信号与系统-第五章

1、第五章：离散时间信号与系统的时域分析第五章：离散时间信号与系统的时域分析5.1 离散时间信号及基本运算5.2 离散时间系统5.3 离散时间系统的响应5.4 离散时间系统的零输入响应与零状态响应)(kf)(ky激励是离散时间信号响应是离散时间信号离散系统连续傅立叶变换拉氏变换卷积积分微分方程连续时间系统离散傅立叶变换变换卷积和差分方程离散时间系统Z5.1 5.1 离散时间信号及基本运算离散时间信号及基本运算一、离散时间信号1122334k)(2kf1234k)(1kf离散信号离散时间信号，简称离散信号，信号仅在一些离散的时刻才有定义，因此它离散时间信号，简称离散信号，信号仅在一些离散的时刻才有定

2、义，因此它是离散时间变量是离散时间变量tk的函数，用的函数，用f(tk)来表示离散时间信号。来表示离散时间信号。tk表示离散时刻。表示离散时刻。通常离散时刻之间的间隔通常离散时刻之间的间隔T是均匀的，即是均匀的，即T= tk tk-1为常量，故可用为常量，故可用f(kT)来表来表示离散时间信号，简写为示离散时间信号，简写为f(k)，k的取值为整数。的取值为整数。的数值的数值是序号下面画有其函数值是一个序列为整数，例如，离散信号都表示为区分。项两者在符号上不加以与序列的第序列的序列来表示，数学上离散信号用数值0,21, 0,21,)(2)()()( kkfkkkkfkfkkf、常用离散信号1)(

3、)1 (k定义：单位冲激序列0001kk)()()()(2)()()(1)(ikifikkfifikkfkk）加权性：（）筛选性：的性质：（)(k k1012)3( kk1301 2)()()()(ikifkfkfi可表示为：这样任意离散信号单位阶跃序列)2(0001kk)(k01 231k)2( k01 231k4 5 0)() 1()()() 1()()(iikkkkkkk显然：)(k)()()3(kakfk单边指数序列k)(kf0123)sin()()4(kAkf正弦序列变化量。表示相邻样值间弧度的，的单位是，而角频率的单位是角频率有：正弦信号的抽样得到，正弦序列可以从对连续radsra

4、dTkkTtkfkTt/sinsinsin)(0 1 2 3 45 6 7 8k)(kf正弦序列的角频率也是周期信号呢？列是否经抽样后得到的正弦序一个周期的正弦信号，的周期性。有关正弦序列)sin()(kAkf整数。为序列的周期，只能为周期序列的定义：NkfNkf)()(?sinsin)(sin在什么情况下等于kANkANkA必须为整数，对于周期序列即NNN/22。期序列，周期为为整数时，该序列为周当正弦序列的N/2。周期为该序列也为周期序列，数时，即不是整数时，但是有理当正弦序列的222mmN非周期序列。为无理数时，该序列为当正弦序列的/2确定其周期。期性，如为周期信号，判断上述正弦序列的周

5、)2sin()(),3sin()(),54sin()(321kkfkkfkkfN=5N=6(5) 复指数序列 kjkekfkjsincos)(同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则应为整数或有理数，否则不是周期序列。2二. 序列的基本运算与波形变换(1) 相加12( )( )( )f kf kf k （a） （b） （c）序列的相加 (2) 相乘12( )( )( )f kf kf k（a） （b） （c）(3) 差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值的变化率。定义为个序列值的变化率。定义为前向差分： ( )(1)

6、( )f kf kf k 后向差分： (4) 累加对离散时间信号而言，信号的累加定义为对离散时间信号而言，信号的累加定义为()( )kny kfn 即累加后产生的序列在即累加后产生的序列在k k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。) 1()()(kfkfkfk)(kf32101 2k)(kf 32101 2k)(kf32101 2序列反转)5(序列平移)6(k) 1( kf32101 2右移)2(kf32101234左移k(7) 序列的尺度变换序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不

