(完整版)三次函数专题

1、三次函数专题一、定义：定义1、形如yax3bx2cxda0的函数,称为“三次函数从函数解析式的结构上命名.22te义2、二次函数的导致y3ax2bxca0,把4b12ac叫做三次函数导函数的判别式.由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性.2一一.一一3.2一般地,当b3ac0时,三次函数yaxbxcxda0在R上是单倜函数；当b23ac.时,三次函数yax3bx2cxda0在R上有三个单调区间.根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论2、对称中央.三次函数fxax3bx2

2、cxda0是关于点对称,且对称中央为点bb,f,此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标.3a3a证实：设函数产力=口户fS肝卜吟g声0的对称中央为nn.按向量一群,一刈将函数的图象平移,那么所得函数刀=/体+僧一内是奇函数,所以+溺+/一工+用-2汽=0化简得：细相+的#+&附,卜日驾+d舟=0上式对丘度恒成立,故筋曰+占=0,得阳二一乡3a用=a#+b届+二腕+d=/(3a所以,函数1y/+彳44口r0的对称中央是一,一丁.3aJtJ可见,y=fx图象的对称中央在导函数y=.的对称轴上,且又是两个极值点的中点,同时也是二阶导为零的点.3、三次方程根的问题.(1)当ndb212ac0时,由于不等

3、式f(x)0恒成立,函数是单调递增的,所以原方程仅有一个实根.(2)当=4b212ac.时,由于方程f(x)0有两个不同的实根x1,x2,不妨设Xix2,可知,(xi,f(xi)为函数的极大值点,(x2,f(x2)为极小值点,且函数yf(x)在(,xi)和(x2,)上单调递增,在xi,x2上单调递减.此时：假设f(xi)f(x2)0,即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧,图象均与x轴只有一个交点,所以原方程有且只有一个实根.假设f(xjf(x2)0,即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧,图象与x轴必有三个交点,所以原方程有三个不等实根.假设f(xi)f(x2)0,即f(xi)与

4、f(x2)中有且只有一个值为0,所以,原方程有三个实根,其中两个相等.4、极值点问题.假设函数f(x)在点x的附近恒有f(x0)f(x)(或f(x0)=3(耳-2+/)02-代).当,三(yo,2-Y5)时/(天)?01/5)在(-8,2-,5)单调喈加工当XE0J5.2+J5)时工冷0-/5)在(2J5,2+J5：单调福少F当木e0+J5.+CO)时0*/5)在(2+4+9)单调增加；综上,/(a)的单调噌区间是(-8,2-/)和(2十J5,十g)pfM的单调城区间是(2-J5,2+收).31)/C力=4041斗当I一/二o时,产,(界)之o,/(公为精函数,故/.)无极值点t当1片式0时,

5、7(埔=0有两个根一金二口一4a?一L啊=q4?_I,由题意知,2(3y/a-1或2m&+J-3,5555二a二一Jo式无解,式的解为43,因此a的取值范围是43.例2、函数f(x)满足f(x)x3f-x2xC(其中C为常数).3(1)求函数f(x)的单调区问；(2)假设方程f(x)0有且只有两个不等的实数根,求常数C;13在2的条件下,假设f10,求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭3图形的面积.解：(1)由f(x)x3f-x2xC,得f(x)3x22f2x1.332取x2,得f23-2f221,解之,得f21,333333f(x)x3x2xC.1从而f(x)3x22x13xx1,3列表如下

6、：x(,3)13(?1)1(1,)f(x)十0一0十f(x)/有极大值有极小值/f(x)的单调递增区间是(3)和(1,)；f(x)的单调递减区间是3,1)(2)由(1)知,f(x)极大值27C；f(x)极小值f(1)1方程f(x)0有且只有两个不等的实数根,等价于f(x)极大值0或f(x)极小值0:常数c3或c1.27或他)x327(3)由(2)知,f(x)0,所以f(x)令f(x)x3x2x10得(x1)2(x1)0,x11,x2所求封闭图形的面积1dx例3、(恒成立问题)函数f(x)cxd有极值.(1)求c的取值范围;(2)假设f(x)在x2处取得极值,且当x0时,f(x)1d262d恒成

