光子晶体负折射的理论研究

1、合肥师范学院2015届本科生毕业论文（设计） 本科生毕业论文（设计）题目： 光子晶体负折射现象理论研究 学 院 电子信息工程学院 学科门类 工学 专 业 电子信息工程 学 号 1111410018 姓 名 张静 指导教师 况晓静 2015年5月5日II 摘 要光子晶体是最近几来年逐渐成为热门研究领域之一的研究项目，之所以成为热门的研究对象主要是因为光子晶体本身具有很多优越的特殊性质。而光子晶体的负折射特性成为最热门的研究领域之一，因为光子晶体的负折射特性能够突破光学分辨率极限，打破传统成像的衍射极限，可以利用具有负折射特性的光子晶体制作成超透镜，实现了“完美成像”。另外，还可以利用具有负折射特

2、性的光子晶体制作出特殊的光学器件，如利用光子晶体这一的特性将电磁波段从微波转化到光波段等。本课题主要研究了光子晶体负折射的特性，为了更加清晰地了解光子晶体的特性，首先分别介绍了光子晶体和负折射的概念特性，在这个基础上着重研究具有负折射特性的光子晶体结构及它们的应用,通过特殊设计来利用光子晶体的负折射特性,以获得所需的性能。同时回顾了负折射介质的研究历史，综述了光子晶体负折射效应的物理机制，研究进展以及目前的研究方向，展望了光子晶体负折射现象的应用前景。关键词：光子晶体；负折射特性；负折射率介质AbstractPhotonic crystal is a recent research proje

3、ct over the years has gradually become one of the hot research field, because of the photonic crystal itself has a lot of advantages of the special nature of. The negative refraction of photonic crystal has become popular, because it can break the optical resolution limit, breaking the conventional

4、diffraction limit imaging, can use photonic crystals with negative refraction made into super lens, to achieve a perfect imaging. In addition, such as the use of the characteristics of photonic crystal will be transformed into the electromagnetic wave from the microwave light etc.The topic mainly st

5、udies the characteristics of photonic crystals with negative refraction. In order to the topic, the study introduced the photonic crystals and refraction index. Then, I focus on the structure of it and their application to the negative refraction of photonic crystals by special design. At the same t

6、ime, reviews the research history of negative refractive index medium, and research progress and present direction, application prospect of it. Key Words：Photonic crystal ;Negative refraction ;Negative refractive index目 录摘 要IAbstractII目 录III1 前 言11.1 光子晶体负折射的研究目的及意义11.2 光子晶体负折射特性研究的国内外研究现状21.3 论文的内容

7、安排32 关于光子晶体的概述32.1 光子晶体的基本概念32.2 光子晶体的特性42.3 光子晶体的电磁理论基础研究和分析方法5 2.3.1 光子晶体的结构和分类52.3.2 光子晶体的电磁理论基础62.3.3 光子晶体的数值分析方法72.4 光子晶体的制备方法93 对于负折射特殊性质分析103.1 负折射的基本概念113.2 判断负折射率介质方法123.2.1 棱镜原理133.2.2 平板成像133.2.3 负折射穿透行为144 光子晶体负折射特性研究154.1 基本概念154.1.1 布里渊区和简约布里渊区154.1.2 等频率面164.1.3 等效折射率174.1.4 等效负折射率和等效

8、折射率负折射现象174.1.5 负折射现象出现频率区域的判定条件184.2 光子晶体负折射现象的特性研究204.2.1 不同大小散射体的比较204.2.2 不同介电常数散射体的比较214.3 光子晶体负折射现象的应用225 总结与展望24参考文献251 前 言1.1光子晶体负折射的研究目的及意义在近半个世纪中，半导体技术发展迅速日益成为了人们生活中不可或缺的重要部分，例如我们生活中使用的电脑，手机，电视机等等一系列的电子产品都与半导体材料的发展息息相关。随着人类的生活日益趋于追求简单便利，所以人们对与计算机和通信设备及其它基于半导体材料的电子产品的要求也不断提高，电子设备的体积不断变小，但功能

9、却需要不断地日益增强，满足人类的便利需求。因为半导体技术集成度和速度不断提高，但是由于半导体集成度的提高以及体积的不断减小，产生了例如电路功耗不断提高和电路阻抗增大等一系列问题，基于半导体的计算机产业和信息产业面临着巨大的考验，半导体材料已经到达功能极限，已经无法满足人类的需求，于是研究人员开始寻找能够代替半导体材料并具有更高性能的材料。研究人员发现了用光子晶体可以替代半导体材料作为信息载体，与半导体不同的是光子具有很多电子无法比拟的优点，不仅拥有较大的信息容纳量，更加强大的互连能力和并行能力，同时最明显的优势是在光子介质中的传播速度远远高于在电子材质中的速度，并且光子可以获得更高的宽带。光子