7、同。 y kf ak（1a），是），是 f kaka序列每隔序列每隔-1-1点取一点形成的，即时间轴点取一点形成的，即时间轴压缩了压缩了倍。倍。 y kf ak01a f k11ak1a（），是），是序列每两相邻序列值之间加序列每两相邻序列值之间加个零值点形成的，即时间轴个零值点形成的，即时间轴扩展了扩展了倍。倍。 5.2 离散时间系统主要讨论线性时不变系统。线性系统：时不变系统)()(11kkfy)()()()(22112211kkkfkfycyccc)()(22kykf如果如果则则)()(kykf)()(ikyikf如果如果则则一一. . 离散时间系统分类离散时间系统分类二二. . 离散时

8、间系统的数学描述离散时间系统的数学描述差分方程差分方程一个离散系统可以用差分方程来描述。一个离散系统可以用差分方程来描述。差分方程的应用主要表现在两个方面：差分方程的应用主要表现在两个方面：一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。 在计在计算机得到广泛普及的今天，越来越多的系统都可以利用离散系统进行仿真，从而使系算机得到广泛普及的今天，越来越多的系统都可

9、以利用离散系统进行仿真，从而使系统的分析更为方便。统的分析更为方便。例例1：一个实际的商业银行住房贷款问题：一个实际的商业银行住房贷款问题：（1）设）设P为用户的总借款额，为用户的总借款额，m为贷款期限，为贷款期限，I为银行每月的贷款利息，若用户为银行每月的贷款利息，若用户每月的还款数相同，设为每月的还款数相同，设为D，试证明，用户每月应还贷款的公式为：，试证明，用户每月应还贷款的公式为：（2）若用户总借款额为）若用户总借款额为40万元，贷款期限为万元，贷款期限为20年，银行每月利息为年，银行每月利息为7.2，试问，试问用户每月应还款多少？用户每月应还款多少？PIIIDmm1)1 ()1 (例

10、例2：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）。试求其对应的差分方程方程为：设某一连续系统的微分)()()(tftyty当当T足够小时，足够小时，TkTyTkyty)() 1()()()()()1(kfkyTkyky)()()()1(kTfkTyTkTyTky)()()1()1(kTfkyTky)()()()(kykTykfkTf简写简写解：为离散化，令解：为离散化，令tkT，T为固定正数，为固定正数，k取整数：取整数：)()()(kTfkTytykTt)()()1()1(kTfkyTky或：) 1 () 1 ()1 ()2()0()0()1 ()

11、 1 () 1() 1()1 ()0(TfyTyTfyTyTfyTy这一递归关系式称为常系数差分方程，这一递归关系式称为常系数差分方程， 因因y(k)y(k)自自k k以递增方式给出，以递增方式给出，称为前向形式的差分方程，称为前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程。否则为后向形式的差分方程。阶数。之差称为差分方程式的的最高序号与最低序号未知序列)(ky)()(41) 1(21)2(kfkykyky前向差分方程)()2(41) 1(21)(kfkykyky后向差分方程)()()1()1(kTfkyTky利用计算机来求解微分方程就是根据这一原理来实现的三三. . 离散时间系统的模拟离散时

12、间系统的模拟)(kf)1()(kfky（c）单位延时器)(1kf)()()(21kfkfky)(2kf（a）加法器)(kf)()(kafky（b）标量乘法器 1. 1. 基本模拟元件基本模拟元件 Da2一阶系统的描述与模拟一阶系统的描述与模拟 描述一阶系统的后向差分方程为描述一阶系统的后向差分方程为描述一阶系统的前向差分方程为描述一阶系统的前向差分方程为 )()()1(0kfkyaky)()()1(0kyakfky可表示为： )(kf)1(ky)(ky)()1()(0kfkyaky)(kf)1()()(0kyakfky可表示为：3n阶系统前向差分方程的描述与模拟阶系统前向差分方程的描述与模拟对

