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1、第三节 向量组的秩一、基本概念1、向量组等价设 A :a1,a2 ,L,am ; B : b1,b2 ,L,bn个向量组，若为两ìa1= k11b1 + k12b2+L+ k1nbn ,ïa = k b + kb +L+ kb ,ï22112222nní（1）ïLîïam= km1b1 + km 2b2+L+ kmnbn称向量组 A若可由向量组 B线性表示；ìb1= l11a1 + l12a2+L+ l1mam ,ïb = l a + la +L+ la ,ï22112222mmí（2

2、）ïLïîbn= ln1a1+ ln 2a2+L+ lnmam称向量组 B 可由向量组 A线性表示。若（1）（2）都成立，称两个向量组等价。2、向量组的极大线性无关组设A :a1 ,a2 ,L,an为向 量组，若（1） 存在 r 个向量线性无关；（2） 任意 r +1个向量（如果有）一定线性相关，称 r 个线性无关的向量为向量组 A的极大线性无关组，r称为向量组的秩。3、矩阵的行秩与列秩设 A 为m ´ n矩阵，令æ a1öça ÷A = ç÷ = (b,b ,L,b )2Mç

3、7;12nç÷èam ø称a1 ,a2 ,L,am为矩阵A 的行向量组，其秩称为矩阵的行秩；称b1,b2 ,L,bn 为矩阵 称为矩阵的列秩。A的列向量组，其秩【注解】（1） 极大线性无关组不一定唯一。（2） 向量组a1,a2 ,L,an 线性无关的充分必要条件是a1 ,a2 ,L,an 的秩等于n ；a1,a2 ,L,an 线性相关的充分必要条件是a1,a2 ,L,an的秩小于 n 。（3）设A :a1 ,a2 ,L,am ; A :a1 ,a2 ,L,am , b ,则情形一：向量组 A 与向量组 A 的秩相等的充分必要条件是向量b 可由向量组a1,a2 ,L,an 线性表示。情形二：向量组 A的秩与向量组 A 的秩不等的充分必要条件是向量b 不可由向量组a1,a2 ,L,an 线性表示。（4）设A 为m ´ n 矩阵，B 为n ´ s矩阵，且B = (b1,L,bs ) ，则AB = A(b1,L,bs ) = ( Ab1, Ab2 ,L, Abs ) 。二、性质性质1矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩相等。设A :a1 ,a2 ,L,am；B : b1 ,b2 ,L

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