10、之间不存在类似于电子之间那么强大的库伦相互作用，即光子之间不存在相互作用力，从而减小了传播过程中导致的能量损失，因此可以实行光子并行传播。目前光子晶体已经广泛应用于通信领域并且产生了巨大的信息变革。光子晶体的特性具有许多可以利用到生活实践中的优点，这其中光子晶体的负折射特性引起了人们的兴趣，是使负折射特性成为了十分热门的研究话题之一。传统的成像过程会受到“衍射极限”的影响，而具有负折射特性的光子晶体能够打破这种成像缺点，正是利用了光子晶体的这一特性能够极大地提高成像分辨率，具有负折射特性的光子晶体制作出的超透镜能够实现“完美成像”。除此之外，具有负折射特性的光子晶体材质还能够制作出许多具有全新

11、原理高性能的光学器件，如薄谐振腔、光子晶体微腔。同时，电磁波在具有负折射特性的光子晶体介质中的传播会产生负折射现象，从而使波频段从微波段扩展到光波段，利用这一特性存可以存储光，并对超大规模集成电路中的光刻技术等形成非常大的影响。因而研究人员对波在光子晶体内的折射和传播的特性研究,以及光子晶体的在实践中的应用成为研究的重点。光子晶体具有的传播特性和独特的结构，以及不同参数的情况下，光子晶体对传输特性的影响等一些问题都是应该深入研究探讨。通过对光子晶体负折射的特性和原理的探讨,对光子晶体替代半导体成为新型的器件产生了巨大的推进作用。1.2光子晶体负折射特性研究的国内外研究现状近几年,在国内外，光子

12、晶体的研究依然处在基础阶段不是很深入,这其中的周期性微结构和缺陷的制备方法,光子晶体和其缺陷对电磁波产生的控制、以及传播的基本原理,和光子晶体材质与器件的测试以及其应用原理的研究。光子晶体禁带的形成和它的周期性结 构、介质的相互联系、以及介电常数的性质等有联系,所以在制做光子晶体器件的工艺和测试，以及实践机理的探索上都面临着巨大的挑战。同时，国内外对光子晶体负折射特性的研究已取得非常大的成绩。光子晶体的研究领域主要涉及到了光信息处理、对光的控制以及光传感、光通信等。研究人员先后研制出了光子晶体直角波导、光子晶体光纤、光子晶体反射镜、光子晶体天线等等一系列与光子晶体负折射特性有关的研究成果。与光

13、在传统的光纤中依赖折射率传播不同，光子晶体的缺陷结构可以限制住光，所以在低折射率空气的情况下，光子晶体依旧可以传播光，并且在其中传播的光可以直接的拐弯不发生任何损坏。光子晶体的出现对通信以及光信息领域都具有深远的影响，因此研究人员希望可以更加自如的控制光在光子晶体中的传播。近些年来，研究人员在光子晶体的研究领域发展的很快。1998年美国研制出了多晶硅材料的三维光子晶体探测头，1999年美国研制出光子晶体反射镜,可以远距离传输无损耗且能够传输高功率激光，2002年英国研制出了离子刻蚀半导体基光子晶体。目前Kosaka等人研究出了在一定条件下,光在光子晶体中入射角以及波长的传播方向变得敏感,同时大

14、波束发生偏移,称之为超棱镜现象。Notomi和Foteinopoulou等人深入的研究了光子晶体中的负折射现象。Luo等人在介质和金属光子晶体中都发现了负折射现象1。Enoch等人对光子晶体中出现的反常折射现象进行了数值分析。随着科技的日益发展，学者们在对二维光子晶体的研究上呈现出了追求材料和器件之间的损耗降低，以及器件越来越高的集成度和追求光子晶体的Q值增高。光子晶体是最近这些年逐渐成为热门研究领域之一的研究项目，之所以它会成为热门的研究对象主要是因为光子晶体本身所具有的特殊性质，其中光子晶体的负折射特性成为最热门的研究领域之一，因为光子晶体的负折射特性能够突破光学分辨率极限，打破了传统成像

15、的衍射极限，可以利用具有负折射特性的光子晶体制作成超透镜，实现了“完美成像”。另外，还可以利用具有负折射特性的光子晶体制作出特殊的光学器件，如利用这一光子晶体的特性将电磁波段从微薄转化到光波段等。负折射效应是光子晶体的特殊性质之一，其优点在与具有负折射特性的光子晶体，结构形式比较多便于应用，同时可利用目前具有的光子晶体特性和负折射特性的研究成果，开发出具有更多新功能的功能器件，具有大好的研究前景。从而光子晶体负折射特性的研究成为世界研究的热门领域。1.3论文的内容安排本论文分为五章。第一章介绍的是光子晶体负折射特性概念来源和意义，以及当前国内外该领域的研究进展状况。第三章则是研究了负折射的相关

16、概念和基础特性，包括负折射率的基本概念和负折射率介质的产生以及负折射率介质中的传播现象。第三章则是研究了负折射的相关概念和基础特性。这当中包括负折射率的基本概念和负折射率介质的产生以及负折射率介质中的传播现象。第四章介绍了光子晶体负折射的基本概念，包括布里渊区、它的等频率面和等频率折射以及负折射现象出现频率区域的判定标准，同时还简单介绍了光子晶体负折射现象在实践中的四个主要应用。第五章是对本论文工作主要内容进行概括总结以及对自己论文研究成果进行分析，同时还对今后本课题工作的进行总结展望。2 关于光子晶体的概述2.1光子晶体的基本概念光子晶体对与我们并不陌生，因为光子晶体在自然界中早已存在。例如