13、于描述一个对于描述一个n n阶系统的前向差分方程阶系统的前向差分方程可改写为可改写为可得其模拟框图，如下图所示。可得其模拟框图，如下图所示。)()()1()(01kfkyankyankyn )()()1()(01kfkyankyankyn )(kf4、n阶系统后向差分方程的描述与模拟阶系统后向差分方程的描述与模拟对于描述一个对于描述一个n阶系统的后向差分方程阶系统的后向差分方程可改写为可改写为 可得其模拟框图，如下图所示。可得其模拟框图，如下图所示。)()()1()(01kfnkyakyakyn )(kf)()()1()(01kfnkyakyakyn 若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项

14、，如若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如( )q k且且mn 时，需引入一个辅助函数时，需引入一个辅助函数，使其满足，使其满足就有就有 于是，其模拟图如下图所示。于是，其模拟图如下图所示。 )()1()()()1()(0101kfbmkfbmkfbkyankyankymmn)()()1()(01kfkqankqankqn )()1()()(01kqbmkqbmkqbkymm 一般一般n阶系统的模拟图阶系统的模拟图一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分系统的

15、差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分方程。方程。)(kf程。，写出该系统的差分方、某离散系统如图所示例2)(kf)(ky) 1( kyDD)2( ky)(a2141)(b)(kf)(ky) 1( kyDD)2( ky2141)()()2(41) 1(21)()2(41) 1(21)()()(后向差分为二阶差分方程kfkykykykykykfkya分）二阶差分方程（前向差)()(41) 1(21)2()(41) 1(21)()2()(kfkykykykykykfkyb图输出延时两位。图较下，响应形式相同，但有所不同。在相同输入出端区别，仅输出信号的取、这两个系统没有本质讨论：)()

16、(1ab差分方程比较方便。、一般因果系统用后向2程。惯用前向形式的差分方、在状态变量分析中习3似。方法与后向差分方程类、前向差分方程的求解45.3 离散时间系统的响应一、常系数线性差分方程的求解一、常系数线性差分方程的求解)(.) 1()()(.) 1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn简写成简写成nimjjkfbikyaji00)()( 一般形式一般形式4 4、变换域法（、变换域法（Z Z变换法）变换法）逐次代入求解，逐次代入求解， 概念清楚，概念清楚， 比较简便，比较简便， 适用于计算机，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。缺点是不能得出通式解答。 1 1、迭代法、

17、迭代法 2 2、时域经典法、时域经典法3 3、全响应零输入响应零状态响应、全响应零输入响应零状态响应零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入初始状态的那部分解。初始状态的那部分解。零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种全响应齐次解全响应齐次解 特解特解自由响应自由响应 强迫响应强迫响应 差分方程的完全解为差分方程的完全解为齐次解齐次解和和特解特解之和，

18、即之和，即 ：完全解。：特解；：齐次解；式中)()()()()()(kykykykykykyphph)(. 1kyh齐次解程齐次解就是齐次差分方时域经典法解线性差分方程时域经典法解线性差分方程的解。0)(.) 1()(01nkyakyakyn形式。决定了系统自由响应的固有频率或自由频率，根，也称为系统的，称为差分方程的特征个根对应的nnnnnaaa ,0210111方程是差分方程所对应特征的函数组合，解的形式为kCkckkkrrkrrckckckc012111 )(kyjpejba2, 1特征根特征根单实根单实根 重实根重实根齐次解齐次解)cos(sincoskApkDkCpkk或不同特征根所

