二项式定理及其应用

1、二项式定理及其应用摘 要二项式定理是初中的多项式乘法的延伸，是初等数学中的一个重要定理，是高考中必考内容，研究二项式定理及其内容是重要且有意义的.本文阐述了二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.这些研究将有助于学生掌握二项式定理和灵活运用二项式定理来解决问题.关键词：二项式定理；二项展开式；计算；证明The binomial theorem and its applicationAbstract:The binomial theorem is an extension of the junior high sch

2、ool of the polynomial multiplication, is one of the important theorems in elementary mathematics, is the compulsory content in the college entrance examination, the binomial theorem and its research content is important and meaningful. In this paper, the basic properties of the binomial theorem, exp

3、lore it in for the binomial expansions, binomial coefficient, binomial rational that inequality and combinatorial problems in application, and gives a typical example. These studies will help students to grasp binomial theorem and flexible use of the binomial theorem to solve the problem.Key words:

4、binomial theorem;two expansion;calculation;poor目 录1 引言12 文献综述12.1国内外研究现状12.2国内外研究现状评价22.3提出问题23 二项式定理及其应用23.1 二项式定理23.2二项式定理性质23.3 二项式定理的应用43.3.1求二项展开式43.3.2求二项式系数53.3.3求二项式有理项63.3.4求近似值73.3.5求整除或余数问题73.3.6证明不等式83.3.7求组合数问题104.结论124.1主要发现124.2启示124.3局限性134.4努力方向13参考文献141 引言从古代到现在二项式定理一直是一个非常重要的研究内容，

5、所以在高中二项式定理是非常重要的一节，高中主要是初步的认识二项式定理，教材针对二项式乘方的展开式作出介绍与研究.在历年高考中基本都有二项式定理题型，题型多为选择题、填空题、证明题，针对高考的题型，本论文对于二项式定理及其应用作出基本的研究，帮助人们在解决二项式定理问题上作出一个全面的认识，更加全面的了解及掌握解决二项式定理问题的方法.二项式定理是高中的一个重要内容，同时在每年高考中分数占很大的比值.关于二项式定理最早在1664到1665年间由艾萨克牛顿提出，所以二项式定理又称牛顿二项式定理,这一项定理主要由两个数之和的整数次幂的恒等式组成，诸如展开为项之和的恒等式.而对于这一项定理早在我国南宋

6、时期1261年数学家杨辉所著的详解九章算法就已经出现过二项式系数表，这一表被称为杨辉三角.在我国北宋时期的数学家贾宪（约公元11世纪）已经学会运用这一表去解决数学问题，而在欧洲这一表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，所以在欧洲这一表被称为帕斯卡三角.通过研究发现我国的发现比欧洲国家早了五百年左右，可见在我国古代时期对于数学的研究是非常值得中华名族自豪的.2 文献综述2.1国内外研究现状现查阅到的参考文献1-18其中金敏在1中就如何处理学生在遇到二项式定理难点作出探究.耿玉霞在2中对二项式定理的推广及其应用展开论述，文献中列举全面，举例说明详尽.邓勇在3中基于二项式定理的应用作出探究，从新的角

7、度利用二项式定的推广形式对初等数学论中费尔马小定理进行探究性的证明.文献统编高中数学3对二项式定理基础作出全面的证明及举例，从基础上进行探究说明.陈正思在5中对组合总数公式的证法与意义进行了全面的解释，引导学生发现公式，证明公式.陈镇邃在6中对于证明组合不等式提供了不同的方法，探究组合恒等式的规律及证法.孙运娜与田发胜、张焕明在7-8中就 二项式定理问题的常见题型举例说明，并给出不一样的解题策略.席宏学、徐春生、时怀廷、彭现省9-12各自运用不同的方法解答不同的二项式定理题型.钱有成在13中对高考中二项式定理问题进行归类与解析，明确目标，突出重点.高洪武14从五个大层面，十三个方向非常全面的就

8、二项式定理的不同作出举例说明高考常见题型.蔡玉书、刘武、邓宝银、雷淇未15-17就构造二项式定理证明不等式可方便快捷地解决不等式中的一些问题.林观有在文献18中举例说明证明幂不等式的六种情形.2.2国内外研究现状评价二项式定理作为高中数学的一个重要内容，同时也是历年高考题中必考的一个知识点，文献1-18分别就求二项式定理展开式的系数，指定项，求解整除和余数问题作了总结、分析，并且举例说明，都非常具有代表性.各自介绍了二项式定理及其应用问题必备的解题方法和需要掌握的相关概念，对于学习二项式定理知识很有帮助，值得大家去查阅.而根据近几年的高考趋势，高考数学中二项式定理问题仍然是高考考查的重点、难点

9、，我们必须掌握相关的知识，并对其加以重视.2.3提出问题部分高中生已具备较强的学习能力，在课堂上能够根据老师讲的知识作出知识上的延伸.但是对于部分学生要更好的学习这些比较困难，因此，但都只是单方面探讨一项，针对性不强.对学生在应用中存在的问题也未给出详细深入的说明，本文全面探讨与二项式定理有关问题，并利用典型例题说明.除对解决问题的过程中应用的二项式定理作介绍外，还需对应用二项式定理过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括对使用这些方法的目的、作用作阐述.3 二项式定理及其应用二项式定理是初中的多项式乘法的延伸，是初等数学中的一个重要定理，是高考中必考内容，在能力上着重考察运用二项式定理