17、具有色彩缤纷外观的澳洲宝石蛋白石，是由二氧化硅纳米球沉积形成的,如下图2-1（a）所示。它之所以呈现出颜色因为结构上的周期性使它具有光子能带结构,由于带隙位置不同,反射出光的颜色也会不相同，所以它的色彩形成与色素没有关系。而在生物界中，蝴蝶翅膀上的五颜六色的色彩,其实也是同样的理论,见图2-1（b）。图2-1(a)矿物界的光子晶体蛋白石(b)具有光子晶体结构的蝴蝶翅膀上的鳞粉过去的一个世纪里电充斥在我们生活的每一个角落,电在人类生活中扮演者不可或缺的重要角色,例如生活中我们所用的电话、手机、电脑等通信设备，以及工厂中电子器械等众多基于电子的器件。随着时代的发展，人们日益追求体积更小功能更加强大

18、便捷的智能生活，因此电子技术集成度和速度不断提高，满足人类的便利需求。但是由于电子集成度的提高以及体积的不断减小，产生了例如电路功耗不断提高和电路阻抗增大等一系列问题，基于半导体的计算机产业和信息产业面临着巨大的考验，在电子线路已经发展到极限的今天, 已经无法满足人类的需求，科学家们将研究对象对准了光。与电子相比较,不同的是光子具有很多电子无法比拟的优点，不仅拥有较大的信息容纳量，更加强大的互连能力和并行能力，同时最明显的优势是在光子介质中的传播速度远远高于在电子材质中的速度，电在金属中的传播速度有一m/s数量级，而光在介电材料中的传播速度却达到m/s数量级，并且光子可以获得更高的宽带。更为重

19、要的一点就是光子没有强相互作用,这可以使传播时能量损耗很小。光子晶体（Photonic Crystal）是在1987年由S-John、E-Yablonovitch分别独立提出，是由不同折射率的介质周期性排列而成的人工合成微结构。它是具有光子带隙的周期性介电结构材料，而所谓光子带隙是指介电常数不同的材料在空间中周期性排列导致介电常数也具有空间周期性，并使得光折射率产生周期性分布。光在其中传播时可产生能带结构，而在带隙中的光子频率则被禁止传播，因此称为光子禁带，具有光子禁带特征的材料即为光子晶体。简单地说，光子晶体具有波长选择功能，可以通过选择使某个波段的光通过，而阻止其它波长的光通过其中。2.2

20、光子晶体的特性光子晶体最根本性质是光子禁带，降落在禁带中的光的传播是被禁止的。Yablonovitch表示：光子晶体能够抑制自发辐射的发生。因为自发辐射出现的比率和光子所在的频率的态的数目是成正比的，当一个原子被放入光子晶体中，如果它自发辐射的光频率正好落在光子禁带上时，因为该光子频率的态的数目为零，所以其自发辐射的几率也为零，而自发辐射也被抑制。相反，光子晶体同样能够增强自发辐射的产生，只需要改变该光子频率的态的数目就可以实现。如果光子晶体中含有杂质时，光子禁带中就会产生杂质态，这些杂质态拥有很高的品质因子，同时态密度也很大，因此就能实现对辐射的增强。光子晶体还有一个很重要的性质，那就是“光

21、子局域”(photon localization)。1987年John提出：在一种由无序介电材料构成的超晶体中，光子能够呈现出很强的Anderson局域。假如一个光子晶体原有的周期性或对称性受到损坏，那么在它的光子禁带中会产生频率极窄的缺陷态，而与缺陷态频率相吻合的光子就会被拘束在缺陷位置，那些偏离缺陷位置的光就会迅速衰减。此外，二维光子晶体对于不同入射电场方向的TE、TM偏振模式的光具有不同的光子禁带。2.3光子晶体的电磁理论基础研究和分析方法2.3.1 光子晶体的结构和分类光子晶体是具有光子能带和能隙的一类材料,根据能隙空间分布的特点,可以将光子晶体分为一维(1D)光子晶体、二维(2D)光

22、子晶体和三维(3D)光子晶体2。如下图2-2所示，他们的空间结构依次为。 (a) (b) (c)图2- 2(a)一维光子晶体结构图（b）二维光子晶体结构图（c）三维光子晶体结构图如图2-2（a）所示，由两种介质交替叠层而成，只在一个方向上具有光子频率禁带特性的材料我们称之为一维光子晶体。通常，一维光子晶体的结构表现为两种介电常数的介质呈多层周期分布。二维光子晶体是指由很多平行的介质杆均匀地在空间中排列，且在二维空间中各方向上具有光子频率禁带特性的材料。如图2-2（b）所示。二维光子晶体存在许多种结构,例如矩形、三角形和石墨的六边形结构，而我们应用较多的二维光子晶体结构是二维正方晶格光子晶体结构

