信号与系统-第四章

1、第第4章章 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换The Continuous time Fourier Transform本本章的主要内容章的主要内容: :1. 傅里叶变换傅里叶变换;2. 傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系;3. 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换;4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质;5. 系统的频率响应及系统的频域分析系统的频率响应及系统的频域分析. 4.0 引言引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的周在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期趋于无穷大，则周期信号将演变

2、成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。得到对非周期信号的频域表示方法。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换Representation of Aperiodic S

3、ignals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .从傅里叶级数到傅从傅里叶级数到傅里里叶变换叶变换考察周期性矩形脉冲的频谱图：考察周期性矩形脉冲的频谱图：0 10 1110 1sin22sin ()kkTkTTTacTkTT14TT18TT116TT 当当 时，时，(1)(1)周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。的单个矩形脉冲信号。 T 020,T0 110 1sin2kkTTaTkT趋近于趋近于sinc的包络函数。的包络函数。傅里叶级数系数傅里叶级数系数(2)设设: x(t), tW-时，除

4、去不连续点外，上式均收敛于时，除去不连续点外，上式均收敛于x(t)。在不连续点处，呈现起伏，且起伏的峰值大小不在不连续点处，呈现起伏，且起伏的峰值大小不随随W W的增大而减小，但起伏会向不连续点靠近，的增大而减小，但起伏会向不连续点靠近，这种现象称为吉伯斯现象。这种现象称为吉伯斯现象。()X j0 01T12T-WW吉伯斯现象吉伯斯现象W-增加增加( (称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。域之间存在一种对偶关系。5.1，0，()X jWW1sin( )Sa()sinc()2Wj

5、tWWtWWWtx tedWtt()X jWW1 10 0( )x tt(/)W0 0W四、信号的带宽四、信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输

6、即可。为此，需要对信号定义频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法带宽。通常有如下定义带宽的方法:2. 对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽形状的频谱，通常定义主瓣宽度度(即即频谱第一个零点内的范围频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 时时对应的频率范围对应的频率范围, ,此时带内信号此时带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。1.()X j12 对矩形脉冲为可以得出，对矩形脉冲为可以得出，脉宽乘以带宽等于常脉宽乘以带宽等于常数数C (脉宽带宽积脉宽带宽积)。反映了频域和时域的相反关

7、系。反映了频域和时域的相反关系。 |()|X j/2A( )x tt1T1T1 10 0()X j0 01T12T4.2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换The Fourier Transformation of Periodic Signals 到此为止，我们对周期信号用傅里叶级数表示，到此为止，我们对周期信号用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。因为数学描述方法非周期信号用傅里叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下的不一致，在某些情况下, , 会带来不便。但由于周会带来不便。但由于周期信号不满足期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直接从定条件，因而不

8、能直接从定义出发，建立其傅里叶变换表示。义出发，建立其傅里叶变换表示。 这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激。当把周期信号表示为傅里叶级数时，因为当把周期信号表示为傅里叶级数时，因为0( )jktkkx ta e则则0()2()kkX jak 周期信号的傅里叶变换表示周期信号的傅里叶变换表示0( )jktx te0()2()X jk 若若 则则0FT0( ) 2()jtx te 考查考查 这表明：这表明：周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激每一个冲激分别位于信号的各次

9、谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅里叶级数的系数强度正比于对应的傅里叶级数的系数 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej0000() ()() ()()X jjj 0()2()kkX jak 周期信号的周期信号的FT:FT:0001( )cos2jtjtx ttee例例2： 00() ()()X j 0022()()()kkX jkkTT 22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT( )()nx ttnT例例3： 均匀冲激串均匀冲激串4.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Properties of the Fourier Transfo

10、rm 讨论傅里叶变换的性质，旨在通过这些性讨论傅里叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取。换对的求取。1. 线性线性: Linearity则则( )( )()()ax tby taX jbY j( )(),( )()x tX jy tY j若若FTFTFT1212( )( )()()FTjjax nbx naX ebXe连续时间信号连续时间信号: :离散时间信号离散时间信号: :2. 时移时移: Time Shifting这表明信号的时移只