10、分析问题、解决问题的能力.本文阐述了二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.这些研究将有助于学生掌握二项式定理和灵活运用二项式定理来解决问题.3.1 二项式定理在高中数学课程中，就已经对二项式定理作出了一个明确的定义：一般地，对于任意正整数，有（）这个公式表示二项式定理，其中右边的多项式叫做的二项展开式，一共有项，而其中每一项的系数为叫做二项式系数.例1证明二项式定理（）证明:记因为，+ 所以，.又因为，即是首项为，公比为的等比数列，所以得=因此，得证（3.2二项式定理性质(1)二项式系数的对称性：与首末两端“对距

11、离”的两个二项式系数相等，二项式系数和：令,则，(2)奇数项的二项式系数和=偶数项式系数和： 在二项式定理中，令，则，从而得(3)二项式系数的最大项：当二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值；当二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数同时取得最大值.(4)系数的最大项：求展开式中的最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第r+1项系数最大，应有，从而解出来.例2证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.证明：在展开式（）中，令则有,即 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.3.3 二项式定理的应用在

12、历年高考，二项式定理是必考的内容，在能力上着重考查运用二项式定理分析问题、解决问题的能力.二项式定理既是排列组合的直接运用，有与概率论中的三大概率分布之一的二项分布有关联.以下探究二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.3.3.1求二项展开式这是二项式考题中最普通的题型，解决的基本手段是运用二项展开式的通项，主要考查对公式的运用熟练程度，而按所问不同，有如下类型.例3 展开；解法一 分析：用二项式定理展开；=+=-+-+-.解法二 分析：对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开=+=.小结：求二项展开式首先要熟记

13、、记准二项式的展开式，是解决二项展开式的首要条件，对于式子较为繁杂的二项式，先化简再展开较简单.3.3.2求二项式系数利用二项式展开式的通项公式和二项式系数的性质，利用二项展开式的恒等变换，历年高考针对利用二项式定理求二项式系数所占比例很高，主要分为求单一二项式指定幂的系数、两个二项式乘积的展开式指定幂的系数、可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数.例4展开式中的系数.分析：不是二项式，则可以通过=或,把它看成二项式展开.解：方法一：=其中含的项=含项的系数为.方法二：=+其中含的项为=所以项的系数为6.方法三：本题还可以通过把看成六个相乘，每个因式各取一项相乘，可得到乘积的一项，项可由下列几

14、种可能得到，五个因式中取，一个取1得到；三个因式中取，一个取，两个取1得到；一个因式中取，两个取，三个取1得到；合并同类项为+=6项的系数为6.小结：这一种主要是运用组合方式解决问题，但方法较为繁琐，在解决题时可以加以借鉴.3.3.3求二项式有理项利用二项式定理求二项式有理项问题，是高考中一种非常典型求特定项的问题，利用二项式展开式的通项公式求二项式中的某一项或某一项的系数，主要考查学生对通项公式的熟练掌握和灵活运用.例5在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.分析：本题给定一个二项式，在不知道指数的情况下，但是题目给出前三项的系数成等差数列，根据这一个条件，可以将指

15、数求出，在最后利用二项展开通项公式求出满足有理项项数.解：二项式的展开式的通项公式为：=前三项的所以前三项系数为：，由已知前三项的系数成等差数列则：，即，解得通项公式为,其中是有理项的，所以依次得到有理项：，.小结：本题通过抓住给定条件已知前三项的系数成等差数列，利用通项公式求出的取值，从而得到有理项.3.3.4求近似值利用二项式定理求近似值在近几年的高考题中没有出现过，但是按照新课标要求，对高中生的计算能力有一定的要求，涉及到学生的估算能力，所以在此提出作为一项.例6求的近似值，使误差小于0.001；分析：因为=，所以可以用二项式定理展开计算.解：，所以从第3项以后的绝对值都小于0.001，

16、所以从第3项起，以后每一项都可以忽略不计，小结：本题主要由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，所以在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：.3.3.5求整除或余数问题解决有关整除或余数问题，应该把问题先转化为一个二项式，利用二项式展开式和整除的性质解决问题.例7用二项式定理证明；（1）若，求证明：能被64整除；（2）（1）分析：首先考虑将拆成与8的倍数有关的和式子，再用二项式定理展开.证明：=+=,上式各项均为64的整数倍，能被64整除.小结：用二项式定理证明整除问题，先将某一项凑成与除数有关的和式，再展开证明，当然也可以用数学归纳法证明，但是比较繁琐.（2