23、和二维三角晶格光子晶体结构。如图2-3所示二维光子晶体结构分别是二维正方晶格光子晶体结构和二维三角晶格光子晶体结构。 （a） （b）图2-3（a）二维正方晶格光子晶体结构（b）二维三角晶格光子晶体结构如图2-3(b)所示，可以看出二维三角晶格光子晶体结构中的介质柱成等边三角形排列，等边三角形排列的二维三角晶格光子晶体具有的对称性更加高，从而具有带隙更宽的特点。三维光子晶体是指在三维空间的各个方向上具有光子频率禁带特性的材料,如图2-2（c）所示。三维光子晶体结构有体心立方、面心立方以及简单立方。世界上第一个具有可实践性的三维光子晶体是由美国贝尔通讯研究所的Yablonovitch研究出来的,这

24、种三维光子晶体的结构是由许多面心立方体构成的空间周期性结构，我们称之为钻石结构。2.3.2 光子晶体的电磁理论基础根据我们学过的课本电磁场与电磁波，可知电磁场的基本麦克斯韦方程组为： (2-1)麦克斯韦方程式中，H 为磁场强度，E 为电场强度，J 为电流密度，D 为电位移矢量，B 为磁感应强度，为自由电荷密度，t 为时间变量。为了方便研究，我们一般把光子晶体当作无源媒质，因此在以下的研究中，认为J=0 且=0。 对线性、各向同性媒质，本构关系式为： （2-2）本构关系式中，为介电常数，为磁导率，为电导率。 谐波的表达式： （2-3）将式(2-3)、式(2-2)代入式(2-1)，并分离变量转化得

25、： （2-4）由于存在关系式： （2-5）是真空中的介电常数， ( r )是相对介电常数，0是真空中的磁导率，r是相对磁导率。令c = ，把式(2-5)带入(2-4)中分别消去磁场和电场分量得： (2-6)式(2-6)中的第二个式子称为光子晶体的本征方程。是厄米算子，其本征值是非负实数，并且存在完备的正交本征函数系，而不是厄米算子。对于给定的光子晶体结构，也就是 (r)已知，求解式(2-6)第二个式子可得到频率所对应的 H(r)，也就是特征值求解问题，再把求得的 H(r)代入式，可求出 E(r)如式(2-7)3。 (2-7)2.3.3 光子晶体的数值分析方法在上个世纪80年代后期，人们才开始研

26、究光子晶体的特性及应用。在1987年Yablonovitch和John就提出了光子晶体的基本概念，但是由于当时科学技术条件的限制，Yablonovitch和Gmitter第一次用实验证明出三维光子能带结构在实际中的存在是在1989 年，之后研究人员才将目光注意到光子晶体的研究中，开始了对光子晶体的深入研究工作。一般情况下，因为光子晶体和电子晶体在结构上的相似，所以人们采用研究电子晶体结构的方法来分析光子晶体的性质。我们通常采用电磁理论方法来分析光子晶体的特性，其中包括的以下4种重要的数值分析方法：平面波展开法（plane wave expansion method简称：PWM）、传输矩阵法（t

27、ransfer matrix method简称：TMN）、有限时域差分法（finite difference time domain简称：FDTD）和散射矩阵法（scattering matrix method简称：SMM）等，下面我们简单地介绍一下这几种数值分析方法4。我们普遍使用的一种方法是平面波展开法，它的理论依据是电磁场如果能以平面波的形式展开，就可以将它的麦克斯韦方程组转化成为本征方程，然后通过求解该方程的本征值就能够得到传播光子的本征频率的思想上建立的。这个方法有很严重的不足之处，那就是当光子晶体的结构过于复杂或者体系上有缺陷时，可能会由于计算能力的限制而无法计算或难以精确计算。况

28、且如果介电常数随频率变化的话，那么就无法写出确定的本征方程形式，这样就没有办法计算了。传输矩阵法就是将磁场展开到实空间的格点位置，将麦克斯韦方程组变化成传输矩阵形式，这样也同样将问题化成求解本征值的问题。传输矩阵表示的是一层（面）的格点的场强与同它相邻的另一层（面）的格点场强的关系。如果令构成空间在同一格点层（面）上具有相同的态和频率，那么就能用麦克斯韦方程组将磁场从一个位置推申到整个晶体空间中。该方法对介电常数是随着频率变化而变化的金属系统非常有效，而且因为传输矩阵小，所以矩阵元少，运算量小，同时计算传输光谱也非常方便。但是这种方法对于电磁场分布的计算比较麻烦，效率也不是太高，所以无法对研究

29、光子晶体物理特性起到大的帮助。在电磁场数值计算方面，最经典的方法就是有限差分时域法。它的原理就是将一个单位元划分成许多网状的小格，然后利用布里渊区边界的周斯条件，列出网上所以结点的有限差分方程，将麦克斯韦方程组变换成能够准对角化的矩阵形式的特征方程，这种方法只有很少一部分的非零矩阵元，计算量小。由于该方法没有考虑到晶体的具体形状，所以对于特殊形状晶格的光子晶体无法做到准确计算。散射矩阵法就是假设光子晶体是由各向同性的介质组合而成的，里面包含许多开头和尺寸都无法重叠的光学散射中心。如果利用傅立叶贝塞尔展开来计算这些散射中心的散射场的亥姆霍兹方程，那么就能算出光子晶体传输中的场分布。这类方法可以用