11、影响它的相频特性，其相频这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。特性会增加一个线性相移。( )()FTx tX j则则00()()FTj tx ttX je若若( )(),FTjx nX e若若则则00()()FTjnjx nnX ee连续时间信号连续时间信号: :离散时间信号离散时间信号: : ?)( ) 3()(jXtuetxat3(3)1:( )( )(3)(3)FTatataa teu tjax teu teeu t解Time shifting property331)(jaeajejX例例1:sin 5(1)( ) ()? (1)tx tX jt?(),|5

12、 jX je1111( )();( )()|()|()( )( ).x tX jx tFTXjXjX jx tx t已知和设的为且满足,相位如图,试将用表示例例2:1 () ()X jX ja () ()11() |()|()|() ( )()jX jajX jjajaXjX jeX jeeX jex tx ta *()( )jtXjxt edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()FTx tXj由由()( )j tX jx t edt可得可得3. 共轭及共轭对称性质共轭及共轭对称性质: Conjugate and Symmetry 证明证明: :若若 ( )()x tX

13、 j则则*( )()x tXj连续时间信号连续时间信号: :Re()Re()X jXj即即实部是偶函数实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数Im()Im()X jXj 若若则可得则可得()Re ()Im ()X jX jjX j 若若 是实信号，则是实信号，则( )x t*( )( )x tx t于是有于是有:*()()X jXj实信号的正负实信号的正负频率成份互为频率成份互为共轭对称。共轭对称。()()X jXj() ()X jXj 即：即：模是偶函数，相位是奇函数模是偶函数，相位是奇函数 若若 ()()()j X jX jX je则可得出则可得出 ( )( ),0atx teu taaa01

14、/a()X j12a221(),X ja ()1()|()|jX jX jX jeaj -1()tgX ja /2/2aa ()X j/4/4 如果如果( )()x txt,信号是实偶函数。则信号是实偶函数。则()( )j tX jx t edt表明表明 是实偶函数。是实偶函数。()X j*()()XjXj所以所以*()()X jXj又因为又因为 若若 ,信号是实奇函数，同样可以得出信号是实奇函数，同样可以得出:( )( )x tx t 是虚奇函数。是虚奇函数。()X j()( )()j tjxt edtxedtXj t 4. 微分与积分微分与积分: Differentiation and I

15、ntegration( )()FTx tX j则则( )()FTdx tj X jdt若若dejxtxtj )(21)(证明证明: :微分微分: : 1( ) ()2jtx tjX jed )( )( jXjFTdttdx时域微分性质时域微分性质:由由()( )j tXjx t edt得得()( )j tdX jjtx t edtd所以所以( )()FTdjtx tX jd频域微分特性频域微分特性:连续时间信号连续时间信号: :离散时间信号离散时间信号: :()() ( )jFTdX ejn x nd() ( )()FTdjt x tXjd时域积分性质时域积分性质:)()0( )( )( )(

16、)( - XjjXdxThenjXtxIfFTtFT 0(1)3 : ( )1( 11)()?0(1)FTtx ttXjt 例011t1:( ) (1)(1)( ) (1)(1) (1)(1)(1)(1) (1)(1)( )x tt u tu tx ttttu tu tttu tu tx t 解1( )x t)()(1txdttdx 1sin()2jjXjee FT110t11( )x t11111()()(0 )()(0 )01()()XjXjXjXXjXjj又5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: Scaling 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域

17、扩展 a 倍，倍，则其带宽相应压缩则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。( )()FTx tX j则则1()()FTx atX jaa若若()()jxnX e若若则则( )(),jx nX e时域反转时域反转 (reflaction):当当 时，有时，有1a ()()xtXj( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12T()X j14T0 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响可见，可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系信号在时域和频域之间有一种相反的关系。11()2sin()TXjTc ( )(),0()F

18、Tatx te ut aX j ？1: ()( )1 ( )() F TatF Tatxteu tjax teutja解例例4:4:aa01/a()X j12a/2/2aa ()X j/4/4 ()Xj 带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性1() ()()bjabFTx atbFTx a tXjeaaa? 已知已知x(t)的带宽为的带宽为B,则则x(at)的带宽为的带宽为: (1)B (2)B/|a| (3) |a| B对偶性对偶性6.对偶性对偶性: Duality property若若( )()FTx tX j则则()2()FTX jtx2()()j txXjt edt2()()j

