数学篇数列讲解

1、第五章数列学习要求：1. 了解数列和其通项公式、前 n项和的概念2. 理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前 n项和公式解决有关问题.3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前 n项和公式解决有关问题 .一、数列的概念1. 定义按照一定顺序排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，第 n项，第一项也叫首项 .一般地，常用 a1，a2，a3， an来表示数列， 其中 an 是数列的第 n项，又叫做数列的通项 . 数列记为an例如 , 数列1,3,5,7,2 n1,第 1项是 1，第 2项是 3，第 3项是 5，第

2、n项是 2n1，数列记作2n12. 数列的通项公式数列 an 的第 n项 an 与项数 n之间的关系，如果可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例如，数列 1,3,5,7,2 n1,通项公式是 an2n1.3. 数列的前 n项和对于数列 a1, a2 , a3 , an称 a1a2a3an为这个数列的前n项和，记作 Sn .即 Sna1a2a3an4. 数列 an 的 an 与 Sn的关系例 1 已知数列 an 的前 n项和 Sn 3n2 2n，求数列 an 的通项公式 an解析 : 由 S 3n22n得n所以，当 n2时3 12当 n 1 , a1S1211,满足公式a

3、n65n所以数列的通项公式为 an 6n 5 历年试题（ 2014 年试题）2. 已知数列an 的前 n项和 Snn22n，求（ I ） an 的前三项；（ II ）数列 an 的通项公式解析 ：（ I ）（II）当 n 2,anSnSn 1n22n( n1)22(n 1) 2n 3当 n1时 a11,满足 an2n 3所以数列的通项公式为an2n3（ 2007 年试题）已知数列 an前 n 项和 S n(2n 1)n（ I ）求该数列的通项公式；（ II ）判断 39 是该数列的第几项 .解:（ I ）当 n 2,anSnSn 12n2n2(n 1)2(n 1) 4n 1当 n1时 a13,

4、满足 an4n 1所以数列的通项公式为an4n1(II) 设 39 是 该 数 列 的 第 n 项 ， 则39 4n 1, n 10，即 39 是该数列的第 10 项二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差， 记为 d ，即 danan 1等差数列的一般形式为2. 等差数列的通项公式设 an 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， 则这个数列的通项公式为3. 等差数列的前 n项和公式设 an 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， Sn 为其前 n项和，则或 Sna1 n(n 1)dn124. 等差

5、中项如果 A, B,C 称等差数列， B就称为 A与 C 的等差中项，则 BAC2注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明an 1and 为常量5. 等差数列的性质（ 1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列 .对于等差数列 a1, a2 , a3 , an数列 a , a , a , a也是等差数列，数列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等差数列数列 a1 , a5 , a9 , a13也是等差数列例 2 如在等差数列an 中，已知 a24,a79，求 a12解 析 ： a2 , a7 , a12 构 成 等 差 数 列

6、， 因 为a7a2945，所以 a12a759514（2）对等差数列an ，若 m,n,s,t 均为正整数，且 mnst ，则 amanasat如a1a9a2a8a3a7a4a62a5例 3 在等差数列an中，已知 a2a8 10，求a5解析：因为 a2aaa ，即 2aaa ,所855528(a2a8 )105以， a522例 4 设 an为等差数列 , 其中 a59,a1539，则 a10（ A）24 （B）127 （C） 30 （D）33解析 : 解法一由等差数列an 的通项公式ana1(n1)d知a1 4d 9 a1 14d 39解法二an 为等差数列， 所以 a5 , a10 , a

7、15 也是等差数列，所以， a10 是 a5 与 a15 的等差中项，例 5 在等差数列 an 中，如果 a22,a3 5，则S10_解析： da3a25 2 3，由 a2a1d ,得a1a2d231例 6等差数列 an中，若 a4a5 a690则其前 9项的和 S9（）A.300B.270C. 540D.135解析：an 是等差数列，所以 a4a6 2a5 ，由a4 a5a690得 3a590， a530由 Sn(a1an ) n得， S9(a1a9 ) 9，22又 a1 a9 2a5 ，所以，选 B历年试题（ 2013 年试题）等差数列 an 中，若 a12,a36，则 a2A.3 B.4

8、 C.8D. 12解析： a2a1a3 26242（ 2012 年试题）已知一个等差数列的首项为1，公差为 3，那么该数列的前 5项和为（）A. 35 B.30C. 20D.10解析：由 Sna1 n(n1)d 得n12选 A（ 2011 年试题）已知等差数列an 的首项与公差相等，an的前 n项的和记作Sn ，且 S20840.（ ） 求数列an 的首项 a1及通项公式；（）数列an 的前多少项的和等于84?解析 :（ ） 已知等差数列an 的公差 da1又S20a20 (20 1) d20a 190d210a201211即 210a1840，所以， a14又 da1，即 d4，所以，ana

9、1(n1)d4 (n1)44n即数列 a的通项公式为 an4nn（ ）设Sn84， 又Sn(a1an ) n(4 4n) n2n22n，即 2n2222n84，解得 n6,n7（舍去）所以数列an 的前6项的和等于 84.（ 2009 年试题）面积为6 的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为 d ，求 d 的值 ;在以最短边的长为首项， 公差为 d 的等差数列中， 102 为第几项？解析 : （ I ）由已知条件可设直角三角形的边长分别为ad, a, ad,其中a0,d0,则 (ad)2a2(ad )2 ，得a4d三边长分别为 3d,4 d,5d故三角形三边长分别是3,4,5 . 公差