30、来计算场分布和传输光谱问题，但是由于所需的运算时间过长，所以在某些情况下是无法实现的。在实际理论研究中，还存在一些其他的方法，例如：有限元法以及N阶法等。这些方法在实际应用中能够根据不同的场合进行合理地使用。以上这些分析方法对于光子晶体的研究具有非常重要的价值，因为光子晶体的制备十分困难，所以首先需要利用方法分析出光子晶体所具有的特性，然后再通过实验来验证这些结论。2.4 光子晶体的制备方法我们知道自然界中存在天然的光子晶体原材料，例如蛋白质宝石、蝴蝶翅膀的鳞粉，但是这些都不能很好地应用在生产实践中，因此普通情况下我们使用的是人工合成的光子晶体新型材料，这就需要我们研究光子晶体的制备方法。根据

31、不同的条件我们可以将光子晶体的制备分为不同的类型，例如根据光子晶体的结构可以分为一维光子晶体的制备、二维光子晶体的制备、三维光子晶体的制备，根据所用的原理的不同，我们可以将制备方法分为物理法制备和化学化工法制备。下面我们介绍几种常用的光子晶体的制备方法及优缺点。根据物理性质，制备光子晶体通常采用以下两种方法：微加工法: 依俄华州立大学的C.M.Soukoulis等研究人员第一个从理论上提出了具有实际可行性的光子晶体结构，即金刚石结构。世界上第一个利用了显微镜技术制备出的三维光子晶体是由美国贝尔通讯研究所的E.Yablonovitch制备的。在显微镜的操作环境下，他先把三角形孔排列的膜覆盖在介质

32、表面上，之后在有孔的地方对介质进行钻孔，再在依次相差120度的三个方向对介质穿孔，最后形成在微波波段工作的三维光子晶体。目前具有的显微制造技术主要包括同步辐射深度、X射线平版印刷术、显微机械加工等。虽然利用显微制造技术制备光子晶体简单易操作，可是缺点在于在工作波长越短的条件下，加工空间立体结构就会很困难。Layer-by-Layer法：具有可实践性的制备方法为Layer-by-Layer法。这种制备采用了一层一层叠加方法,例如E.Ozbay等人研究的三维光子晶体，原理就是把许多片二维周期性结构叠加起来构成的。这种方法的优点在于可以制备短波长三维光子晶体，但是缺点是制造工艺比较繁琐，制作过程中利

33、用到了集成电路制做技术以及复杂的微电子机械技术。除了物理方法，还有可以通过化学原理制备光子晶体材质，但是这一类的方法对颗粒的基本要求是:单分散、单尺寸球形的亚微米颗粒。方法包括：离心沉积法：如果想要缩短制备周期就采用离心沉积法。离心沉积法的原理是利用离心沉降机,使颗粒快速沉降到底部堆积而成。缺点是颗粒在非规律力的条件下形成无序的排列，从而影响材质的性能。自然沉降法: 在目前人们广泛采用这种方法合成非晶态氧化硅、本乙烯球等光子晶体，制作原理是仿照地壳中天然形成的特殊欧泊蛋白石的过程,通常人们将采用这种方法制备的干燥二氧化硅胶体光子晶体称为人工欧泊。采用自然沉降法产生的光子晶体主要优点是易于控制晶

34、体的厚度以及对实验设备要求简单,但是有制备周期长的缺点。胶体自组装法：制备原理是在外界力的作用下让胶体微粒自行堆积组装，从而得到与蛋白石结构相似的光子晶体。基本制备方法是首先将介质微粒直径为微米或亚微米量级均匀加入特殊溶液里，由于介质微粒表面具有的静电作用，使得微粒之间存在库仑力，在力的作用下微粒之间的距离拉近或远离。一段时间后按容器形状，悬浮的微粒会形成有序晶体。最后把Si 等高介电常数向形成的有序晶体微粒缝隙间填充，得到类蛋白石结构。除了上面我介绍的这几种常用的胶体化学光子晶体制备方法，生产中还包括：强制有序化法、场诱导有序化法、电泳法等，在这一章节中就不一一详细介绍了。3对于负折射特殊性

35、质分析在1968年，苏联的物理学家V.G.Veselago就大胆的猜测出存在具有负折射率的特殊物质并且它的存在是合理的并不违反自然学中的任何物理规律。虽然有猜测出这种特殊物质的存在，但是科学家们一直未发现这类特殊物质材料，所以在很长的一段时间里人们并未对V.G.Veselago的研究产生过多的关注。在一般的条件下，我们知道对于折射率有，因而有，在这个公式中负号不能随意去留，只有在特殊的材料中同时满足介电常数，磁导率的情况下，右端才可能取得负值。V.G.Veselago提出的理论认为微波或光穿过负折射率介质时将射向与Snell定律不同的方向，但是，科学家们和研究人员没有找到磁导率和介电常数同时存