17、）；分析：将分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数.解：=.小结：解决这一类问题主要方法是首先将问题转化成一个二项式定理，再运用二项展开式的性质解决，主要注意的是在计算中注意仔细认真.3.3.6证明不等式有关幂不等式的证明主要还是运用证明不等式的一些方法与二项式定理结合，解不等式的方法主要有放缩法、分析法、换元法、数学归纳法等，以下运用不等式的这些证明方法结合二项式定理证明不等式，介绍几种解题例子及解题方法.（一）直接应用二项式定理证明不等式主要考察的是学生对于二项式定理公式的掌握程度，对二项展开式性质的了解与求法的掌握程度，学生在做题时能够将二项式定理与解不等式方法相结合

18、，从而更好的去解决问题.例8求证:（1）（2）证明：（1）=-=所以成立.（2） =.小结：题型偏易，直接用二项式定理展开，再结合二项式系数的性质，利用不等式证明，学生在做这一类题时可能因为不熟练二项式定理的性质而容易造成不必要的错误，所以学生必须熟练二项式定理的性质.（2） 数学归纳法结合二项式定理证明不等式不等式的证明主要在于对放缩法技巧的运用，将二项式定理中的某些正项删除，某些负项删除（放缩法），使之转化为不等式，再根据不等式的传递性进行证明，或者先利用数学归纳法与放缩法，在结和不等式的传递性进行证明.例9若，且，求证；分析：从题目中可以看出要证不等式成立，如果直接运用二项式定理证明无法

19、 证明，则需要构造二项式定理证明不等式.证明：要证明原不等式，只需证用数学归纳法证明：（1） 时，不等式显然成立；（2） 假设（）时，不等式成立，即当时，用二项式定理证明：=>时不等式成立，由（1）（2）知，对于，时，成立.小结：由题解析可以看出，在做题时应当仔细观察题目的特点，寻找问题的结构模式，可以尝试构造二项式定理，利用放缩法等证明不等式.3.3.7求组合数问题二项式系数的性质实际上是组合数的性质，通常可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值，此外，有些组合数式子需要逆用二项式定理，所以在做题时一定要仔细观察.例10(1)若=，求；.（2）求证：（1）分

20、析:本题通过观察发现可以根据问题恒等式特点来用“特殊值”法一般地，对于多项式，的各项的系数和为：的奇数项的系数和为的偶数项的系数和为解：令，则，令，则令，则由得：由得：小结：在做题之前一定要复习好二项式系数性质知识，掌握并且学会灵活运用，奇数项系数和等于偶数项系数和，奇数项的二项式系数和=偶数项式系数和：在二项式定理中，令a=1,b=-1，则，从而得.(2)分析：注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路证明：(1)方法1此式左右两边展开式中的系数必相等左边的系数是，右边的系数是所以等式成立方法2设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素

21、，共有多少种取法？该问题可有两种解法一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有种不同取法第二种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，第二组有个元素，则从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，第二组不取，有种取法；从第一组取个，从第二组取个，有种取法，第一组不取，从第二组取个因此取法总数是而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有小结：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法，注意“赋值法”在证明或求值中的应用赋值法的模式是，在某二项展开式，如或中，对任意的（）该式恒成立，那么对中的

22、特殊值，该公式也一定成立特殊值如何选取，一般取较多一般地，多项式的各项系数和为，奇数项系数和为，偶次项系数和为二项式系数的性质及的证明就是赋值法应用的范例 4.结论4.1主要发现二项式定理是高考中的一种重要题型，题型灵活多变，一般的学生难于把握，在解决过程中困难重重，也不能快速找到清晰的解题思路本文在文献1-18的基础上，以2014年高考数学中出现的二项式定理及其应用问题为研究对象，阐述了二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用4.2启示从上述的研究中可以看出二项式定理题型多变，在多重领域都有其重要的地位，所以掌握二项式定理的运用方法

23、可以使在解题过程中少走弯路，为真正的难题赢得宝贵时间.但在做题时应该注意灵活选择，不要僵硬地套用，需要做到随机应变，灵活运用.4.3局限性论文就几种主要的二项式定理应用举例，但是随着高考数学试题的不断改变与发展，二项式定理问题也随着变化，在应用二项式定理解决相关问题的方法也不断改变，本文主要针对2014年高考中二项式定理问题进行探讨，存在一定的局限性.4.4努力方向本文就与二项式定理有关的题型作出分层讨论研究，但是还存在一定的局限性，随着高考数学试题的不断改变与发展，二项式定理问题也随着变化，在应用二项式定理解决相关问题的方法也不断改变.本文主要针对2014年高考中二项式定理问题进行探讨，在以后的学习过程中不断的积累二项式定理知识，以便弥补本文不足.参考文献1金敏.二项式定理的探究教学J.中学数学月刊，2011，（9）:17-19.2耿玉霞.二项式定理的推广及其应用J.辽宁教育学院学报，2002，19（4）:50-51.3邓勇.基于二项式定理应用的探究J.大庆师范学院学报，2008，28（5）:71-73.4统编高中数学.全日制普通高级中学教科书M.人民教育出版社，2006:32-37.5陈正思.组合总数公式的证法与意义J.湖南省常德县五中.6陈镇邃.浅谈证明组合恒等式的几种方法J.福建连江四中（3）：14-16.7孙运娜、田发胜.二项式定理的常见题型及其解题策