7、立,求d的取值范围.解：(1),f(x)12-xcx2f(x)要使f(x)有极值,那么方程f(x)xc0有两个实数解,从而=14c0,c-.4(2) vf(x)在x2处取得极值,.f(2)42c0,c2.1.19f(x)-x-x2xd,32f(x)x2x2(x2)(x1),当x(,1时,f(x)0,函数单调递增,当x(1,2时,f(x)0,函数单调递减.x0时,f(x)在x1处取得最大值7d,6x0时,f(x)1d22d恒成立,671,d-d22d,即(d7)(d1)0,66d7或d1,即d的取值范围是(,7)U(1,).32例4、(信息迁移题)对于三次函数f(x)axbxcxd(a叽定义：(

8、i)f(x)的导数f(x).(也叫f(x)一阶导数)的导数f(x)为f(x)的二阶导数,假设方程f(x)0有实数解,那么称点(x0,f(xo)为函数yf(x)的“拐点；定义：(2)设x0为常数,假设定义在r上的函数yf(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(xox)w%x)2f(xo)恒成立,那么函数yf(x)的图象关于点(xo,f(xo)对称.32(1)己知f(x)x3x2x2,求函数f(x)的“拐点A的坐标；(2)检验(1)中的函数f(x)的图象是否关于“拐点A对称；3,2(3)对于任意的三次函数f(x)axbxcxd(ao)写出一个有关“拐点的结论(不必证实).2 cC/、CC解：(1)

9、依题意,得：f(x)3x6x2,f(x)6x6.由f(x)o,即6x60.x1,又f2,3-2.f(x)x3x2x2的“拐点坐标是(1,2).(2)由(1)知“拐点坐标是(1,2)o而3 232f(1x)f(1x)=(1x)33(1x)22(1x)2(1x)33(1x)22(1x)2=26x266x2444=2f(1)32由定义(2)知：fxx3x2x2关于点(1,2)对称.(3)一般地,三次函数fx3ax,2bxcxd(ao)的“拐点是,f()3a3a,它就是f(x)的对称中央.或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中央;任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5、(与线性规

10、划的交汇问题)设函数了(大)=/斗由/4do瓦W凡4,其中/=3J是f3的导函数.(1)假设尸(7)=/=_36,/(5)=0,求函数/的解析式;(2)假设匚二一6,函数/的两个极值点为为七满足1clx22.设兄二十-6曰十28+10,试求实数兄的取值范围.解：二)：,(I)据题意,/姐工由J(T)=f(习=-36知=1是二次函数尸图象的对称轴又了口,故占=3百=5是方程汽幻口的两根.设八正加计3)05),将1(-1)=-36代入得血=3比拟系数./(r)=*+中5-5)=3-dr-45故/./-靖-45底3为所求.另解：:,汽口)九.厘3,据题意得30一2d十右二5627G+6/+0二367

11、5a+10d+心=0解得a=1b=-3c-空故/=#1次一453为所求.据题意,加苏工力,那么广(工3副7卜/中V-段上沁me又9三是方程/a口的两根,且T(五二1r2口?0/o/W0312-fl03a+2b-6口t!J0那么点9马的可行区域如图二见=g-可工+9+1产.见的几何意义为点P&8)与点卅G-D的距离的平方.观察图形知点,A到直线3八劫一后=口的距离的平方点为厘的最小值(版?2姆-仔_1$3+尸13故总的取值范围是例6:(1)函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.ii)求函数f(x)的单调区间；(ii)证实：假设对于任意非零实数xi,曲线C与其在点Pi(xi,f(x1)处的切线

12、交于另一点P2(x2,f(x2),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3),线段PiP2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S,3,那么呈为定值;S20),请给出类似于(I)(ii)的(2)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a正确命题,并予以证实.解法一：(1)(i)有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+3-3工.3)时,f(x)0;(争亭时,(x)0.因此,正村的单幅递堵区间为.吟,单调递减怪问为,i口1J(ii)曲线C在点Pi处的切线方程为y=(3xi2-1)(x-xi)+xi3-xi,即y=(3xi2-1)x-2xi3

13、.由得x3-x=(3xi2-1)x-2xi3即(x-xi)2(x+2xi)=0,解得x=xi或x=-2xi,故x2=-2xi.S尸广(pJ谒谒?心尸I%,*I进而有(1z.I用x2代替xi,重复上述计算过程,可得x3=-2x2和S2=Z7x4.4又x2=-2xi0,所以Sa=27i6xi40,因此有包.4S2i6(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C,类似于(I)(ii)的正确命题b为：右对于任息不等于的头数x1,曲线C与其在点P(x1,g(xi)处的切线交于另一3a点心(x2,g(x2),曲线C与其在点B处的切线交于另一点P3(x3,g(x3),线段P1P2、P