36、在的特殊材料，因此研究人员在自然界中并未发现这种特殊材质，并认为这种材质是不存在的。这一研究领域曾因为找不到这种材质而一度被人们遗忘，直到1996年，Pendry等人首次在理论上提出了可以利用一种谐振回路周期结构来从而实现负折射现象。但是真正意义上的首次实际合成负折射率介质材料是由Smith等研究人员在2000年完成，随后还证明了这种材质的有效折射率为负即负折射率材质具有满足左手规则的特性。这种材质是由铜分裂环谐振腔阵和导线的二维周期阵列组合构成。铜分裂环谐振腔是缺口的环形共振，当有垂直于环面的磁场振动时，每个缺口的环内会形成振荡的电流和电荷，因此产生的磁导率为负即，而导线耦合到铜分裂环谐振腔

37、阵中主要是为了在一段金属导线内产生等离子体激元，因而得到的介电常数为负值即，如下图3-1所示。图3-1 微波波段基于SRR的左手材料样品3.1负折射的基本概念一般情况下，光从普通介质穿到另一种普通介质时满足Snell定律，入射光线与折射光线在法线的两边，但是当光进入到了负折射率介质中就会出现入射光线和折射光线在法线的同一边，即在负折射率介质中具有负折射角，负折射率介质中能流方向和波失的方向相反，如下图3-2。 图3-2 介电常数和磁导率都为负值时的光线折射图和能流方向和波矢方向图近年来，由于负折射介质的特殊性质和良好应用前景，以负折射介质为代表的新型人工合成介质已成为现在非常热门有潜力的研究领

38、域之一。人们获得的负折射材质介质都是新型人工合成材料，主要的材质有光子晶体，由金属丝和共振环耦合组合而成的复合结构，矩形或圆形分裂环谐振腔组成，L-C微波带线或器件形成，背景媒质中的导电小粒子或杂物3。但是现在的新型人工合成介质很多左手材料都具有强烈的色散缺陷，在非常窄的频率中才会出现负折射的现象。而光在光子晶体中的传播可以在比较宽的频率区域内产生负折射现象，这一特性可以实际应用在光电器件中。电磁波在负折射率介质这种材质中传播的时候，它的磁场，电场和传播的方向满足左手规则，因此通常我们把负折射率介质也称为左手材料。负折射率介质的介电常数和磁导率均为负，与光子晶体相似，具有周期性的结构。根据麦克

39、斯韦方程推导出波动方程，得到，在通过时间和空间两者周期性的关系式。从而得到关系式：，其中折射率的平方为。当介电常数和磁导率都是正值时，波动方程有解并且满足色散关系。当介电常数和磁导率都是负值时，波动方程依旧有解。但是前后两种情况得到的波动方程的解不相同，从而会对电磁波产生不同的影响。电磁波在普通材料界面表现出来的性质和在左手材料界面中表现的特性完全不同。在同性均匀介质中，根据麦克斯韦方程得到的平面波的传播满足两个关系式：，。将两式分别带入Poyting方程： (3-1)在和同时小于0时，波矢方向和方向相反，这时三者将满足左手螺旋规则。我们知道正常普通情况下根据Poynting矢量关系式,由上面

40、的式子可知当在和同时大于0时，我们知道三者成右手螺旋规则。我们把满足左手螺旋规则的材料成为左手材料，例如我们研究的负折射率介质就是典型的左手材料。把满足右手螺旋规则的材料成为右手材料。左手材料和右手材料的对比如下图3-3所示。图3-3（a）右手材料中E,H,k的方向示意图 （b）左手材料中E,H,k的方向图3.2判断负折射率介质方法现在可以利用三种方式来判定是否具有负折射特性,第一种采用棱镜原理;第二种方法采用平板成像的原理。第三种则是根据测量平面波对一平块物质的穿透行为，从而判断是否为负折射率介质。利用这三种方法可以推导出负折射率并且判断是否为左手性质的物质。3.2.1棱镜原理如图3-4为按

41、照Snell定律，不同棱镜下光传播的光路径图。我们根据图中入射光线在负折射介质的透镜表面具有和在正折射介质传播的路径不同的现象,从而可以通过光的传播图来判断棱镜的材质中是否含有具有负折射率特性的介质，即是否是左手材质，或者也可以判断光的传播是否发生负折射这种特殊现象。 (a) (b) （c）图3-4(a)光分别在负折射介质构成的凸透镜和凹透镜中的传播现象(b)光在右手物质中的传播现象(c)等效为折射率是-1时的光路图3.2.2平板成像负折射特性的材料具有很多特殊的性质，研究人员目前已经发现了许多其中的特性。在2000年，Pendry教授在一个研究中发现了如果想要突破光学分辨率极限,使像通过平板