19、txXjt edt()2()FTX jtx1( )()2j tx tXjed证明：证明：)()(1tuetxatFTjajX1)(1jtajtXtx1)()(1)( 2)( 2)(1uexjXat换成Duality property例例5:5:？)(1)(jXjtatxFT()X j1020?0 ()X j 频移频移)(jX)(tx00证明证明: :7.7.频移特性频移特性: :00( ) ()FTjtx t eX j00( ) ()FTjtx t eX j这就是这就是频移性质频移性质00()1()( )( )jtjtj tXjx t eedtx t edt 0 ()X j调幅信号的频谱（载波

20、技术）调幅信号的频谱（载波技术）tjtjetxetxttx00)(21)(21cos)(0 0001( )cos () ()2FTx ttX jX j 00( ) cos, ( ) sin?FT x ttx tt( )r tt( )x t例例6 6：)()(2100 jXjX()X j0000 ( )cos FT x tt0频移AA/20( )( )cosx tg ttsin(/2)( )()2sin ()2FTg tG jc2)(sinc 5 . 02)(sin 5 . 0 )(5 . 0)(5 . 0)(0000cjGjGjX()X j0 01T0.5004/例例7 7：x(t)t18.

21、Parseval定理定理:若若( )()FTx tX j则则221( )()2x tdtX jd 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号能量在表示了信号能量在频域的分布，因而称其为频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。2()X j连续时间信号连续时间信号: :离散时间信号离散时间信号: :若若( )()jx nX e则则2221( )|()|2jnx nX ed 4.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一. .卷积特性：卷积特性： 由于卷积特性的存在

22、，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。( )()FTx tX j( )()FTh tH j则则( )( )()()FTx th tX jH j若若连续时间信号：连续时间信号：离散时间信号：离散时间信号：则则若若)()(jFTeXnx)()(jFTeHnh)()()()(jjFTeHeXnhnx dxdtethtj)()( )()()()( jHjXdxejHj dtedthxjYtj )()()( 证明证明: :

23、 dxdtethtj)()( y(t)? 输入信号通过输入信号通过LTI系统后，输出信号是否会增系统后，输出信号是否会增 加新的频率分量？加新的频率分量？nnjjFTtjFTenheHnhDLTISdtethjHthCLTIS )()( )( :)()( )( :1、定义、定义a、)( )( )( :)( )( )( :jjjeXeYeHDLTISjXjYjHCLTISb、二二. . LTI系统的频率响应系统的频率响应: :用微分方程表征的连续线性时不变用微分方程表征的连续线性时不变(CLTI)(CLTI)系统系统: :MkkkkNkkkkdttxdbdttyda00)()(MkkkNkkkj

24、XjbjYja00)()()()(NkkkMkkkjajbjXjYjH00)()()()()(对方程两端作对方程两端作FT,有有:所以所以)(3)()(8)(6)(22txdttdxtydttdydttyd例例2：412121)2)(4(38)(6)(3)(2jjjjjjjjjH)(21)(42tueethtt 可见，可见，对对由微分方程所描述的系统通过求频率由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。响应可以方便地求出其单位冲激响应。解解:对方程两端作对方程两端作FT,有有:所以所以对方程两边进行对方程两边进行FT变换，可得到变换，可得到:00()()NNkkkka y

25、 nkb x nk00()()NNjkjjkjkkkka eY eb eX e用差分方程表征的离散线性时不变用差分方程表征的离散线性时不变(DLTI)(DLTI)系统系统: :NkjkkNkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()( 可见可见 是一个有理函数。当需要得到是一个有理函数。当需要得到时时, , 往往是先从方程得到往往是先从方程得到 进而通过反变进而通过反变换换得到得到 。)(jeH)(nh),(jeH)(nh所以所以dtth| )(|Note: 只有系统是稳定系统时只有系统是稳定系统时,才存在频率响应。才存在频率响应。2、频率响应存在条件、频率响应存在条件-n| )(|nh或

26、 与与 以及以及 是一一对应的，因而是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应统的频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统时，都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。一般都限于对稳定系统。( )h t()H j( )()jh nH e与) (t x H2(j) H1(j)(tyH (j)= H1(j) H2(j)* *级联级联:H (j)= H1(j)+ H2(j) (t x H2(j) H1(j)(ty* *并联：并联：3.3.互联系统的互联系统的 或或)(jH)( jeH21() ()()()