14、2P3与曲线C所围成封闭图形白面积分别记为Si,S2,那么S为定值.S2证实如下:由于平移变换不改变面积的大小,故可将曲线y=g(x)的对称中央3晨戢3曰平移至标原点.18而不妨设式G=3、,且所产.类WI)(记的计算可湖导二子呻；,&=牝/5：产.,解法(1)同解法一.(2)记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线C,类似于(1)(ii)的正确命题为：4b右对于任息不等于的头数x1,曲线C与其在点P(x1,g(x1)处的切线交于力一点F23a(x2,g(x2),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,g(x3),线段P1P2、P2P3与曲线C所围成封闭图形白面积分

15、别记为Si,S2,那么01为定值.S2证实如下:由虱,三遍4以14d力得名1*?皿、2b,*%所鼠曲线C在点典,烈力处的切囊音程为y=3遍+幼%23：-械十大由网0nCHSly=3a+UXj+cz-2oirifnt+aAX*M或A-Zx,即工i=-2-2l|t故0.(I)假设a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；11(n)假设在区间22上,f(x)0恒成立,求a的取值范围.326、函数f(x)axxbx(其中常数a,bCR),g(x)f(x)f(x)是奇函数.(I)求f(x)的表达式；(n)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.7、在函数f(x)

16、mx3x的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为-,4(1)求m、n的值；(2)是否存在最小的正整数k,使不等式f(x)k1992对于x1,3恒成立？求出最小的正整数k,假设不存在说明理由；一一一1一(3)求证：|f(sinx)f(cosx)|2f(t)(xR,t0).28、函数f(x)(xa)(a-b)(a,bR,a=由于尸工方一9,二at2十25K十匚-=0的两个根分别为工.褊=02&+c-6-=0=m时,又由(*)式得：Sb十匚十i一解得3=-3又由于曲虢r=fG)运用点,所以3=0故,a)=1-3/+12万(II)由二aa所以工)+为？十十在C-0J+g)内无极值点等价于/=也：+

17、口3式+Cm0在?-8,+)内回成立由(+)2i=9-Stz.c-41aH又A=(2b)1-4ac-9(a-l)fa-9)得bjl,9即的取值范围1露x3-x2125、【解析】(I)解：当a=1时,f(x)=2,f(2)=3;f(x)=3x3x,f(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.2(n)解:f(x)=3ax3x3x(ax1).令(x)=o,解得x=0或x=a.以下分两种情况讨论:12,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:X1,0200,2f(x)+0-f(x)Z极大值15af(-)0,0,2即8工,-时,f(x)

18、0f(-)0,5-0.22等价于2805a0,811-20.2a,解不等式组得解不等式组得-5a2,那么-2.当x变化时,f(x),fx的变化情况如下表:1cf(-二)0,L-222.1f(-)0,时,f(x)0等价于a即a或6、,22.因此2a5.综合1和2,可知a的取值范围为0a=g?+l.v2+9+2*+6用为函数是奇的JBG所以-=即点HF意实数工有双f+%+-b+工?一工+j=+l.vT*5+2x4-切从ifij%一i=o上=o,解曰曰=-g5=o：qflyG的解析天达式为sII)由?I知立工)三：一十2工所以g1,)士一一二2.勺g(T)=0,解得二一五./,那么当*c卢逋工卞杼力

19、(:)vo.从而在区间(一口一V.h/F工)后闻函数：)逝七：时耳)a0,从而wCO在区间上是增旃数.由前面讨论知I式幻在区间L2上的最大值与最小值只能在xlKn时取得,而且=虱小卜半,双2)二二因此式L|iJ1.2J-E:最大厅.、期向二里,最小捎为第2)=.337、解：(1)f(x)3mx21,f(1)tan1,m-,n43(2)令f(x)2(x2、T)0,贝Ux在1,3中,x1,却,x)0,f(x)在此区间为增函数f(x)0,f(x)在此区间为减函数*)在*(处取得极大值.、2x,3Bf(x)0,f(x)在此区间为增函数,f(x)在x=3处取得极大值.8分2比拟f(三)和f(3)的大小得：f(x)maxf(3)152(无理由f(3)最大,扣3分)f(x)k1992,k2007,即存在k=