42、在另一边显示，必须解决的问题是使倏逝波也参与成像。当选取适当参数的负折射材质时，即且时，具有负折射特性材料的平板就能够放大倏逝波,因此负折射材料平板可以突破衍射极限形成完整的像，使像在传播过程中没有损耗。我们把能够无损耗完整传播像的这种特殊介质参数的左手材料透镜称为“完美透镜”(perfect lens ),图3-5。平板透镜右手介质图3-5左手材料平板成像 图 3-5为实物入射至左手平板透镜产生的成像效果，由于介质折射率为负值，折射波与入射波居法线同侧，经平板透镜在平板另一侧产生与实物等大的实像。与普通介质相比，左手材料制成的平板透镜有以下好处：(1)在平板另一侧会产生等大的实像，即放大率为

43、1，(2)无需考虑存在光轴问题，(3)当实物离平板很近时同样会出现实像。同时，左手材料可以呈现出其更加与众不同的特性完美透镜(Perfect lens)。 3.2.3负折射穿透行为图3-6是光线在负折射介质中发生折射的光路图以及数值模拟示意图。我们可以通过对光路图的观察，和对数值模拟图中数据的分析依然可以判断负折射现象是否存在。 （a） (b)(c)图3-6(a)光在折射率小于1介质中的光路图(b)在负折射介质表面的折射光和反射光(c)变换不同角度射入到负折射介质中的光路图4光子晶体负折射特性研究4.1 基本概念4.1.1布里渊区和简约布里渊区 固体的能带理论中，在波矢空间中取得某一倒易矩阵为

44、原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为很多区域，在每个区域内E与k是具有函数关系，其中最靠近原点的一组面所围成的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依此类推可得第三、四、.等不同范围的布里渊区3。各个布里渊区体积相等，都是等于倒易点阵的元胞体积。在波矢空间中，由于晶体中的电子波的色散关系是周期为 /a 的周期性函数，由周期函数的性质可知 k 和 k+/a 表示相同的状态，由此可把其他区域通过移动周期/a合并到第一布里渊区，这样就可以很方便的在考虑能带结构时，我们只需要分析第一布里渊区的特性。这种通过周期把其它区域都整合到第一布

45、里渊区的情况，这时第一布里渊区也被称为简约布里渊区。图4-1和图4-2分别画出了二维正方晶格光子晶体和三角晶格结构光子晶体的第一布里渊区以及简约布里渊区。 （a） （b）图4-1（a）正方晶格光子晶体的第一布里渊区 (b)正方晶格光子晶体的简约布里渊区 (a) (b) 图4-2（a）三角晶格光子晶体的第一布里渊区 （b）三角晶格光子晶体的简约布里渊区4.1.2等频率面在相同频率下的不同传输波的波矢组成称为等频率面（EFS: equal frequency surface），也就是把布里渊区所有相关频率上波矢量 k 的点都计算和表示出来，可以把等频率面理解为能带结构在第一布里渊区的投影，简单地说

46、即在一定的频率下，第一布里渊区中所有有效波矢构成的面。用完整的光子晶体能带理论可以解释二维光子晶体的负折射现象，因为光子晶体的能带结构的等频率面决定了光在光子晶体中的传播方向5，所以需要深入的分析光子晶体的能带结构才能了解光子晶体中的传播特性。光在光子晶体中传播形式主要为布洛赫波，对于这种传播模式，它的波矢，切向波矢以及角频率三者之间存在能带结构关系为： （4-1）关系式中当时，即是实数，则满足条件的组成的区域波不能传播，这个区域称为允带。光子晶体布洛赫模的群速度 方向是由等频率面决定的，群速度的方向即等频率面的法线方向，指向频率增加的方向，通过这种现象从而能确定光在光子晶体中传播时发生偏折。

47、如图4-3所示正方晶格光子晶体的等频率面示意图。图 4-3二维正方晶格光子晶体第二边带的 EFS 示意图4.1.3等效折射率现在我们计算光子晶体的等效折射率。在计算之前,我们要澄清两个概念。我们通常所说的折射率指的是相折射率,满足下面的公式： （4-2） 其中,k为单位波矢量,而群折射率满足： （4-3）波在光子晶体中传播的方向是由群速度决定的,而群速度垂直于k处的等频率表面。相折射率的符号是由EFS的特性决定的,如果,则;如果,则6。4.1.4等效负折射率和等效折射率负折射现象等效负折射率和等效折射率负折射现象是两个完全不同的概念。我们把光子晶体的能带结构存在负值的等效折射率称为等效负折射率

48、。而等效折射率负折射现象则是指,通过光子晶体发生折射时入射光和折射光在界面法线的同一边，发生负折射现象不一定存在负值的等效折射率6。等效折射率负折射现象主要有两种。一.从能带图上看, 中心取在第一布里渊区的任意一个角点,离中心越远，波矢k不仅增大且频率也增大,坡印廷矢量S和波矢K的点乘为正值，即。这种负折射现象只有在特殊角度区域内才能使入射光发生负折射。二. 把第一布里渊区中心点点为中心点,从能带图上可以看出,离中心点越远则波矢k变大而频率变小,如图4-4所示。光在光子晶体中的传播方向由群速度决定,而群速度矢量可以表示为波矢k在等频率面的梯度矢量7，表达式: （4-4）所以离开中心点点越远k增