19、对应的齐次解形式不同特征根所对应的齐次解形式r。求系统的齐次解程为：描述某系统的差分方例)()()2(2) 1(3)(1kykfkykykyh待定，系数对应的齐次解为2121)2()1()(CCCCkykkh0232系统的特征方程解：2121，系统的特征根齐次解称为系统的齐次解称为系统的自由响应（固有响应）自由响应（固有响应），齐次解的形式仅依赖于系统本身特性，齐次解的形式仅依赖于系统本身特性，与激励信号的形式无关。但齐次解的系数与激励与激励信号的形式无关。但齐次解的系数与激励 有关，只有建立了完全解的关有关，只有建立了完全解的关系式后，才能由系统初始条件确定。系式后，才能由系统初始条件确定。

20、)(. 2kyp特解特解是满足差分方程并和激励信号形式有关的解。下表列出了几种激励及其所对应特解的形式。特解是满足差分方程并和激励信号形式有关的解。下表列出了几种激励及其所对应特解的形式。备注不等于特征根 等于特征单根 重特征根激励特解等于k)(kf)(kypmk011.pkpkpkpmmmmkkpkkpkp01kkkrrkrrpkpkpkp0111.，求系统的全响应。，系统初始条件程为：描述某系统的差分方例2) 1 ()0()(2)()()2(2) 1(3)(1yykkfkfkykykyk0232系统的特征方程解：2121，系统的特征根kkhCCky)2()1()(21对应的齐次解为kpkp

21、kykkf)2()()(2)(时，特解当激励3/2)(3/12)2(2)2(3)2(21kpkkkkkypppp，则特解解系数方程左右相等，求得特，得将特解代入原差分方程3/2)2() 1()()()(21kkkphCCkykyky系统的全响应23/22) 1 (23/1)0(2) 1 ()0(2121CCyCCyyy代入上式得将系统初始条件13/221CC解得032)2() 1(32)(kkykkk系统的全响应经典法解差分方程的流程如下差分方程差分方程齐次解齐次解Ck( (系数待定）系数待定）特解特解完全解齐次解特解（完全解齐次解特解（C待定）待定）对于因果系统，激对于因果系统，激励在励在k

22、0时加入，时加入，则初始条件为则初始条件为y(0), y(1)y(n-1)已确定系数的完全解（全响应）已确定系数的完全解（全响应）如果差分方程右边激励项较复杂，则难以处理；如果激励信号发生变化，则须全部重新求解；该方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。5.4 离散时间系统的零输入响应与零状态响应求系统的零输入响应。且初始状态程为离散时间系统的差分方例：描述一线性时不变, 2)2() 1(),()2(2) 1(3)(yykfkykyky解：齐次差分方程：解：齐次差分方程：0)2(2) 1(3)(kykyky0232该差分方程对应的特征方程：该差分方程对应的特征方程：特征根：特征根：2

23、, 111kkkkziCCCCky)2()1()(2122111662)2() 1(21CCyy代入上式解得：将0)2(16)1(6)(kkykkzi一、零输入响应一、零输入响应零输入响应是输入激励为零时，仅由系统初始状态零输入响应是输入激励为零时，仅由系统初始状态引起的响应；引起的响应；（对于因果系统，激励在（对于因果系统，激励在k0时加入，则零输入时加入，则零输入初始状态为初始状态为y(-1), y(-2) y(-n)）零状态响应是系统的初始状态为零，仅由激励引起零状态响应是系统的初始状态为零，仅由激励引起的响应。的响应。求系统的零输入响应。初始状态激励差分方程为例：一离散时间系统的, 2

24、) 1 (, 1)0(),()(),()2(4) 1(4)(yykkfkfkykyky解：齐次差分方程：解：齐次差分方程：0442该差分方程对应的特征方程：该差分方程对应的特征方程：特征根：特征根：22, 1kkkkzikCCkCCky)2()2()(21210)2(25)(kkkykzi0)2(4) 1(4)(kykyky,45)2(,45) 1(yy解得：1) 1(4421)2(4) 1(41) 1 () 1(4)0(4) 1 ()0()2(4) 1(4)0()2(),1(2) 1 (, 1)0(yyyfyyyfyyyyyyy代入已知数值得的值初始状态用迭代法由初始状态kkzikCCky)

