一次函数图象的平移变换问题探究

1、一次函数图象的平移变换问题的探究所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P(x,y)平移规律如下:(1)将点P(x,y)向左平移(2)将点P(x,y)向右平移a个单位，得到Pi(xa,y)a个单位，得到F2(x+a,y)(3)将点P(x,y)向下平移a个单位，得到P3(x,y-a)(4)将点P(x,y)向上平移a个单位，得到P4(x,y+a)反之也成立卜面我们来探索直线的平移问题222【弓I例1】探允一次函数l:y=-x与11：y=-x+2,12：y=-x2的关系.

2、333【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3个函数的图象(如图1),观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3条平行的直线.(这是因为它们的k值相同)；从数量上看，对于同一自变量的取值(不妨取x=0即直线与y轴的交点)，可以看出直线li在直线1的上方2个单位处，直线12在2直线1的下万2个单位处，因此，一次函数11：y=x+2的图象可3以看作是由正比例函数1y=2x3的图象沿y轴向上平移2个单位得到的；一次函数12：y=2x2的图象可以看作是由正比例函数1:y=2x的图象沿y轴向下平移2个单位得到33的.【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=k

3、x的图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移b个单位长度得到的一条直线【应用】：例1、(08上海市)在图2中，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是分析：观察图像发现直线OA是正比例函数的图象，可设直线OA的解析式为y=kx,又点A(2,4)在函数图像上，所以4=2k即k=2,又一次函数的图像是由直线OA向上平移1个单位得到,故这个一次函数的解析式为y=2x+1.22【弓I例2】探究一次函数l:y=£x与l1:y=-(x+3),33y=(x3)的关系.3的直线.(这是因为它们的k值相同)；从数量上看，对于同一因变量的取值(不妨取

4、y=0,即直线与x轴的交点)，可以看出直线l1在直线l的左方3个单位处，直线l2在直线l的【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画出3个函数的图象仍然是图1的情况.从位置上看，它们是3条平行右方3个单位处，因此，一次函数2,，一一，一，一，一一，.l1:y=-(x+3)的图象可以看作是由正比例函数l:322y=x的图象沿x轴向左平移3个单位得到的；一次函数l2：y=-(x3)的图象可以看33作是由正比例函数l:y=2x的图象沿x轴向右平移3个单位得到的.3【拓广】：一般地由正比例函数y=kx的图象沿x轴向左平移m(m>0)个单位，得到

5、m (m>0)个单位，得到的一次的一次函数解析式为y=k(x+m)=kx+km;沿x轴向右平移函数解析式为y=k(xm)=kxkm；综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y值的变化，直线左右平移时影响x值的变化.【应用】：(08年武汉市)点(0, 1)向下平移个单位后的坐标是2个单位后的解析式是直线y 2x 1向右平移2个单位后的解析式,直线y 2x 1向下平移如图，已知点C为直线yx上在第一象限内一点，直线y2x1交y轴于点A,交x轴于B,将直线AB沿射线OC方向平移3J2个单位，求平移后的直线的解析式.分析：点(0,1)向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标减去2,故为(0,

6、1).根据上面拓广的规律直线y2x1向下平移2个单位后的解析式应为y2x12,即y2x1;直线y2x1向右平移2个单位后的解析式应为y=2(x-2)+1即y2x3;解法1:点C为直线yx上在第一象限内一点，OC=3J2可知点C(3,3),将直线AB沿射线OC方向平移3J2个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3即y2x2;解法2：点C为直线yx上在第一象限内一点，OC=3j2可知点C(3,3),将直线AB沿射线OC方向平移3行个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，从而点A(0,1)平移到(3,4),设平移后的直线的解析式

7、为y=2x+b,则有4=6+b所以b=-2,所以所求直线的解析式为y=2x-2.赏析一道函数图象探究题函数是初中数学的重点内容之一，其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的丰富的有价值的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力函数图象探究题便成了近年来各地中考白新亮点，解答这类题的关键是从图象中获取信息，正确地进行形”和数”的转换.现就08年中考有关一次函数图象探究题精选一例，浅析如下，供同学们鉴赏:例(2008江苏南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为*y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系.根据图象进行以

8、下探究:信息读取(1)甲、乙两地之间的距离为(2)请解释图中点B的实际意义;图象理解(3)求慢车和快车的速度;(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；问题解决(5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时分析(1)图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系，从折线中可以看出，当x=0，即两车即将出发时，y=900(km),这说明甲、乙两地之间的距离为900km；(2)当x=4，即慢车行驶4小时，y=0(km),这说明两车之间的距离为0,即两车

9、相遇；(3)两车相遇后继续行驶，快车至乙地停止行驶(折线上为点C)慢车继续向甲地行驶，直至x=12,即慢车行驶了12小时到达甲地(折线上为点D).点D的纵坐标为900(km),这说明慢车12小时行驶的路程为900km，从而可求得慢车的速度，再由两车4小时相遇，即4小时共走了900km，则快车速度可求.(4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，关键是要确定B、C两点的坐标.由图象可知，点B的坐标为(4,0)，点C的横坐标为快车到达乙地的时间，由快车行驶路程抬车行驶速度可得，而纵坐标则为此时两车之间的距离，可由慢车行驶时间被车行驶速度求得，再用待定系数法可求得线段BC所表示的y与x之间的函数

10、关系式.(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车行驶的时间是.代入线段BC所表示函数关系式，可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离，而这也正是两列快车之间的距离，再由快车行驶速度，则可求得两列快车发车的间隔时间，从而问题可解.解：(1)900;(2)图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇.(3)由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km,所以慢车的速度为90075(km/h)；12当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km,所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km/h),所以快车的速度为150km/h.4(4)根据题意，快

11、车行驶900km到达乙地，所以快车行驶四06(h)到达乙地，此150时两车之间的距离为675450(km),所以点C的坐标为(6,450).设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为ykxb,把(4,0),(6,450)代入得04kb,k225,解得4506kb.b900.所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y225x900.自变量x的取值范围是4&x<6.(5)慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是把x4.5代入y225x900，得y112.5此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)，即第二列快