49、大而频率减小，则群速度的方向与相速度的方向相反。这种情况下, 当等频率曲线不是圆形,等效折射率的各向具有不同特性，且坡印廷矢量S和波矢K的点乘为负值,即SK0 ,我们把这种负折射称为全角度负折射(All angle negative reaction AANR)，这种负折射类似左手材料。同时，这种负折射现象具有一个特例是：当等频率曲线是圆形的时候,各向具有相同性质,可以定义(负值)等效折射率。正是由于第二种负折射现象的存在，因此当光子晶体发生负折射现象时，其等效折射率不一定为负值。 (a) (b)图4-4(a)光子晶体负折射时的能带 (b)光子晶体等频率面的特征4.1.5负折射现象出现频率区域

50、的判定条件光子晶体的周期结构和能带结构对在光子晶体介质中传播的光会产生严重的散射影响，因此入射光的入射角度和频率对在光子晶体中传播的光的方向具有较大的影响，使得光在光子晶体中的传播会十分复杂。我们知道光在普通介质和光子晶体中的传播是有差异的，这种差异可以通过等频率面的理论来解释。在普通的介质中，光的传播方向与波矢量的方向保持一致，但在光子晶体介质中，光的传播会出现异样，因为在等频率面的交叉处会产生禁带，在禁带区光不能发生传播，因此光在光子晶体中的传播与在普通介质中传统的负折射现象有很大的差异，如图4-5所示。 (a) (b)图4-5（a）光入射到普通介质出现的负折射 （b）光入射到光子晶体介质

51、中出现负折射在光子晶体中,光的传播方向由群速度方向决定，因为折射传播方向通常为波矢方向，由群速度的表达式可知,群速度的方向就是波矢的方向,而波矢的方向与等频率面法线方向相同，从而群速度方向与等频率曲线是垂直的,因此在光子晶体中出现负折射率的频率区间可在等频面的结构上找到方向为负的群速度,也就是说光的传播方向在等频率曲线结构向内的频带是产生负折射率额频率区域。我们使用在空气中以三角晶格结构排列的介质圆柱二维光子晶体作为模型来分析,其晶格常数a=500nm,介质圆柱的折射率为3.6,半径r=0.35a,在TE模式下,用平面波展开法计算其带隙,如图4-6（a）所示。图4-6（b）给出了归一化频率在0

52、.2682-0.3502之间的等频率面图,频率间隔为0.0205,内部为高频部分。由等频率面图分析,可见若在M方向上有,则此时群速度为负的,光的传播方向由EFS曲线向内,即是负折射现象出现的频率区间6。 (a) (b)图4-6(a)TE模式二维光子晶体带隙图（b）二维三角晶体格光子晶体的等频率面4.2光子晶体负折射现象的特性研究光子晶体在不同的参数条件下其特性会产生不同的结果，这是由于例如介质介电常数、光子晶体的晶格结构以及不同散射体半径等参数都会对光子晶体的能带结构产生影响从而光子晶体具有不同的特性,因而在不同的参数条件下出现负折射率的频率范围也会各不相同。对于改变不同参数对负折射现象产生的

53、影响，我们在这里采用三角晶格排列的介质圆柱二维光子晶体作为研究对象，晶格常数，介质折射率为n=3.24,半径r=0.35a，在TE模式下，对此模型改变不同的参数出现的不同现象进行具体分析研究。这里我们将主要研究不同空气孔半径和不同折射率介质对产生负折射现象的频率区域的影响。4.2.1不同大小散射体的比较下表4-1给出了在介质材料相同的情况下,不同的空气孔半径对负折射频带的影响规律。因为带隙的影响，有些光子晶体负折射频率只有在低频段存在，所以这里我们主要给出了第一负折射频带范围。根据表中研究的数据分析得出当空气孔半径不断增大时, 产生负折射的频带宽度变窄，但其出现负折射现象的初始负折射频率变高6

54、，如图4-7所示。表4-1不同半径的光子晶体介质产生负折射现象的频率范围以及带宽图4-7不同半径下对负折射频带带宽的影响4.2.2不同介电常数散射体的比较把三角晶格排列，空气孔半径r=0.35a，介质折射率为n=3.24,同时以TE模式入射的空气孔光子晶体平板作为模型,进行具体进行分析,从表4-2可以看出对于此模型中当空气孔半径保持固定值不变时,不同介电常数介质材料对应的负折射频带区域也各不相同，从而可以得出当介质介电常数不断增大时,其折射率将增大,出现负折射现象的初始频点降低,负折射带宽也变小,因此当选择折射率较大的底板材料时,反而得到更小的负折射频带，如下图4-8所示。表4-2不同的介电常数介质材料产生负折射现象的频率区域及带宽图4-8不同介质材料折射率与负折射频带带宽对应关系4.3光子晶体负折射现象的应用光子晶体负折射现象具有的低耗能传播速度快等特殊的优点，在应用上具有很大前景和发展空间，关于光子晶体负折射特性，目前研究人员将这种特性主要应用在以下四个方面：1) 传统的成像过程会受到