdxdydz 0 x ， ， ，所围成的四面体。，所围成的四面体。 0 y0 z1 zyx下顶曲面下顶曲面 为为 。 0 z2 于是，得于是，得xyz111oxyD 六、典型例题六、典型例题 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1 0 31 0 1 0 )1(1 xdyyxdx1 0 21 0 )1(14121 1 0 11214121dxxx 852ln21【例【例2】 计算三重积

10、分计算三重积分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dxdydzzxy32 xyz 与平面与平面 ， 及及 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 xy 1 x0 z分析分析 由于积分区域和被积函数不具有利用由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一先二后一”、 柱面柱面 坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标坐标和球面坐标计算的特点，所以，本题考虑利用直角坐标来计算，即按照框图中线路来计算，即按照框图中线路1 11的方法计算。的方法计算。 解解: (1) 求求 （如图）在平面（如图）在平面 上的投影区域为上的投影区域为 xoyxyD10 ,0 : xxyDxy(2) 确定上顶曲面确定上顶

11、曲面 及下顶曲面及下顶曲面 。1 2 0 xyz(3) 转化为先对转化为先对 后对后对 的三次积分计算：的三次积分计算：zyx , dxdydzzxy32 xyDdzzxydxdyxy 0 32 xyDdxdyyx6541 xdyyxdx 0 651 0 413641 因为当因为当 时满足时满足 ， ,0 x0 yxyDyx ) ,(。因此。因此1 xyz :2 0: zzoxyz xy yx【例【例3】 计算三重积分计算三重积分 。其中。其中 是由曲面是由曲面 dvyx)(22 zyx222 及平面及平面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 2 z分析分析 由于积分区域由于积分区域 在在 坐标

12、面上的投影区域为圆域坐标面上的投影区域为圆域 xoy4 :22 yxDxy且被积函数中含有且被积函数中含有 ，所以可采用柱面，所以可采用柱面 22yx 坐标计算，即按照框图中线路坐标计算，即按照框图中线路1 12的方法计算比较简单。的方法计算比较简单。 解：积分区域解：积分区域 的如图所示。的如图所示。 在柱面坐标下在柱面坐标下 20 , 20 , 22:2z故有故有 dvyx)(22 2 2 22 0 2 0 2dzdd 2 0 23)22(2d2064)61( 316xyzo222【例【例4】计算三重积分】计算三重积分 . 其中其中 是由锥面是由锥面 zdxdydz 22yxRhz 与平面

13、与平面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 hz )0 , 0( hR被竖坐标为被竖坐标为 的平面所截的平面闭区域为圆域的平面所截的平面闭区域为圆域 z22222 :hzRyxDz 故本题利用直角坐标系中故本题利用直角坐标系中“先二后一先二后一”的方法，即按照框图中的方法，即按照框图中面上的投影区域为圆域面上的投影区域为圆域 ，222 :RyxDxy 所以本题也可采用柱面坐标计算，即所以本题也可采用柱面坐标计算，即按框图中线路按框图中线路1 12的方法计算。的方法计算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。由于由于 ， 0 ,) ,( | ) , ,(hzDyxzyxz

14、 线路线路3的方法来计算比较简便；考虑到积分区域的方法来计算比较简便；考虑到积分区域 在在 坐标坐标 xoy 分析分析 由于被积函数由于被积函数 只与变量只与变量 有关，且积分区域有关，且积分区域 z zzyxf ) , ,(xyzoRRhzDxyzoRRhzD其中其中 ，故，故 22222 :hzRyxDz zdxdydz zDhdxdyzdz 0 hdzhzRz 0 222 hdzzhR 0 3222241hR 解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下 20 ,0 , :RhzRh故有故有 zdxdydz hRhRdzzdd 0 2 0 RdRhh 0 2

15、222)(212RRhh042222)421( 2241hR 注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但来计算，但“先二后一先二后一”法相对简便。法相对简便。【例【例5】求】求 ，其中，其中 是由球面是由球面 dxdydzzyxI)(222 zzyx 222所限定的球域。所限定的球域。分析分析 由于积分区域由于积分区域 是由球面所围成的球域，且被积函数是由球面所围成的球域，且被积函数 线路线路2的方法计算比较简单。的方法计算比较简单。 在在球面坐标系下，球面坐标系下，中含有中含有 ，故本题利用球面坐标计算，即框图中，故本题利用

16、球面坐标计算，即框图中222zyx 解：积分区域解：积分区域 的图形如图。的图形如图。 20 ,20 ,cos0 :rxyzo211故有故有 dxdydzzyxI)(222 cos 0 222 0 2 0 sin drrrdd 205sincos512 d12)cos61(2206 【例【例6】设】设 ，计算，计算 ， 10 , 1 :22 zyx dvyxez3)tan(32分析分析 由于积分区域由于积分区域 关于关于 面对称，而函数面对称，而函数 xoz)tan(32yxez关于变量关于变量 为奇函数，所以为奇函数，所以 ，又，又 ，y0)tan(32 dvyxez dv故本题可利用对称性

17、及积分的性质计算。故本题可利用对称性及积分的性质计算。 解：解： dvyxez3)tan(32 dvyxez)tan(32 dv3 dv30 3xyzo11【例【例7】* 设设 连续，连续， ，其中，其中 )(xf dxdydzyxfztF)()(222hz 0 :， 。求。求 ， 。 20)(limttFt dtdF222tyx 分析分析 本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的本题是三重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。由于积分区域综合题目。由于积分区域 为圆柱体为圆柱体, 故应首先利用柱面坐标故应首先利用柱面坐标 将三重积分将三重积分 转化成积分变上限的函数，然后求导，