10、 d1(II) 以 3 为首项，1 为公差的等差数列通项公式为故第 100项为 102（ 2008 年试题）已知等差数列an中,a19,a3a80. 求数列 an的通项公式 ; 当 n为何值时 ,数列 an 的前 n项和 Sn 取得最大值 ,并求该最大值 .解析:设等差数列an的公差为 d,由已知a3a80, 得 2a19d0.又已知 a19,所以 d2.数列 an的通项公式为 a9 2 n1,即nan112n. 解法一：数列an的前 n项和Sn9112nn210nn225.5n2当 n5时， Sn 取得最大值25.112 ,令解 法二： 由 知annan112n0n11,所以数列前5 项的和

11、2最大，最大值为S5a54 d595 4225.5122三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为anq ，即 qan 1等比数列的一般形式为2. 等比数列的通项公式设 an 是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则这个数列的通项公式为3. 等比数列的前 n项和公式设 an 是首项为 a1，公比为 q的等比数列， Sn 为其前 n项和，则或 Sna1an q (q1)1q4. 等比中项如果 A, B,C 称等比数列， B就称为 A与 C 的等比中项，则 B2AC 或 BAC注：一般证明一个数列是等

12、比数列时，经常是按它们的定义证明an 1q为常量an5. 等比数列的性质（1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列.对于等比数列 a1, a2 , a3 , an数列 a , a , a , a也是等比数列，数列1 352n 1a2 ,a4 , a6 , a2n也是等比数列数列 a1 , a5 , a9 , a13也是等比数列例 7 如在等比数列an 中 , a26,a424, 则a6（）A. 8B. 24C. 96D. 384解 析 ： a , a ,a6是等比数列，因为24a6a4244，a4a26a64a4 42496，选 C（2）对等比数列an ，若

13、m,n,s,t 均为正整数，且 m n st ，则 am anas at如 a a a2a a a7a4a a 2198365例如在等比数列an 中，已知 a1 a516，求 a3解析： a 2aa16，即 a16 43153例8 设等比数列an的各 项都为正数，若a3 1,a59，则公比 q=（A）3（B）2（C） -2（D）-3a1qn 1知解析 : 由等比数列an 的通项公式 an例 9 设等比数列an 的公比 q=2，且 a2 a48则a1 a7（A）8（B）16（C） 32（D）64解析 : 由等比数列 an 的通项公式ana1qn 1知例 10在 等 比 数 列 an中 ， 若a3

14、2S25,a42S35 ， 则an的 公 比q _解析：a4a32S35 (2S25) 2(S3S2 )， 又S3S2a3 ，所以 a4a32a3，即 a43a3 ,qa43，填3a3例 11 已知等比数列an中， a210,a320，那么它的前 5项和 S5_解 析 ： 由 a2 10,a320，可求得公比qa3202，从而 a1a210a210q52所以 S5a1 (1 q5 ) 5 (1 25 )155，填 1551 q12例 12已知等比数列an的各项都为正数，a12,前 3 项的和为 14（I ）求该数列的通项公式；（II ）设 bnlog 2 an ,求数列 bn的前 20项的和解

15、析 :（I ）设等比数列an 的公比为 q, 则22q2q214所以 q2q 60, q2,q231(舍去)所以数列的通项公式为an2n（II ） bnlog2 anlog 2 2nn则例 13 设 an 为等差数列 , 且公差 d 为正数 ,已知 a2a3a415,又a2 , a31,a4 成等比数列解析 :由 an 为等差数列知由此得历年试题（ 2015 年试题）若等比数列an 的公比为 3, a49,则 a1A.1B.193C.3D.27（ 2014 年试题）等 比 数 列an中 , 若 a28 , 公 比 为 14a5_（2015 年试题）, 则已 知 等 差 数列 a的公 差 d0,

16、 a1，且n12a1,a2 , a5 成等比数列（I ）求数列an 的通项公式（II ）若数列 an 的前项和 Sn50，求 n.（2013 年试题）已 知 公 比 为 q 的 等 比 数 列an中 ,a24,a532（ I ）求 q；（ II ）求 an 的前 6项和 S6解: （I ）由已知得 a q3a ，即 4q332，解得 q225（II） aa q 1212（ 2012 年试题）已知等比数列an中,a1a2a327（I ）求 a ；2（ II ）若 an的公比 q1,且 aaa13，123求 an 的前 5项和解析 :（I ）因为 an为等比数列，所以 a1a3a22 ，又 a1a2a3 27，可得 a23 27，所以 a23（II）由 a1a2a313，a23得 a1 a310，由 a a a27,a3得 a a9，123213解方程组a1 a310，得a1或9a1a391 a1a11a19由 a（舍去）3，得或12q3q3所以 an的前 5项和 S1(1 35)121513（ 2010 年试题）已知数列1an 中， a12,an 12 an（ 1）求数列 an 的通项公式（