25、2()2()(21代入25, 021CC解得：二、零状态响应二、零状态响应1.离散信号的分解与卷积和离散信号的分解与卷积和任一离散信号任一离散信号f（k）均可表示为单位冲激序列）均可表示为单位冲激序列（k）的延时加权和的延时加权和 )2()2() 1() 1 ()()0() 1() 1()2()2()(kfkfkfkfkfkfnnknf)()(如果已知激励信号为如果已知激励信号为（k）时的系统的零状态响应，记作）时的系统的零状态响应，记作h（k）（单位样）（单位样值响应），根据线性时不变系统的线性与时不变性，可求得系统对任意激值响应），根据线性时不变系统的线性与时不变性，可求得系统对任意激励信

26、号励信号f（k）的零状态响应的零状态响应yzs（k） 。) 1() 1 ()() 1() 1 ()()()0()()()0()()()()()(khfkykfkfkhfkykfkfkhkykkfzszszsnzsnnkhnfkynknfkf)()()()()()(nzsnnkhnfkynknfkf)()()()()()(nzsnnkhnfkhkfkykhkfkhkfnkhnf)()()()()()()()()()()(故：记作：的卷积和与称为2. 卷积和的计算方法卷积和的计算方法n图解法图解法nnkfnfkfkf)()()(*)(2121步骤步骤：换元；换元；折叠；折叠；移位；移位；相乘；相乘

27、；求和。求和。).(*)()(,1 , 1 , 1 , 1)(,3 ,2, 1)(:2121kfkfkykfkf计算已知序列例-112)(2kfk431-112)(1kfk231步骤步骤：换元；换元；折叠；折叠；平移；平移；相乘；相乘；求和。求和。-112)(2nfn431-112)(1nfn231-11-2)(2nfn-4-31-11-2)1 (2nfn-31nnkfnfkfkf)()()(*)(21210)(*)(, 6; 331)(*)(, 5; 53121)(*)(, 4; 6312111)(*)(, 3; 6312111)(*)(, 2; 32111)(*)(, 1; 111)(*)

28、(, 0; 0)(*)(, 02121212121212121kfkfkkfkfkkfkfkkfkfkkfkfkkfkfkkfkfkkfkfk3,5,6,6,3,1)(kyn解析法解析法图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是图解法较为直观，但难以得到闭合形式的解，而解析法可以解决这个问题。通常是利用数列求和公式，求得序列的卷积和。利用数列求和公式，求得序列的卷积和。例例 ：已知某离散系统的单位样值响应：已知某离散系统的单位样值响应试求当激励试求当激励 时时, ,系统的零状态响系统的零状态响应应)()21()(kkhk)()(kkf)(kyzs解：解： 由于 时

29、 ， ， ， 故 和 均称为因果序列。 由卷积和公式得0k0)(kf0)(kh)(kf)(khnzsnkhnfkhkfky)()()()()()()21(1 2)()21(1)21(1)()21()()()21(110kkknknkknnknnnzsnkhnfkhkfky)()()()()()(1kf)(2kf)()(21kfkf)(kf)(k)(kf)(kf)(kknnf)()(k)(k)() 1(kk)(kk)(k)() 1(21kkk)(kak)(k1)(111akaak几种常见序列的卷积和：几种常见序列的卷积和：)(kk)(kak)()1 () 1()(12kaaakakk)(kk)(kk)() 1() 1(61kkkk)(kak)(kak)() 1(kakk)(1kak)(2kak21211211)(aakaaaakk)(1kf)(2kf)()(21kfkf3.离散时间系统的单位样值响应离散时间系统的单位样值响应h（k）对于离散时间系统，当激励信号为对于离散时间系统，当激励信号为（k）时，对应系统的零状态响应称为）时，对应系统的零状态响应称为单位样值响应，记作单位样值响应，记作h（k）。）。求系统的单