18、最后转化成积分变上限的函数，然后求导，最后)(tF再利用洛必达法则求极限。再利用洛必达法则求极限。 解解: 由柱面坐标得由柱面坐标得 htdzrfzrdrdtF 0 22 0 2 0 )( )( trdrrhfh 0 23)(32从而有从而有 ；于是；于是 )(3223thfhtdtdF20)(limttFt tthfhtt2)(32lim230 )(3lim230thfht )0(33hfh )0(332fhh xyzoht 型型00【例【例8】设有一物体，占有空间闭区域】设有一物体，占有空间闭区域( , , )|01, 01,01xyzxyz 在点在点 处处 ) , ,(zyx的密度为的密

19、度为 ，计算该物体的质量。，计算该物体的质量。 zyxzyx ) , ,(分析分析 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为 ) , ,(dvzyxM。故只需计算三重积分即可。而积分故只需计算三重积分即可。而积分区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。区域为立体，故可考虑利用直角坐标计算。 解解: 由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为由三重积分的物理意义，可得所求物体的质量为 ) , ,(dvzyxM )(dxdydzzyx 1 0 1 0 1 0 )( dzzyxdydx 1 0 1 0 )21( dyyxdx 1 0 )2121(dxy23

20、,0 xa ya z【例【例9】一均匀物体】一均匀物体(密度密度 为常量为常量)占有的闭区域是由曲面占有的闭区域是由曲面 和平面和平面 所围成所围成.22zxy（1）求其体积；（）求其体积；（2）求物体的重心；（）求物体的重心；（3）求物体关于）求物体关于轴的转动惯量轴的转动惯量.z【1】计算三重积分】计算三重积分 其中其中 是由圆锥面是由圆锥面 zdxdydz 22yxz 与上半球面与上半球面 所围成的闭区域。所围成的闭区域。 222yxRz 分析分析 同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的同上题的分析，本题可考虑用直角坐标系中的“先二先二后一后一”法和柱面坐标方法进行计算。法和柱面坐标方

21、法进行计算。 解法解法1：利用：利用“先二后一先二后一”方法计算。方法计算。因因 0 ,) ,( | ) , ,(RzDyxzyxz 由于当由于当 时，时， ； Rz220 222 :zyxDz 而当而当 时，时， 。 RzR 222222 :zRyxDz yzxo2RRD故需用平面故需用平面 将积分区域将积分区域 划分为两部分：划分为两部分：Rz22 21 220 ,) ,( | ) , ,(1RzDyxzyxz 其中其中22 ,) ,( | ) , ,(2RzRDyxzyxz zdxdydz 21zdxdydzzdxdydz zzDRRDRdxdyzdzdxdyzdz 22 22 0 RR

22、RdzzRzdzzz 22 2222 0 2)(RRRzzRz224222204)4121(41 481R 于是，得于是，得解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下在柱面坐标下 20 ,220 , :22RRz zdxdydz 22 22 0 2 0 RRdzzdd RdR22 0 22)2(212故有故有RR220422)2121( 481R 注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。【2】计算三重积分】计算三重积分 其中其中 是由球面是由球

23、面 dvyx)(22 222yxAz 222yxaz )0( aA和平面和平面 所确定的闭区域。所确定的闭区域。 0 z分析分析 由于积分区域由于积分区域 是由两个球面及平面所围成的球壳体，故是由两个球面及平面所围成的球壳体，故 本题利用球面坐标计算，即框图中线路本题利用球面坐标计算，即框图中线路2的方法计算比较简单。的方法计算比较简单。解：积分区域解：积分区域 的图形如图。的图形如图。 xyzAAao 20 ,20 , :Ara Aadrrrdd 2222 0 2 0 sinsin Aadrrdd 42 0 32 0 sin在球面坐标系下在球面坐标系下 故有故有 dvyx)(22)(5132

24、255aA )(15455aA 【3】 计算三重积分计算三重积分 。其中是。其中是 两个球体两个球体 dxdydzz2 2222Rzyx 及及 的公共部分。的公共部分。 Rzzyx2222 )0( R分析分析 由于由于 在在 平面上的投影区域为圆域（如图），且平面上的投影区域为圆域（如图），且 xoy 的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标的边界曲面是球面，故很容易联想到用球面坐标和柱面坐标计算，即框图中线路计算，即框图中线路2和线路和线路112的计算方法。但由于被积的计算方法。但由于被积 函数函数 而而 的截面面积的截面面积 又非常容易求又非常容易求, 因此，因此， )(zS)

25、() , ,(zgzzyxf 又满足框图中线路又满足框图中线路3的条件，故亦可用的条件，故亦可用“先二后一先二后一”法来求解。法来求解。解法解法1 1：利用球面坐标计算。：利用球面坐标计算。用圆锥面用圆锥面 将将 分成两部分分成两部分3 21 其中其中xyzR2Ro 20 ,23,cos20:1Rr 20 ,30 ,0:2Rr于是，得于是，得 dxdydzz2 2122dxdydzzdxdydzz cos2 0 2222 3 2 0 sincosRdrrrdd Rdrrrdd 0 2223 0 2 0 sincos548059R 解法解法2：利用柱面坐标计算。：利用柱面坐标计算。由于由于 在在 平面的投影区域平面的投影区域 ； xoy43:222RyxDxy 故在柱面坐标下，故在柱面坐标下， 20 ,230 , :2222RRzRR于是有于是有 dxdydzz2 2222 223 0 2 0 RRRRdzzdd dRRRR23 0 3222322)()(32 dRRRRRR23 0 322222322433)(232 dRRRR23 0 22223223)(232 dRRR23 0 32)43(3223023222522)(23)(543RRR 230234)243(32RRR 548059R 解法解法3：用：用“先二后一先二后一”法计算。法计算。用平面用平面