27、()Y jX jY jHjH j* * 反馈联结反馈联结: :)(tx)(ty)(1jH)(2jH112()()() 1()()X jH jY jH jHj)()(1)()()()(211jHjHjHjXjYjH三三. . LTI系统的频域分析法系统的频域分析法: : 根据卷积特性根据卷积特性, ,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析, ,其过程为其过程为: :1. 1. 由由2. 2. 根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出3.3.4. 4. ( )( )()()FTjx tx nXjXe或或()()jH jH e或()()()Y jX jH j11( )() ( )()jy

28、 tYjy nY e或 FF()()()jjjY eX eH e或或()()jY jY e或计算计算 的傅里叶反变换的傅里叶反变换. . 例例3、低通滤波器、低通滤波器(Low pass filter) elsejHc ,0| ,1)( ttthc )sin()( 非因果系统非因果系统通带：通带：passband阻带：阻带：stopband冲激响应冲激响应:c c )( jH通带通带阻带阻带阻带阻带连续时间理想低通滤波器连续时间理想低通滤波器频率选择滤波器（频率选择滤波器（Frequency-Selective filters）: 使使输入信号的某些频率无失真地通过，明显地衰减或阻输入信号的某

29、些频率无失真地通过，明显地衰减或阻止其它频率的止其它频率的LTI系统，称为频率选择性滤波器。系统，称为频率选择性滤波器。1低通滤波器的阶跃响应低通滤波器的阶跃响应(Unit step response）:dctthtuts)sin()()()( : ( )( )x tu t设cjjS| ,1)()( FT阶跃响应阶跃响应c1j11( )()()ed2jcts tFS 则则c1j11( )()()ed2jcts tFS dj je21d je21cccctttx :令011sin ( )2cts td011s in ( ) 2ctxs td xxtt)()(tutx0t011sin ( ) 2c

30、txs td xxBt22crB B 是滤波器带宽（截止频率）。是滤波器带宽（截止频率）。(1)(1)上升时间上升时间t tr r：输出由最小值输出由最小值到最大值所经历的时间。到最大值所经历的时间。(2)阶跃响应的上升时间阶跃响应的上升时间tr 与与系统带宽成反比。系统带宽成反比。 2rBt例例: :1, | ()0 , cHje lsesin( )( )?itx ty tt通过低通滤波器的输出1,| ()0, :1,| min(,)()()()0, iciX jelseY jX jH jelse 因为卷积性质,有sin,( )sin,cciicitty ttt解解:c c )( jH1ii

31、 )(jX1可实现的低通滤波器可实现的低通滤波器:)()()(tvtvtvdtdRCscc11()11()HjRCjRCjRC)(1)(tueRCthRCt冲激响应冲激响应: :| )(|jHRC1RC1R)cos()()(sin2)(000tttttthc 带通滤波器带通滤波器: :系统频谱分布在以系统频谱分布在以 为中心的频率附近为中心的频率附近。00c0c00c0|()|H j H(j)1连续时间理想带通滤波器连续时间理想带通滤波器:00 4.5 相乘性质相乘性质 The Multiplication Property若若11( )()FTx tXj22( )()FTx tXj则则121

32、21( )( )()()2FTx tx tXjXj一一. .乘积特性：乘积特性：连续时间信号：连续时间信号：由于由于 和和 都是以都是以 为周期的，为周期的，1()jX e因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积。22()jXe离散时间信号：离散时间信号：若若则则11221212 ( ) (); ( ) ()1 ( )( ) ()()2FTFTjjFTjjx nXexnXex nxnXeXe121211() ()2211() ()22j tj tXjXjdedXjXjedd证明证明: 做做FTFT反变换反变换, ,有有: :121()( )2jtXjxt ed21( )( )x tx

33、t频移性质频移性质12121( )( )()()2FTx tx tXjXj121()()2XjXj211( )()2jtxtXjed212124( )( )2()()xt xtXjXj 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制幅度调制。其中。其中一个信号称为一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号。12121( )( )()()2x tx tXjXj11( )()x tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx利用对偶性可以利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质从卷积性质得出相乘性质例例1. 正弦幅度调制正弦幅度调制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s